ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

เมื่อมีงานเรียนรู้ Pauli noise สำหรับชุดของ Clifford gate เทคนิคการวิเคราะห์ทั่วไปคือการติดตามว่า Pauli operator แต่ละตัวถูกแปลงอย่างไรผ่านลำดับการใช้ gate (ภายใต้สมมติฐานว่า gate เป็น Clifford และสัญญาณรบกวนเป็น Pauli channel Pauli ตัวเดียวจะถูกแมปไปเป็น Pauli อีกตัวหนึ่งเสมอ จนถึงตัวคูณสเกลาร์ที่เป็นฟังก์ชันของสัญญาณรบกวน) แน่นอนว่าวิวัฒนาการของสถานะ ใดๆ ภายใต้ลำดับเช่นนี้สามารถแสดงด้วยการรวมเชิงเส้นของวิถีเหล่านั้นได้ แต่ภายใต้สมมติฐานว่าเราเตรียมสถานะใน Pauli eigenstate เสมอ และวัดแล้วประมวลผลผลลัพธ์เพื่อคำนวณค่าคาดหมายของ Pauli operator เสมอ ความสัมพันธ์ระหว่างค่าคาดหมายกับพารามิเตอร์ของโมเดลสัญญาณรบกวนจะขึ้นกับวิถีเพียงเส้นเดียว เสมอ ซึ่งเป็นผลจากข้อเท็จจริงง่ายๆ ที่ว่าสถานะเริ่มต้นเป็นการรวมเชิงเส้นของ Pauli operator, แต่ละ gate และโมเดลสัญญาณรบกวนแมป Pauli ไปเป็น Pauli และรักษาความตั้งฉากของมันไว้ และค่าคาดหมายสุดท้าย “เลือก” Pauli เพียงตัวเดียวในการแยกส่วนสุดท้ายก่อนการวัด

การให้เหตุผลแบบนี้ปรากฏในแนวทางวิจัยคู่ขนานจำนวนมากด้านการเรียนรู้สัญญาณรบกวน รวมถึงในงานวิจัยด้าน Pauli gate-set learning [1, 2] งานวิจัยด้าน ACES [3] และงานวิจัยด้าน cycle benchmarking [4] การให้เหตุผลนี้ถูกขยายความต่อใน [5] เพื่อรวม Clifford-MCM gate (Clifford gate ที่ตามด้วยการวัดแบบ projective กลาง circuit) แพ็กเกจนี้ทำตาม [1, 5] อย่างใกล้ชิดที่สุด แม้จะไม่ได้ระบุชื่ออย่างชัดเจน แต่เรานำทฤษฎี Pattern Transfer Graph (PTG) มาใช้อธิบายว่า Pauli operator วิวัฒนาการผ่าน circuit สำหรับการเรียนรู้อย่างไร ซึ่งให้การแทนข้อมูลโดยตรงของ เส้นทาง ผ่านกราฟ

ต่อไปนี้เป็นการทบทวนแนวคิดทางคณิตศาสตร์หลักบางอย่างจากงานวิจัย ส่วนใหญ่มีไว้เพื่อรวบรวมสัญกรณ์ และเป็นเอกสารอ้างอิงเชิงแนวคิดสำหรับส่วนที่เหลือของแพ็กเกจ

1. พื้นฐาน

1.1 สัญกรณ์

สำหรับ $K \in \mathbb{N}$ ให้ $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$ สำหรับเซตจำกัด $S \subset \mathbb{N}$ ของดัชนี qubit ให้ $\mathcal{P}^S$ แทนเซตของ Pauli operator แบบ unphased ที่กระทำกับ qubit เหล่านั้น โปรดสังเกตว่าเราคิดว่าสมาชิกของ $\mathcal{P}^S$ เป็นฟังก์ชันที่แมป $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$ ดังนั้นสำหรับ $P \in \mathcal{P}^S$ และ $T \subseteq S$ ใดๆ $P|_T$ แทนการจำกัด $P$ ให้อยู่บนเซตย่อยของ qubit $T$ ในแนวทางเดียวกัน สำหรับเซตที่ไม่ซ้อนทับกัน $S, T$ และ $P \in \mathcal{P}^S$ และ $Q \in \mathcal{P}^T$ $P \otimes Q$ แทนสมาชิกของ $\mathcal{P}^{S \cup T}$ ที่ทำให้ $P \otimes Q |_S = P$ และ $P \otimes Q |_T = Q$ สัญกรณ์นี้ช่วยหลีกเลี่ยงการจัดการลำดับของระบบย่อยโดยตรง และทำให้อธิบายการจำกัดได้ง่าย

