อสมการ CHSH

ประมาณการการใช้งาน: สองนาทีบนโปรเซสเซอร์ Heron r2 (หมายเหตุ: นี่เป็นเพียงการประมาณการ ระยะเวลาจริงอาจแตกต่างกัน)

พื้นหลัง

ในบทแนะนำนี้ คุณจะรันการทดลองบนคอมพิวเตอร์ควอนตัมเพื่อแสดงให้เห็นการละเมิดอสมการ CHSH ด้วย Estimator primitive

อสมการ CHSH ซึ่งตั้งชื่อตามผู้เขียน Clauser, Horne, Shimony และ Holt ถูกใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของเบลล์เชิงทดลอง (ค.ศ. 1969) ทฤษฎีบทนี้ยืนยันว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ไม่สามารถอธิบายผลที่ตามมาบางประการของการพัวพันในกลศาสตร์ควอนตัมได้ การละเมิดอสมการ CHSH ถูกใช้เพื่อแสดงว่ากลศาสตร์ควอนตัมนั้นไม่สอดคล้องกับทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ นี่เป็นการทดลองที่สำคัญในการทำความเข้าใจรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัม

รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ปี 2022 มอบให้แก่ Alain Aspect, John Clauser และ Anton Zeilinger ส่วนหนึ่งเนื่องจากผลงานบุกเบิกของพวกเขาในสาขาวิทยาศาสตร์สารสนเทศควอนตัม และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการทดลองด้วยโฟตอนที่พัวพันกันซึ่งแสดงให้เห็นการละเมิดอสมการของเบลล์

ข้อกำหนดเบื้องต้น

ก่อนเริ่มบทแนะนำนี้ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณได้ติดตั้งสิ่งต่อไปนี้แล้ว:

• Qiskit SDK v1.0 หรือใหม่กว่า พร้อมรองรับ visualization
• Qiskit Runtime (pip install qiskit-ibm-runtime) v0.22 หรือใหม่กว่า

ตั้งค่า

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# General
import numpy as np

# Qiskit imports
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Parameter
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

# Qiskit Runtime imports
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

# Plotting routines
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as tck

ขั้นตอนที่ 1: แปลงอินพุตแบบคลาสสิกเป็นปัญหาควอนตัม

สำหรับการทดลองนี้ เราจะสร้างคู่ที่พัวพันกันซึ่งเราวัด Qubit แต่ละตัวบนสองฐานที่แตกต่างกัน เราจะกำหนดชื่อฐานสำหรับ Qubit แรกว่า $A$ และ $a$ และฐานสำหรับ Qubit ที่สองว่า $B$ และ $b$ ซึ่งช่วยให้เราคำนวณปริมาณ CHSH $S_1$ ได้:

$$S_1 = A(B-b) + a(B+b).$$

Observable แต่ละตัวมีค่าเป็น $+1$ หรือ $-1$ เห็นได้ชัดว่าหนึ่งในเทอม $B\pm b$ ต้องเป็น $0$ และอีกเทอมต้องเป็น $\pm 2$ ดังนั้น $S_1 = \pm 2$ ค่าเฉลี่ยของ $S_1$ ต้องเป็นไปตามอสมการ:

$$|\langle S_1 \rangle|\leq 2.$$

การกระจาย $S_1$ ในรูปของ $A$, $a$, $B$, และ $b$ ให้ผลลัพธ์:

$$|\langle S_1 \rangle| = |\langle AB \rangle - \langle Ab \rangle + \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

คุณสามารถกำหนดปริมาณ CHSH อีกค่าหนึ่งคือ $S_2$:

$$S_2 = A(B+b) - a(B-b),$$

ซึ่งนำไปสู่อสมการอีกข้อหนึ่ง:

$$|\langle S_2 \rangle| = |\langle AB \rangle + \langle Ab \rangle - \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

หากกลศาสตร์ควอนตัมสามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ อสมการข้างต้นจะต้องเป็นจริง อย่างไรก็ตาม ดังที่แสดงให้เห็นในบทแนะนำนี้ อสมการเหล่านี้สามารถถูกละเมิดได้ในคอมพิวเตอร์ควอนตัม ดังนั้นกลศาสตร์ควอนตัมจึงไม่สอดคล้องกับทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ หากต้องการศึกษาทฤษฎีเพิ่มเติม ลองสำรวจ Entanglement in Action กับ John Watrous คุณจะสร้างคู่ที่พัวพันกันระหว่าง Qubit สองตัวในคอมพิวเตอร์ควอนตัมโดยการสร้างสถานะเบลล์ $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$ การใช้ Estimator primitive ช่วยให้คุณได้ค่าความคาดหวังที่ต้องการโดยตรง ($\langle AB \rangle, \langle Ab \rangle, \langle aB \rangle$ และ $\langle ab \rangle$) เพื่อคำนวณค่าความคาดหวังของปริมาณ CHSH ทั้งสอง $\langle S_1\rangle$ และ $\langle S_2\rangle$ ก่อนการแนะนำ Estimator primitive คุณต้องสร้างค่าความคาดหวังจากผลลัพธ์การวัด

