ข้อมูลแบบคลาสสิก

เพื่ออธิบายข้อมูลเชิงควอนตัมและวิธีที่มันทำงาน เราจะเริ่มต้นด้วยภาพรวมของข้อมูลแบบคลาสสิก เป็นเรื่องธรรมชาติที่จะสงสัยว่าทำไมต้องให้ความสนใจกับข้อมูลแบบคลาสสิกมากในคอร์สเกี่ยวกับข้อมูลเชิงควอนตัม แต่มีเหตุผลที่ดี

ประการหนึ่ง แม้ว่าข้อมูลเชิงควอนตัมและข้อมูลแบบคลาสสิกจะแตกต่างกันในบางวิธีที่น่าทึ่ง แต่คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของพวกมันจริงๆ แล้วค่อนข้างคล้ายกัน ข้อมูลแบบคลาสสิกยังเป็นจุดอ้างอิงที่คุ้นเคยเมื่อศึกษาข้อมูลเชิงควอนตัม รวมถึงเป็นแหล่งของการเปรียบเทียบที่ใช้ได้ไกลอย่างน่าแปลกใจ เป็นเรื่องปกติที่คนถามคำถามเกี่ยวกับข้อมูลเชิงควอนตัมที่มีคู่แทนแบบคลาสสิกตามธรรมชาติ และบ่อยครั้งคำถามเหล่านั้นมีคำตอบง่ายๆ ที่สามารถให้ทั้งความชัดเจนและข้อมูลเชิงลึกสำหรับคำถามเดิมเกี่ยวกับข้อมูลเชิงควอนตัม จริงๆ แล้ว ไม่ใช่เรื่องเกินจริงที่จะอ้างว่าคนไม่สามารถเข้าใจข้อมูลเชิงควอนตัมได้อย่างแท้จริงโดยไม่เข้าใจข้อมูลแบบคลาสสิก

ผู้อ่านบางคนอาจคุ้นเคยกับเนื้อหาที่จะพูดถึงในส่วนนี้แล้ว ในขณะที่คนอื่นอาจไม่คุ้นเคย — แต่การอภิปรายมีไว้สำหรับทั้งสองกลุ่มผู้ฟัง นอกจากการเน้นย้ำแง่มุมของข้อมูลแบบคลาสสิกที่เกี่ยวข้องมากที่สุดสำหรับบทนำสู่ข้อมูลเชิงควอนตัม ส่วนนี้ยังแนะนำ Dirac notation ซึ่งมักใช้อธิบายเวกเตอร์และเมทริกซ์ในข้อมูลและการคำนวณเชิงควอนตัม ปรากฏว่า Dirac notation ไม่ได้เฉพาะเจาะจงสำหรับข้อมูลเชิงควอนตัม มันสามารถใช้ได้ในบริบทของข้อมูลแบบคลาสสิกได้เช่นเดียวกัน รวมถึงในหลายบริบทอื่นๆ ที่เวกเตอร์และเมทริกซ์ปรากฏขึ้น

สถานะแบบคลาสสิกและเวกเตอร์ความน่าจะเป็น

สมมติว่าเรามีระบบที่เก็บข้อมูล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะสมมติว่าระบบนี้สามารถอยู่ในหนึ่งในจำนวน สถานะแบบคลาสสิก ที่จำกัดในแต่ละชั่วขณะ ที่นี่ คำว่า สถานะแบบคลาสสิก ควรเข้าใจในแง่ที่เข้าใจง่าย คือ การกำหนดค่าที่สามารถรับรู้และอธิบายได้อย่างชัดเจน

