จำลองโมเดล kicked-Ising 127 ควอนตัมบิต

ในคู่มือนี้ เราใช้แพ็กเกจ pauli-prop เพื่อจำลองพลวัตเชิงเวลาของโมเดล kicked-Ising 127 ควอนตัมบิตบนแลตทิซ heavy-hex ด้วยคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิก และประมาณค่าแมกนีไทเซชันต่อไซต์เดี่ยว $\langle Z_{62} \rangle$ แฮมิลโทเนียนที่พิจารณาคือ:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

โดยที่ $J>0$ อธิบายการคับปลิงของสปินที่อยู่ใกล้กันที่สุด, $i<j$ และ $h$ คือสนามตามขวางส่วนกลาง การแยกส่วนแบบ Trotter อันดับหนึ่งของตัวดำเนินการที่วิวัฒน์ตามเวลาจะถูกสร้างเป็นควอนตัมเซอร์กิต $U$ ตลอด $20$ ขั้นของ Trotter ค่าคงที่การคับปลิง $J$ จะถูกกำหนดเป็น $J=-\frac{\pi}{2}$ ทำให้ $U$ เป็น Clifford ทุกครั้งที่ $h\mod\frac{\pi}{2}=0$

ขั้นตอนการทำงาน:

• สร้างควอนตัมเซอร์กิตที่สร้างโมเดล Ising แบบ Trotter

  • แปรค่า $h$ ระหว่างจุด Clifford คือ $0.0$ และ $\frac{\pi}{2}$

• เลือกไซต์ตรงกลางของแลตทิซ (ควอนตัมบิต $62$) และประมาณค่าแมกนีไทเซชันหลังผ่าน $20$ ขั้นของ Trotter สำหรับแต่ละเซอร์กิต

• สังเกตแมกนีไทเซชันที่ลดลงจาก $1.0$ ไปเป็น $0.0$ เมื่อ $h$ เคลื่อนจากจุด Clifford หนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง

สร้างเซอร์กิต

ก่อนอื่น เราใช้ FakeSherbrooke จาก qiskit-ibm-runtime เพื่อหาดัชนีขอบของ coupling map ของ QPU Eagle 127 ควอนตัมบิต เมื่อได้ดัชนีขอบแล้ว เราสร้างเซอร์กิต Trotter สำหรับค่า $h$ ต่าง ๆ ที่ต้องการจำลอง เซอร์กิตเหล่านี้จะสร้าง Trotterization อันดับหนึ่งของแฮมิลโทเนียนโดยใช้ 20 ขั้นของ Trotter และเกต 5420 เกต

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_ibm_runtime.fake_provider import FakeSherbrooke

# Get the edges in the device coupling map
backend = FakeSherbrooke()
edges = backend.coupling_map.get_edges()

# Num Trotter steps
num_steps = 20

# Create Trotter circuits with varying global fields
hs = [i * np.pi / 32 for i in range(17)]
circuits = []
for h in hs:
    circuit = QuantumCircuit(backend.num_qubits)
    for _ in range(num_steps):
        circuit.rx(h, [i for i in range(backend.num_qubits)])
        for edge in edges:
            circuit.rzz(-np.pi / 2, edge[0], edge[1])
    circuits.append(circuit)

จำลองพลวัตเชิงเวลาด้วย Pauli propagation

ถัดไป เราระบุออบเซอร์เวเบิล $O$ ที่ต้องการวัด ในกรณีนี้ เราประมาณค่า $\langle Z_{62} \rangle$

เพื่อศึกษาแมกนีไทเซชันระหว่างจุด Clifford เราแพร็อพาเกต $O$ ไปยังจุดเริ่มต้นของเซอร์กิต $U$ โดยประมาณ ได้ออบเซอร์เวเบิลใหม่ $O^\prime \approx U^{\dagger}OU$

ระหว่างการแพร็อพาเกต จำนวนพจน์ในออบเซอร์เวเบิลที่วิวัฒน์จะเพิ่มขึ้นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลตามจำนวนเกต จึงมักจำเป็นต้องจำกัดขนาดที่มันจะเติบโตได้ ในที่นี้ เราจำกัดจำนวนพจน์ใน $O^\prime$ ไว้ที่ $10^5$ และตัดพจน์ที่มีสัมประสิทธิ์น้อยกว่า $10^{-5}$ ทิ้ง การตัดพจน์ทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนบางส่วน เมื่อได้ $O^\prime$ แล้ว เราก็สามารถประมาณค่าคาดหมาย $\langle0|U^{\dagger}OU|0\rangle = \langle0|O^\prime|0\rangle$ ได้อย่างง่ายดาย โดยรวมสัมประสิทธิ์ของพจน์แนวทแยงใน $O^\prime$ (พจน์ที่ประกอบด้วย I หรือ Z บนทุกควอนตัมบิตเท่านั้น)

เรากำหนด frame='h' เพื่อระบุว่าต้องการวิวัฒน์ออบเซอร์เวเบิลในกรอบ Heisenberg ($U^{\dagger}OU$) ใช้ frame=s สำหรับวิวัฒนาการแบบ Schrödinger ($UOU^{\dagger}$)

import time

from pauli_prop import propagate_through_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, SparsePauliOp

# Z_62 observable
id_pauli = Pauli("I" * backend.num_qubits)
observable = SparsePauliOp(id_pauli.dot(Pauli("Z"), [62]))

# Estimate the single-site magnetization for varying magnetic fields
times = []
approx_evs = []
for circuit in circuits:
    st = time.perf_counter()
    propagated_obs = propagate_through_circuit(
        observable, circuit, 100_000, 1e-5, frame="h"
    )[0]
    times.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(
            propagated_obs.coeffs[~propagated_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum()
        )
    )
print(f"Finished {len(circuits)} simulations in {sum(times):.0f}s")

Finished 17 simulations in 494s

แสดงผลเป็นภาพ

สุดท้าย เราพล็อตแมกนีไทเซชันเป็นฟังก์ชันของ $h$ เมื่อ $h=0$ เซอร์กิตจะไม่กระทบสถานะเริ่มต้นในฐานการคำนวณ และเรารู้ว่า $\langle0|O|0\rangle = 1.0$ เมื่อ $h$ ห่างจาก $0$ มากขึ้น แมกนีไทเซชันจะลดลงแบบเอกภาพจนกระทั่ง $h$ ถึงมุม Clifford ถัดไป $\frac{\pi}{2}$ และแมกนีไทเซชันลู่เข้าสู่ $0$

import matplotlib.pyplot as plt

plt.xlabel(r"$R_x$ angle $\theta_h$")
plt.ylabel(r"$\langle Z_{62} \rangle$")
plt.plot(hs, approx_evs, marker="o")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x123f68b00>]