สำหรับเซตย่อยจำกัด $M \subset \mathbb{N}$ เราใช้ $\mathbb{Z}_2^M$ แทนเซตของสตริงบิตที่สมาชิกถูกจัดดัชนีด้วย $M$ เช่นเดียวกับข้างต้น เราคิดว่าสมาชิกเป็นฟังก์ชันที่แมป $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$ เพื่อให้เราอธิบายสตริงย่อยในรูปของการจำกัดเซตดัชนีได้ง่าย

สุดท้าย สำหรับเมทริกซ์ $X$ เราใช้ $| X \rangle\!\rangle$ แทนเวกเตอร์ไรเซชันของมัน จากวิธีจำกัดที่เราใช้สัญกรณ์นี้ จึงไม่จำเป็นต้องเลือกธรรมเนียมเวกเตอร์ไรเซชันที่เฉพาะเจาะจง สำหรับสตริงบิตคลาสสิก $m$ เราใช้ตัวย่อ $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$

1.2 Quantum instrument

การดำเนินการควอนตัมที่ให้บิตคลาสสิก $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (เช่น ผลของการวัด) โดยทั่วไปถูกจำลองเป็นแมปเชิงเส้นในรูป:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

โดยที่เซต $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ เป็น completely positive และ $\sum_m \mathcal{E}_m$ รักษา trace เซตของแมป completely positive $\{\mathcal{E}_m\}$ ที่เป็นไปตามสมบัติเหล่านี้เรียกว่า quantum instrument gate แบบ unitary เป็นกรณีพิเศษของ instrument ที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวซึ่งเป็นการดำเนินการแบบ unitary

2. Clifford-MCM-reset gate ที่มีสัญญาณรบกวน

ทฤษฎีที่ใช้ในแพ็กเกจนี้สมมติว่าทุก gate ในชุด gate ที่จะหาลักษณะเฉพาะประกอบด้วยลำดับการดำเนินการต่อไปนี้บน $K$ qubit:

1. การดำเนินการ Clifford บนทุก qubit

2. การวัดแบบ projective กลาง circuit ตามแกน $Z$ บนเซตย่อยของ qubit $M \subseteq [K]$

3. การ reset กลาง circuit ไปยังสถานะพื้น $Z$ บนเซตย่อยของ qubit $R \subseteq [K]$

นี่เป็นกลุ่มการดำเนินการทั่วไปที่รวม Clifford gate แบบ unitary, การวัด, การเตรียมสถานะ และการรวมกันใดๆ ของสิ่งเหล่านี้ โปรดสังเกตว่าเราสมมติว่าการวัดและการ reset อยู่ตามแกน $Z$ ของแต่ละ qubit เสมอ แม้ไม่ได้จำเป็นอย่างเคร่งครัด แต่เป็นลักษณะทั่วไปของการคำนวณเชิงควอนตัมหลายรูปแบบ และช่วยให้การแทนและการวิเคราะห์ง่ายขึ้น

ตามที่ระบุใน [5, 6] สำหรับกรณีที่ไม่มี reset หากใช้กลยุทธ์ twirling เฉพาะกับ gate ดังกล่าวที่มีสัญญาณรบกวน การกระทำของการดำเนินการที่ได้สามารถจำลองทางคณิตศาสตร์เป็น uniform Pauli instrument กล่าวคือ ในสัญกรณ์ quantum instrument $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ โดยที่ $G$ เป็น Clifford unitary และ:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

โดยที่แต่ละ $\Lambda_{a,b}$ เป็น Pauli channel แบบ sub-normalized บน qubit ที่ไม่ถูกวัด $N = [K] \setminus M$ การที่นี่เป็น quantum instrument บ่งบอกว่า $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ รักษา trace เช่นกัน หมายเหตุบางข้อ:

• สัญญาณรบกวนเริ่มต้นที่ยังไม่ผ่านการ twirl ถูกจำลองให้รวมทั้งข้อผิดพลาด “เชิงควอนตัม” และ “เชิงคลาสสิก” ได้แก่ การดำเนินการที่ผิดพลาดบน quantum register รวมทั้งความผิดพลาดในการรายงานค่าที่วัดได้