ตัวอย่างต้นแบบที่เราจะกลับมาซ้ำแล้วซ้ำเล่าคือ บิต ซึ่งเป็นระบบที่สถานะแบบคลาสสิกคือ $0$ และ $1$ ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ ลูกเต๋าหกหน้ามาตรฐาน ที่สถานะแบบคลาสสิกคือ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ และ $6$ (แทนด้วยจำนวนจุดบนหน้าที่หงายขึ้น); นิวคลีโอเบสในสาย DNA ที่สถานะแบบคลาสสิกคือ A, C, G, และ T; และสวิตช์พัดลมไฟฟ้า ที่สถานะแบบคลาสสิกโดยทั่วไปคือ สูง, กลาง, ต่ำ, และ ปิด ในแง่คณิตศาสตร์ การระบุสถานะแบบคลาสสิกของระบบเป็นจุดเริ่มต้น: เรา นิยาม บิตให้เป็นระบบที่มีสถานะแบบคลาสสิก $0$ และ $1$ และเช่นเดียวกันสำหรับระบบที่มีเซตสถานะแบบคลาสสิกที่แตกต่างกัน

เพื่อประโยชน์ของการอภิปรายนี้ ให้ตั้งชื่อระบบที่กำลังพิจารณาว่า $\mathsf{X}$ และใช้สัญลักษณ์ $\Sigma$ เพื่ออ้างถึงเซตสถานะแบบคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ นอกจากสมมติฐานว่า $\Sigma$ มีจำนวนจำกัด ซึ่งกล่าวถึงแล้ว เราสมมติตามธรรมชาติว่า $\Sigma$ ไม่ว่าง — เพราะมันไม่สมเหตุสมผลสำหรับระบบทางกายภาพที่จะไม่มีสถานะใดเลย และแม้ว่ามันจะมีความหมายที่จะพิจารณาระบบทางกายภาพที่มีสถานะแบบคลาสสิก อนันต์ มากมาย เราจะละเว้นความเป็นไปได้นี้ ซึ่งน่าสนใจอย่างแน่นอนแต่ไม่เกี่ยวข้องกับคอร์สนี้ ด้วยเหตุผลเหล่านี้ และเพื่อความสะดวกและกระชับ เราจะใช้คำว่า เซตสถานะแบบคลาสสิก ต่อไปนี้เพื่อหมายถึงเซตที่มีจำนวนจำกัดและไม่ว่าง

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วน:

1. ถ้า $\mathsf{X}$ เป็นบิต แล้ว $\Sigma = \{0,1\}.$ พูดเป็นคำพูดว่า เราเรียกเซตนี้ว่า ตัวอักษรไบนารี
2. ถ้า $\mathsf{X}$ เป็นลูกเต๋าหกหน้า แล้ว $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}.$
3. ถ้า $\mathsf{X}$ เป็นสวิตช์พัดลมไฟฟ้า แล้ว $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}.$

เมื่อคิดถึง $\mathsf{X}$ ในฐานะพาหะข้อมูล สถานะแบบคลาสสิกต่างๆ ของ $\mathsf{X}$ อาจถูกกำหนดความหมายบางอย่าง นำไปสู่ผลลัพธ์หรือผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน ในกรณีดังกล่าว อาจเพียงพอที่จะอธิบาย $\mathsf{X}$ ว่าเพียงแค่อยู่ในสถานะแบบคลาสสิกสถานะหนึ่งที่เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า $\mathsf{X}$ เป็นสวิตช์พัดลม เราอาจทราบแน่ชัดว่ามันถูกตั้งเป็น สูง ซึ่งอาจนำไปสู่การเปลี่ยนเป็น กลาง

บ่อยครั้งในการประมวลผลข้อมูล อย่างไรก็ตาม ความรู้ของเราอาจไม่แน่นอน วิธีหนึ่งในการแทนความรู้ของเราเกี่ยวกับสถานะแบบคลาสสิกของระบบ $\mathsf{X}$ คือการเชื่อมโยง ความน่าจะเป็น กับสถานะแบบคลาสสิกต่างๆ ที่เป็นไปได้ของมัน ส่งผลให้สิ่งที่เราจะเรียกว่า สถานะแบบความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\mathsf{X}$ เป็นบิต จากสิ่งที่เรารู้หรือคาดหวังเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นกับ $\mathsf{X}$ ในอดีต อาจเป็นไปได้ว่าเราเชื่อว่า $\mathsf{X}$ อยู่ในสถานะแบบคลาสสิก $0$ ด้วยความน่าจะเป็น $3/4$ และในสถานะ $1$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/4$ เราอาจแทนความเชื่อเหล่านี้โดยเขียน:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{and}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