คุณจะวัด Qubit ที่สองในฐาน $Z$ และ $X$ ส่วน Qubit แรกจะวัดในฐานตั้งฉากเช่นกัน แต่มีมุมเทียบกับ Qubit ที่สอง ซึ่งเราจะกวาดระหว่าง $0$ ถึง $2\pi$ ดังที่คุณจะเห็น Estimator primitive ทำให้การรัน Circuit ที่มีพารามิเตอร์เป็นเรื่องง่ายมาก แทนที่จะสร้าง CHSH Circuit หลายตัว คุณต้องสร้างเพียง หนึ่ง CHSH Circuit ที่มีพารามิเตอร์ระบุมุมการวัดและชุดค่าเฟสสำหรับพารามิเตอร์นั้น

สุดท้าย คุณจะวิเคราะห์ผลลัพธ์และพล็อตเทียบกับมุมการวัด คุณจะเห็นว่าในช่วงมุมการวัดบางช่วง ค่าความคาดหวังของปริมาณ CHSH $|\langle S_1\rangle| > 2$ หรือ $|\langle S_2\rangle| > 2$ ซึ่งแสดงให้เห็นการละเมิดอสมการ CHSH

# To run on hardware, select the backend with the fewest number of jobs in the queue
service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
backend.name

'ibm_kingston'

สร้าง CHSH Circuit ที่มีพารามิเตอร์

ก่อนอื่น เราจะเขียน Circuit ที่มีพารามิเตอร์ $\theta$ ซึ่งเราเรียกว่า theta Estimator primitive สามารถทำให้การสร้าง Circuit และการวิเคราะห์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นอย่างมากโดยการให้ค่าความคาดหวังของ Observable โดยตรง ปัญหาหลายอย่างที่น่าสนใจ โดยเฉพาะสำหรับการประยุกต์ใช้งานระยะใกล้บนระบบที่มีสัญญาณรบกวน สามารถกำหนดในรูปของค่าความคาดหวัง Estimator (V2) primitive สามารถเปลี่ยนฐานการวัดโดยอัตโนมัติตาม Observable ที่ให้มา

theta = Parameter("$\\theta$")

chsh_circuit = QuantumCircuit(2)
chsh_circuit.h(0)
chsh_circuit.cx(0, 1)
chsh_circuit.ry(theta, 0)
chsh_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

สร้างรายการค่าเฟสที่จะกำหนดภายหลัง

หลังจากสร้าง CHSH Circuit ที่มีพารามิเตอร์แล้ว คุณจะสร้างรายการค่าเฟสที่จะกำหนดให้กับ Circuit ในขั้นตอนถัดไป คุณสามารถใช้โค้ดต่อไปนี้เพื่อสร้างรายการค่าเฟส 21 ค่าในช่วง $0$ ถึง $2 \pi$ ด้วยระยะห่างเท่ากัน คือ $0$, $0.1 \pi$, $0.2 \pi$, ..., $1.9 \pi$, $2 \pi$

number_of_phases = 21
phases = np.linspace(0, 2 * np.pi, number_of_phases)
# Phases need to be expressed as list of lists in order to work
individual_phases = [[ph] for ph in phases]

Observable

ตอนนี้เราต้องการ Observable เพื่อคำนวณค่าความคาดหวัง ในกรณีของเรา เราดูที่ฐานตั้งฉากสำหรับ Qubit แต่ละตัว โดยให้การหมุน $Y$ ที่มีพารามิเตอร์สำหรับ Qubit แรกกวาดฐานการวัดแทบต่อเนื่องเทียบกับฐานของ Qubit ที่สอง ดังนั้นเราจะเลือก Observable $ZZ$, $ZX$, $XZ$ และ $XX$

# <CHSH1> = <AB> - <Ab> + <aB> + <ab> -> <ZZ> - <ZX> + <XZ> + <XX>
observable1 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", -1), ("XZ", 1), ("XX", 1)]
)