• แมปสัญญาณรบกวน $\Lambda_{a,b}$ ไม่ขึ้นกับ ผลการวัด $m$

กล่าวเป็นคำพูด หนึ่งพจน์ในผลรวมข้างต้นแทนการสังเกตผลการวัด $m$ เมื่อสถานะที่ถูกวัดคือ $| m + b \rangle$ (การจำแนกผิดหาก $b \neq 0$) และเมื่อสถานะเอาต์พุตบน measurement register คือ $| m + a \rangle$ (สถานะที่ “ผิด” เมื่อ $a \neq 0$) แมป $\Lambda_{a,b}$ เข้ารหัสทั้งการกระทำต่อ qubit ที่ไม่ถูกวัด (ตามเงื่อนไขของพฤติกรรมการวัด) และ ความน่าจะเป็น ของพฤติกรรมการวัดนั้น (ผ่านการ normalize) พร้อมกัน

โปรดสังเกตว่าที่นี่เราไม่ได้สนใจรายละเอียดของกลยุทธ์ twirling เพียงแต่มีกลยุทธ์เช่นนั้นที่ทำให้ channel อยู่ในรูปข้างต้นก็เพียงพอแล้ว โปรดสังเกตว่ามีกลยุทธ์ twirling ที่ “ละเอียดกว่า” ซึ่งจำกัดรูปของ Pauli channel ได้มากขึ้น [7] อย่างไรก็ตาม เราใช้รูปข้างต้นเป็นการแทนทางคณิตศาสตร์ที่ทั่วไปที่สุดที่พิจารณา

ใน Lemma 1 ของ [5] แสดงให้เห็นว่า $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

สำหรับจำนวนจริง $\lambda_{x,y}^Q$ บางชุด ซึ่งเรียกว่า fidelity ของ instrument

การเพิ่ม reset เข้าในภาพนี้ค่อนข้างตรงไปตรงมา การดำเนินการ reset ที่มีสัญญาณรบกวนบน qubit $R \subset [K]$ สามารถจำลองตามการแยกส่วนต่อไปนี้:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

รูปข้างต้นใช้สมมติฐานอย่างชัดเจนว่า reset อยู่ตามแกน $Z$ ของแต่ละ qubit สัญญาณรบกวนในการดำเนินการถูกเข้ารหัสใน reset fidelity $\lambda_r$ ซึ่งจัดดัชนีด้วยเซตย่อยของ qubit เท่านั้น

อะนาล็อกของสมการ (1) ที่รวมการดำเนินการ reset ไว้ท้ายสุดหาได้ง่ายๆ โดยประกอบมันกับสมการ (2) การประกอบนี้เมื่อทำให้ง่ายขึ้นแล้วจะได้:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

การแยกส่วนนี้บ่งชี้ว่าจำนวน fidelity $\lambda^Q_{x, y}$ คือ

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

พิจารณากรณีขอบเขต: (1) เมื่อไม่มีการวัดหรือ reset $M = R = \emptyset$ และนิพจน์ให้ $4^K$ ซึ่งเป็นจำนวน Pauli operator ที่ไม่มีเฟสบน $K$ qubit (2) เมื่อ $M = \emptyset$ และ $R=[K]$ จะได้ $2^K$ ซึ่งเป็นจำนวนเซตย่อยของ $[K]$ และสุดท้าย (3) เมื่อ $M = [K]$ และ $R = \emptyset$ จะได้ $4^K$ โปรดสังเกตว่าตอนแรกอาจดูน่าแปลกใจ: ในการเรียนรู้มาตรฐาน การวัดและ reset มักถูกพิจารณาว่ามีจำนวน fidelity เท่ากันคือ $2^K$ แต่ในที่นี้ gate ที่วัดทั้งหมดในบริบทนี้ถูกเข้าใจว่าไม่ใช่การวัด ปลายทาง แต่เป็น MCM ดังนั้น fidelity ที่สอดคล้องกับ เอาต์พุต ของการวัดที่ไม่ใช่เอกลักษณ์จึงถูกรวมไว้ด้วย (เช่น $y \neq 0$ ในสมการ (3))

สุดท้าย สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือกลยุทธ์ twirling ใดๆ ที่ให้รูปในสมการ (1) ในกรณีไม่มี reset ก็ใช้ได้เช่นเดียวกันกับกรณี reset ที่ไม่ธรรมดาด้วยการปรับเล็กน้อย ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นคือกลยุทธ์ twirling ดังกล่าวอาจต้องมีการดำเนินการบน qubit ที่ถูกวัด หลัง การวัด ดังนั้น หาก qubit ถูกวัด และ reset การนำกลยุทธ์ไปใช้ดูเหมือนต้องแทรกการดำเนินการ ภายใน gate ระหว่างการวัดกับ reset อย่างไรก็ตาม เนื่องจากธรรมชาติของ reset การดำเนินการเช่นนั้นไม่มีผลใดๆ และสามารถข้ามไปได้โดยยังได้โครงสร้างที่ต้องการเหมือนเดิม