วิธีที่กระชับกว่าในการแทนสถานะแบบความน่าจะเป็นนี้คือเวกเตอร์คอลัมน์

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

ความน่าจะเป็นที่บิตเป็น $0$ วางไว้ที่ด้านบนของเวกเตอร์และความน่าจะเป็นที่บิตเป็น $1$ วางไว้ที่ด้านล่าง เพราะนี่เป็นวิธีทั่วไปในการจัดลำดับเซต $\{0,1\}$

โดยทั่วไป เราสามารถแทนสถานะแบบความน่าจะเป็นของระบบที่มีเซตสถานะแบบคลาสสิกใดๆ ในลักษณะเดียวกัน เป็นเวกเตอร์ของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นสามารถเรียงลำดับในทางใดก็ได้ที่เราเลือก แต่โดยปกติมีวิธีธรรมชาติหรือค่าเริ่มต้นในการทำเช่นนั้น เพื่อความแม่นยำ เราสามารถแทนสถานะแบบความน่าจะเป็นใดๆ ผ่านเวกเตอร์คอลัมน์ที่ตอบสนองสองคุณสมบัติ:

1. รายการทั้งหมดของเวกเตอร์เป็น จำนวนจริงที่ไม่ติดลบ
2. ผลรวมของรายการเท่ากับ $1$

ในทางกลับกัน เวกเตอร์คอลัมน์ใดๆ ที่ตอบสนองสองคุณสมบัตินี้สามารถนำมาเป็นการแทนของสถานะแบบความน่าจะเป็น ต่อจากนี้ เราจะอ้างถึงเวกเตอร์ในรูปแบบนี้ว่า เวกเตอร์ความน่าจะเป็น

นอกจากความกระชับของ notation นี้ การระบุสถานะแบบความน่าจะเป็นเป็นเวกเตอร์คอลัมน์มีข้อดีที่การดำเนินการบนสถานะแบบความน่าจะเป็นถูกแทนผ่านการคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์ ดังที่จะพูดถึงในไม่ช้า

การวัดสถานะแบบความน่าจะเป็น

ต่อไปให้พิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้นถ้าเรา วัด ระบบเมื่อมันอยู่ในสถานะแบบความน่าจะเป็น ในบริบทนี้ การวัดระบบหมายความว่าเราเพียงแค่มองที่ระบบและรับรู้สถานะแบบคลาสสิกใดก็ตามที่มันอยู่โดยไม่มีความคลุมเครือ ในแง่เชิงสัญชาตญาณ เราไม่สามารถ "เห็น" สถานะแบบความน่าจะเป็นของระบบได้ เมื่อเรามองที่มัน เราเห็นแค่หนึ่งในสถานะแบบคลาสสิกที่เป็นไปได้

การวัดระบบอาจเปลี่ยนความรู้ของเราเกี่ยวกับมันด้วย และดังนั้นสถานะแบบความน่าจะเป็นที่เราเชื่อมโยงกับมันอาจเปลี่ยนแปลงได้ กล่าวคือ ถ้าเรารับรู้ว่า $\mathsf{X}$ อยู่ในสถานะแบบคลาสสิก $a\in\Sigma$ แล้วเวกเตอร์ความน่าจะเป็นใหม่ที่แทนความรู้ของเราเกี่ยวกับสถานะของ $\mathsf{X}$ กลายเป็นเวกเตอร์ที่มี $1$ ในรายการที่สอดคล้องกับ $a$ และ $0$ สำหรับรายการอื่นทั้งหมด เวกเตอร์นี้บ่งบอกว่า $\mathsf{X}$ อยู่ในสถานะแบบคลาสสิก $a$ อย่างแน่นอน — ซึ่งเราทราบหลังจากรับรู้มันแล้ว — และเราแทนเวกเตอร์นี้ด้วย $\vert a\rangle$ ซึ่งอ่านว่า "ket $a$" ด้วยเหตุผลที่จะอธิบายในไม่ช้า เวกเตอร์ประเภทนี้ยังเรียกว่าเวกเตอร์ ฐานมาตรฐาน

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าระบบที่เราคิดถึงเป็นบิต เวกเตอร์ฐานมาตรฐานได้รับโดย