# <CHSH2> = <AB> + <Ab> - <aB> + <ab> -> <ZZ> + <ZX> - <XZ> + <XX>
observable2 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", 1), ("XZ", -1), ("XX", 1)]
)

ขั้นตอนที่ 2: ปรับแต่งปัญหาสำหรับการรันบนฮาร์ดแวร์ควอนตัม

เพื่อลดเวลาการรันงานทั้งหมด V2 primitives รับเฉพาะ Circuit และ Observable ที่สอดคล้องกับคำสั่งและการเชื่อมต่อที่รองรับโดยระบบเป้าหมาย (เรียกว่า ISA circuits และ observables)

ISA Circuit

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

chsh_isa_circuit = pm.run(chsh_circuit)
chsh_isa_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

ISA Observables

ในทำนองเดียวกัน เราต้องแปลง Observable เพื่อให้ใช้งานได้กับ Backend ก่อนรันงานด้วย Runtime Estimator V2 เราสามารถทำการแปลงนี้ได้โดยใช้เมธอด apply_layout ของออบเจกต์ SparsePauliOp

isa_observable1 = observable1.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)
isa_observable2 = observable2.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)

ขั้นตอนที่ 3: รันด้วย Qiskit primitives

เพื่อรันการทดลองทั้งหมดในการเรียกครั้งเดียวด้วย Estimator เราสามารถสร้าง Qiskit Runtime Estimator primitive เพื่อคำนวณค่าความคาดหวังของเรา เมธอด EstimatorV2.run() รับ iterable ของ primitive unified blocs (PUBs) แต่ละ PUB เป็น iterable ในรูปแบบ (circuit, observables, parameter_values: Optional, precision: Optional)

# To run on a local simulator:
# Use the StatevectorEstimator from qiskit.primitives instead.

estimator = Estimator(mode=backend)

pub = (
    chsh_isa_circuit,  # ISA circuit
    [[isa_observable1], [isa_observable2]],  # ISA Observables
    individual_phases,  # Parameter values
)

job_result = estimator.run(pubs=[pub]).result()

ขั้นตอนที่ 4: ประมวลผลหลังการรันและส่งคืนผลลัพธ์ในรูปแบบคลาสสิกที่ต้องการ

Estimator ส่งคืนค่าความคาดหวังสำหรับ Observable ทั้งสองตัว คือ $\langle ZZ \rangle - \langle ZX \rangle + \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$ และ $\langle ZZ \rangle + \langle ZX \rangle - \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$

chsh1_est = job_result[0].data.evs[0]
chsh2_est = job_result[0].data.evs[1]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# results from hardware
ax.plot(phases / np.pi, chsh1_est, "o-", label="CHSH1", zorder=3)
ax.plot(phases / np.pi, chsh2_est, "o-", label="CHSH2", zorder=3)

# classical bound +-2
ax.axhline(y=2, color="0.9", linestyle="--")
ax.axhline(y=-2, color="0.9", linestyle="--")

# quantum bound, +-2√2
ax.axhline(y=np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.axhline(y=-np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.fill_between(phases / np.pi, 2, 2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)
ax.fill_between(phases / np.pi, -2, -2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)

# set x tick labels to the unit of pi
ax.xaxis.set_major_formatter(tck.FormatStrFormatter("%g $\\pi$"))
ax.xaxis.set_major_locator(tck.MultipleLocator(base=0.5))

# set labels, and legend
plt.xlabel("Theta")
plt.ylabel("CHSH witness")
plt.legend()
plt.show()

ในรูป เส้นและพื้นที่สีเทาแสดงขอบเขต เส้นด้านนอกสุด (เส้นประสลับจุด) แสดงขอบเขตควอนตัม ($\pm 2$) ส่วนเส้นด้านใน (เส้นประ) แสดงขอบเขตคลาสสิก ($\pm 2\sqrt{2}$) คุณจะเห็นว่ามีบางบริเวณที่ปริมาณ CHSH witness เกินขอบเขตคลาสสิก ยินดีด้วย! คุณได้แสดงให้เห็นการละเมิดอสมการ CHSH ในระบบควอนตัมจริงสำเร็จแล้ว!

แบบสำรวจบทแนะนำ

กรุณาทำแบบสำรวจสั้นนี้เพื่อให้ข้อเสนอแนะเกี่ยวกับบทแนะนำนี้ ความคิดเห็นของคุณจะช่วยให้เราปรับปรุงเนื้อหาและประสบการณ์การใช้งาน

ลิงก์ไปยังแบบสำรวจ

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.