3. ทฤษฎีแบบเส้นทาง

ตามที่อธิบายในบทนำ อัลกอริทึมการเรียนรู้ทั้งหมดสำหรับสัญญาณรบกวนแบบ Pauli บน Clifford gate อาศัยการติดตามว่า Pauli แต่ละตัววิวัฒนาการผ่าน circuit อย่างไร โดยรับตัวคูณ fidelity ของสัญญาณรบกวนไปตลอดทาง ค่าคาดหมายของ circuit ที่ประกอบด้วย gate เหล่านี้จึงสัมพันธ์อย่างง่ายกับผลคูณของ fidelity พื้นฐานของแต่ละ gate และด้วยวิธีนี้ สามารถอนุมานพารามิเตอร์ของโมเดลได้โดย การผกผัน การแมปพารามิเตอร์ไปเป็น fidelity แบบเบาบางที่สมมติไว้

ใน [1] ในบริบทของชุด gate แบบ unitary สิ่งนี้ถูกทำให้เป็นรูปธรรมเป็น Pattern Transfer Graph (PTG): กราฟมีทิศทางที่อธิบายการทดลองที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยสมาชิกของชุด gate และชั้นของ Clifford gate แบบ qubit เดี่ยว (ซึ่งสมมติว่าสมบูรณ์แบบหรือเป็นการดำเนินการ “ฟรี”) สิ่งนี้ถูกขยายความใน [5] เพื่อรวมชุด gate ที่มีการวัดกลาง circuit ในทั้งสองกรณี การทดลองแต่ละครั้งถูกอธิบายด้วยการติดตาม Pauli operator เพียงตัวเดียวผ่าน circuit ภายใต้สมมติฐานว่ามีการคำนวณ observable เฉพาะที่ทุกจุดวัด ที่นี่เราไม่ได้ทบทวนการสร้างกราฟหรือเส้นทางโดยตรง แต่นำเสนอข้อเท็จจริงที่จำเป็นเพื่อพิสูจน์มันในสัญกรณ์ของเราเองและรวม reset ไว้ด้วย

แม้การติดตาม Pauli operator เพียงตัวเดียวผ่าน circuit อาจเป็นเรื่องที่เข้าใจง่ายในกรณีชุด gate แบบ unitary แต่ไม่ชัดเจนนักว่าใช้ได้ในกรณี Clifford-MCM-reset ที่ทั่วไปกว่า เนื่องจากธรรมชาติที่ไม่กำหนดแน่นอนของการวัด ข้อเสนอต่อไปนี้ทำให้ภาพนี้กลับมาแม้ในกรณีที่ทั่วไปกว่า [5]:

ข้อเสนอ 1

สำหรับ $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ และ $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ ใดๆ จะได้ว่า:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเราคำนวณค่าคาดหมาย $Z^{x + y|_M}$ บน classical register ที่ MCM ส่งออก วิวัฒนาการแบบ “Heisenberg picture” ของ observable ผ่าน Clifford-MCM-reset gate จะแมป $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$ ข้อเท็จจริงนี้อย่างเดียวช่วยให้สามารถวิเคราะห์แบบ PTG ได้เกินกรณีชุด gate แบบ unitary: ด้วยการประมวลผลผลการวัดภายหลังแบบเฉพาะ แม้แต่ gate ที่มีการวัดและ reset ก็มองได้ว่าแมป Pauli operator ตัวหนึ่งไปเป็นอีกตัวหนึ่งอย่างกำหนดแน่นอน

ก่อนพิสูจน์สิ่งนี้ เราเขียนสมการ (3) ในแบบที่สื่อความได้ชัดขึ้น โปรดสังเกตว่าสำหรับ $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ จะได้ $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$ ดังนั้น (ในสัญกรณ์ super operator) เราได้:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

โดยที่เราใช้สมการ (3) และรวมพจน์ และเราใช้ตัวห้อย $M$ เพื่อระบุ register ผลการวัดแบบคลาสสิก ซึ่งเราจัดการด้วยสัญกรณ์คล้ายกับ quantum register ข้างต้น

การพิสูจน์ จะได้ว่า:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

สุดท้าย สังเกตว่า $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$ ดังนั้นพจน์สุดท้ายข้างต้นยุบลงเหลือพจน์เดียว $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$ ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

ดู [5] สำหรับการพัฒนาต่อจากจุดนี้: นิยามของ PTG, เส้นทางผ่าน PTG และการพิสูจน์ว่าเส้นทางที่นิยามอย่างถูกต้องทุกเส้นสอดคล้องกับการทดลอง

เอกสารอ้างอิง

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.