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

สังเกตว่าเวกเตอร์คอลัมน์สองมิติใดๆ สามารถแสดงเป็น linear combination ของเวกเตอร์สองตัวนี้ได้ ตัวอย่างเช่น

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

ข้อเท็จจริงนี้สรุปได้ตามธรรมชาติสำหรับเซตสถานะแบบคลาสสิกใดๆ: เวกเตอร์คอลัมน์ใดๆ สามารถเขียนเป็น linear combination ของสถานะฐานมาตรฐาน บ่อยครั้งเราแสดงเวกเตอร์ในลักษณะนี้พอดี

กลับมาที่การเปลี่ยนแปลงของสถานะแบบความน่าจะเป็นเมื่อถูกวัด เราอาจสังเกตเห็นความเชื่อมโยงต่อไปนี้กับประสบการณ์ในชีวิตประจำวันของเรา สมมติว่าเราโยนเหรียญที่สมดุลแต่ปิดมันก่อนที่จะมอง เราจะบอกว่าสถานะแบบความน่าจะเป็นของมันคือ

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

ที่นี่ เซตสถานะแบบคลาสสิกของเหรียญของเราคือ $\{\text{heads},\text{tails}\}.$ เราจะเลือกจัดลำดับสถานะเหล่านี้โดยให้ heads ก่อน tails ถัดไป

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

ถ้าเราเปิดเหรียญแล้วมองมัน เราจะเห็นหนึ่งในสองสถานะแบบคลาสสิก: heads หรือ tails สมมติว่าผลลัพธ์เป็น tails เราจะอัปเดตคำอธิบายสถานะแบบความน่าจะเป็นของเหรียญตามธรรมชาติเพื่อให้มันกลายเป็น $|\text{tails}\rangle$ แน่นอน ถ้าเราปิดเหรียญอีกครั้งแล้วเปิดและมองอีกครั้ง สถานะแบบคลาสสิกก็ยังคงเป็น tails ซึ่งสอดคล้องกับสถานะแบบความน่าจะเป็นที่อธิบายโดยเวกเตอร์ $|\text{tails}\rangle$

สิ่งนี้อาจดูชัดเจนมาก และในบางแง่มันก็เป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตาม ในขณะที่ระบบควอนตัมทำงานในลักษณะที่เปรียบเทียบได้อย่างสมบูรณ์ คุณสมบัติการวัดของพวกมันมักถูกพิจารณาว่าแปลกหรือผิดปกติ ด้วยการสร้างคุณสมบัติที่เปรียบได้ของระบบแบบคลาสสิก วิธีที่ข้อมูลเชิงควอนตัมทำงานอาจดูผิดปกติน้อยลง

ข้อสังเกตสุดท้ายเกี่ยวกับการวัดสถานะแบบความน่าจะเป็นคือ: สถานะแบบความน่าจะเป็นอธิบายความรู้หรือความเชื่อ ไม่จำเป็นต้องเป็นสิ่งที่เป็นจริง และการวัดเพียงแค่เปลี่ยนความรู้ของเราและไม่ใช่ระบบเอง ตัวอย่างเช่น สถานะของเหรียญหลังจากที่เราโยนมันแต่ก่อนที่เราจะมองคือ heads หรือ tails — เราแค่ไม่รู้ว่าอันไหนจนกว่าเราจะมอง เมื่อเห็นว่าสถานะแบบคลาสสิกคือ tails สมมติว่า เราจะอัปเดตเวกเตอร์ที่อธิบายความรู้ของเราตามธรรมชาติเป็น $|\text{tails}\rangle$ แต่สำหรับคนอื่นที่ไม่ได้เห็นเหรียญเมื่อถูกเปิด สถานะแบบความน่าจะเป็นจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง นี่ไม่ใช่สาเหตุของความกังวล บุคคลต่างๆ อาจมีความรู้หรือความเชื่อที่แตกต่างกันเกี่ยวกับระบบใดระบบหนึ่ง และดังนั้นอธิบายระบบนั้นด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน

การดำเนินการแบบคลาสสิก

ในส่วนสุดท้ายของสรุปสั้นๆ เกี่ยวกับข้อมูลแบบคลาสสิกนี้ เราจะพิจารณาประเภทของการดำเนินการที่สามารถทำกับระบบแบบคลาสสิกได้

การดำเนินการแบบกำหนดแน่นอน

ประการแรก มีการดำเนินการแบบกำหนดแน่นอน ซึ่งแต่ละสถานะแบบคลาสสิก $a\in\Sigma$ ถูกแปลงเป็น $f(a)$ สำหรับฟังก์ชันบางฟังก์ชัน $f$ ในรูปแบบ $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$

ตัวอย่างเช่น ถ้า $\Sigma = \{0,1\}$ มีสี่ฟังก์ชันในรูปแบบนี้ $f_1,$ $f_2,$ $f_3,$ และ $f_4$ ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยตารางค่าดังนี้:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

ฟังก์ชันแรกและสุดท้ายในเหล่านี้เป็น คงที่: $f_1(a) = 0$ และ $f_4(a) = 1$ สำหรับแต่ละ $a\in\Sigma$ สองฟังก์ชันตรงกลางไม่คงที่ แต่เป็น สมดุล: ค่าเอาต์พุตแต่ละค่าในสองค่าเกิดขึ้นในจำนวนครั้งเท่ากัน (ครั้งเดียว ในกรณีนี้) เมื่อเราดูอินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด ฟังก์ชัน $f_2$ คือฟังก์ชัน identity: $f_2(a) = a$ สำหรับแต่ละ $a\in\Sigma$ และ $f_3$ คือฟังก์ชัน $f_3(0) = 1$ และ $f_3(1) = 0$ ซึ่งรู้จักกันดีในชื่อฟังก์ชัน NOT

การกระทำของการดำเนินการแบบกำหนดแน่นอนบนสถานะแบบความน่าจะเป็นสามารถแทนได้โดยการคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์ $M$ ที่แทนฟังก์ชัน $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ ที่กำหนดคือเมทริกซ์ที่ตอบสนอง

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

สำหรับทุก $a\in\Sigma$ เมทริกซ์ดังกล่าวมีอยู่เสมอและถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยข้อกำหนดนี้ เมทริกซ์ที่แทนการดำเนินการแบบกำหนดแน่นอนมี $1$ หนึ่งตัวในแต่ละคอลัมน์เสมอ และ $0$ สำหรับรายการอื่นทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $M_1,\ldots,M_4$ ที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน $f_1,\ldots,f_4$ ข้างต้นเป็นดังนี้:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

ต่อไปนี้คือการตรวจสอบรวดเร็วที่แสดงว่าเมทริกซ์แรกถูกต้อง อีกสามเมทริกซ์สามารถตรวจสอบในทำนองเดียวกัน

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

วิธีที่สะดวกในการแทนเมทริกซ์ในรูปแบบเหล่านี้และรูปแบบอื่นๆ ใช้ notation ที่เปรียบเทียบได้สำหรับเวกเตอร์แถวกับ notation สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์ที่พูดถึงก่อนหน้า: เราแทนด้วย $\langle a \vert$ เวกเตอร์ แถว ที่มี $1$ ในรายการที่สอดคล้องกับ $a$ และศูนย์สำหรับรายการอื่นทั้งหมด สำหรับแต่ละ $a\in\Sigma$ เวกเตอร์นี้อ่านว่า "bra $a$"

ตัวอย่างเช่น ถ้า $\Sigma = \{0,1\}$ แล้ว

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

สำหรับเซตสถานะแบบคลาสสิก $\Sigma$ ใดๆ เราสามารถมองเวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์เป็นเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ $\vert b\rangle \langle a\vert$ เราได้เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มี $1$ ในรายการที่สอดคล้องกับคู่ $(b,a)$ หมายความว่าแถวของรายการสอดคล้องกับสถานะแบบคลาสสิก $b$ และคอลัมน์สอดคล้องกับสถานะแบบคลาสสิก $a$ โดย $0$ สำหรับรายการอื่นทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

โดยใช้ notation นี้ เราสามารถแสดงเมทริกซ์ $M$ ที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ ที่กำหนดใดๆ เป็น

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชัน $f_4$ ข้างต้น สำหรับ $\Sigma = \{0,1\}$ เราได้เมทริกซ์

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

เหตุผลที่สิ่งนี้ทำงานเป็นดังนี้ ถ้าเราคิดเกี่ยวกับเวกเตอร์เป็นเมทริกซ์อีกครั้ง และคราวนี้พิจารณาการคูณ $\langle a \vert \vert b \rangle$ เราได้เมทริกซ์ $1\times 1$ ซึ่งเราสามารถคิดว่าเป็นสเกลาร์ (คือตัวเลข) เพื่อความเรียบร้อย เราเขียนผลคูณนี้เป็น $\langle a \vert b\rangle$ แทนที่จะเป็น $\langle a \vert \vert b \rangle$ ผลคูณนี้ตอบสนองสูตรง่ายๆ ต่อไปนี้:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

โดยใช้การสังเกตนี้ ร่วมกับความจริงที่ว่าการคูณเมทริกซ์เป็น associative และ linear เราได้

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

สำหรับแต่ละ $b\in\Sigma$ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการจากเมทริกซ์ $M$ พอดี

ดังที่เราจะอภิปรายอย่างละเอียดมากขึ้นในบทเรียนต่อมา $\langle a \vert b \rangle$ อาจมองว่าเป็น inner product ระหว่างเวกเตอร์ $\vert a\rangle$ และ $\vert b\rangle$ ด้วย Inner product มีความสำคัญอย่างยิ่งในข้อมูลเชิงควอนตัม แต่เราจะเลื่อนการอภิปรายเกี่ยวกับพวกมันออกไปจนกว่าจะจำเป็น

ณ จุดนี้ ชื่อ "bra" และ "ket" อาจชัดเจนแล้ว: การนำ "bra" $\langle a\vert$ มารวมกับ "ket" $\vert b\rangle$ ได้ "bracket" $\langle a \vert b\rangle$ Notation และคำศัพท์นี้มาจากPaul Dirac และด้วยเหตุนี้จึงเป็นที่รู้จักในชื่อ Dirac notation

การดำเนินการแบบความน่าจะเป็นและ stochastic matrix

นอกจากการดำเนินการแบบกำหนดแน่นอน เรายังมี การดำเนินการแบบความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการดำเนินการต่อไปนี้บนบิต ถ้าสถานะแบบคลาสสิกของบิตเป็น $0$ มันจะถูกทิ้งไว้เฉยๆ และถ้าสถานะแบบคลาสสิกของบิตเป็น $1$ มันจะถูก flip เพื่อให้กลายเป็น $0$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ และ $1$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ การดำเนินการนี้แทนด้วยเมทริกซ์

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

สามารถตรวจสอบได้ว่าเมทริกซ์นี้ทำสิ่งที่ถูกต้องโดยคูณเวกเตอร์ฐานมาตรฐานสองตัวด้วยมัน

สำหรับการเลือกเซตสถานะแบบคลาสสิกตามอำเภอใจ เราสามารถอธิบายเซตของการดำเนินการแบบความน่าจะเป็นทั้งหมดในแง่คณิตศาสตร์เป็นเมทริกซ์ที่แทนโดยstochastic matrix ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่ตอบสนองสองคุณสมบัติเหล่านี้:

1. รายการทั้งหมดเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ
2. รายการในทุกคอลัมน์รวมกันได้ $1$

เทียบเท่าแล้ว stochastic matrix คือเมทริกซ์ที่คอลัมน์ทั้งหมดสร้างเวกเตอร์ความน่าจะเป็น

เราสามารถคิดเกี่ยวกับการดำเนินการแบบความน่าจะเป็นในระดับสัญชาตญาณว่าเป็นการที่ความสุ่มอาจถูกใช้หรือนำเข้ามาในระหว่างการดำเนินการ เหมือนในตัวอย่างข้างต้น เมื่อเทียบกับคำอธิบาย stochastic matrix ของการดำเนินการแบบความน่าจะเป็น แต่ละคอลัมน์สามารถมองเป็นการแทนเวกเตอร์ของสถานะแบบความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นเมื่ออินพุตสถานะแบบคลาสสิกสอดคล้องกับคอลัมน์นั้น

เรายังสามารถคิดเกี่ยวกับ stochastic matrix ว่าเป็นเมทริกซ์ที่แมปเวกเตอร์ความน่าจะเป็นไปยังเวกเตอร์ความน่าจะเป็นเสมอ กล่าวคือ stochastic matrix แมปเวกเตอร์ความน่าจะเป็นไปยังเวกเตอร์ความน่าจะเป็นเสมอ และเมทริกซ์ใดๆ ที่แมปเวกเตอร์ความน่าจะเป็นไปยังเวกเตอร์ความน่าจะเป็นเสมอต้องเป็น stochastic matrix

สุดท้าย วิธีอื่นในการคิดเกี่ยวกับการดำเนินการแบบความน่าจะเป็นคือเป็นการเลือกแบบสุ่ม ของ การดำเนินการแบบกำหนดแน่นอน ตัวอย่างเช่น เราสามารถคิดเกี่ยวกับการดำเนินการในตัวอย่างข้างต้นว่าเป็นการใช้ฟังก์ชัน identity หรือฟังก์ชันคงที่ 0 แต่ละฟังก์ชันด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ สิ่งนี้สอดคล้องกับสมการ

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

สมการดังกล่าวเป็นไปได้เสมอ สำหรับการเลือกเซตสถานะแบบคลาสสิกตามอำเภอใจและ stochastic matrix ใดๆ ที่มีแถวและคอลัมน์ที่ระบุกับเซตสถานะแบบคลาสสิกนั้น

การ compose การดำเนินการแบบความน่าจะเป็น

สมมติว่า $\mathsf{X}$ เป็นระบบที่มีเซตสถานะแบบคลาสสิก $\Sigma$ และ $M_1,\ldots,M_n$ เป็น stochastic matrix ที่แทนการดำเนินการแบบความน่าจะเป็นบนระบบ $\mathsf{X}$

ถ้าการดำเนินการแรก $M_1$ ถูกใช้กับสถานะแบบความน่าจะเป็นที่แทนด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็น $u$ สถานะแบบความน่าจะเป็นผลลัพธ์จะแทนด้วยเวกเตอร์ $M_1 u$ ถ้าเราจากนั้นใช้การดำเนินการแบบความน่าจะเป็นที่สอง $M_2$ กับเวกเตอร์ความน่าจะเป็นใหม่นี้ เราได้เวกเตอร์ความน่าจะเป็น

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

ความเท่ากันมาจากความจริงที่ว่าการคูณเมทริกซ์ (ซึ่งรวมการคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์เป็นกรณีพิเศษ) เป็นการดำเนินการassociative ดังนั้น การดำเนินการแบบความน่าจะเป็นที่ได้จากการcompose การดำเนินการแบบความน่าจะเป็นที่หนึ่งและที่สอง โดยเราใช้ $M_1$ ก่อนแล้วจึงใช้ $M_2$ จะแทนด้วยเมทริกซ์ $M_2 M_1$ ซึ่งจำเป็นต้องเป็น stochastic

โดยทั่วไป การ compose การดำเนินการแบบความน่าจะเป็นที่แทนด้วยเมทริกซ์ $M_1,\ldots,M_n$ ตามลำดับนี้ หมายความว่า $M_1$ ถูกใช้ก่อน $M_2$ ถูกใช้เป็นที่สอง และเช่นนั้นต่อไป โดย $M_n$ ถูกใช้เป็นสุดท้าย แทนด้วย ผลคูณเมทริกซ์

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

สังเกตว่าลำดับมีความสำคัญที่นี่: แม้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็น associative แต่มันไม่ใช่การดำเนินการcommutative ตัวอย่างเช่น ถ้า

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

แล้ว

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

กล่าวคือ ลำดับที่การดำเนินการแบบความน่าจะเป็นถูก compose มีความสำคัญ การเปลี่ยนลำดับที่การดำเนินการถูกใช้ใน composition อาจเปลี่ยนการดำเนินการผลลัพธ์ได้