ข้อมูลเชิงควอนตัม

ตอนนี้เราพร้อมจะก้าวไปสู่ข้อมูลเชิงควอนตัมแล้ว ซึ่งเราจะเลือกใช้เวกเตอร์ชนิดอื่นแทนเพื่อแทนสถานะของระบบที่พิจารณา — ในกรณีนี้คือ สถานะควอนตัม เช่นเดียวกับการศึกษาข้อมูลคลาสสิกในหัวข้อก่อนหน้า เราจะสนใจระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกซึ่งมีจำนวนจำกัดและไม่ว่างเปล่า และยังคงใช้สัญลักษณ์เดิมเป็นส่วนใหญ่

เวกเตอร์สถานะควอนตัม

สถานะควอนตัม ของระบบแทนด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ ซึ่งคล้ายกับสถานะความน่าจะเป็น เหมือนเดิม ดัชนีของเวกเตอร์จะระบุสถานะคลาสสิกของระบบ เวกเตอร์ที่แทนสถานะควอนตัมมีสมบัติสำคัญสองอย่าง ดังนี้

1. สมาชิกของเวกเตอร์สถานะควอนตัมเป็น จำนวนเชิงซ้อน
2. ผลรวมของ ค่าสัมบูรณ์กำลังสอง ของสมาชิกทุกตัวในเวกเตอร์สถานะควอนตัมมีค่าเท่ากับ $1$

ดังนั้น ต่างจากสถานะความน่าจะเป็น เวกเตอร์ที่แทนสถานะควอนตัมไม่จำเป็นต้องมีสมาชิกเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ และเงื่อนไขที่ต้องเท่ากับ $1$ คือผลรวมของค่าสัมบูรณ์กำลังสอง (ไม่ใช่ผลรวมของสมาชิกโดยตรง) แม้การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้จะดูเรียบง่าย แต่มันคือรากฐานของความแตกต่างระหว่างข้อมูลควอนตัมและคลาสสิก ไม่ว่าจะเป็นการเร่งความเร็วของคอมพิวเตอร์ควอนตัม หรือการปรับปรุงโปรโตคอลสื่อสารเชิงควอนตัม ล้วนมาจากการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์เล็กๆ เหล่านี้

นอร์มแบบยุคลิด ของเวกเตอร์คอลัมน์

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

นิยามและเขียนแทนดังนี้

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

เงื่อนไขที่ผลรวมของค่าสัมบูรณ์กำลังสองของเวกเตอร์สถานะควอนตัมเท่ากับ $1$ จึงเทียบเท่ากับการที่เวกเตอร์นั้นมีนอร์มแบบยุคลิดเท่ากับ $1$ กล่าวคือ เวกเตอร์สถานะควอนตัมคือ เวกเตอร์หน่วย ในแง่ของนอร์มแบบยุคลิด

ตัวอย่างสถานะของ Qubit

คำว่า Qubit หมายถึงระบบควอนตัมที่มีเซตสถานะคลาสสิกเป็น $\{0,1\}$ นั่นคือ Qubit ก็คือบิตธรรมดา — แต่การใช้ชื่อนี้แสดงให้เห็นชัดเจนว่าบิตนี้สามารถอยู่ในสถานะควอนตัมได้

ต่อไปนี้คือตัวอย่างสถานะควอนตัมของ Qubit

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

และ

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

สองตัวอย่างแรก $\vert 0\rangle$ และ $\vert 1\rangle$ แสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ฐานมาตรฐานเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่ถูกต้อง โดยสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ทั้งหมด และผลรวมของค่าสัมบูรณ์กำลังสองคือ

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{and}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

ตามที่กำหนด เช่นเดียวกับกรณีคลาสสิก เราเชื่อมโยงเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert 0\rangle$ และ $\vert 1\rangle$ กับ Qubit ที่อยู่ในสถานะคลาสสิก $0$ และ $1$ ตามลำดับ

สำหรับอีกสองตัวอย่าง สมาชิกก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน และผลรวมของค่าสัมบูรณ์กำลังสองคือ

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

และ

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

เวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่ถูกต้อง สังเกตว่าเวกเตอร์เหล่านี้คือการรวมเชิงเส้นของสถานะฐานมาตรฐาน $\vert 0 \rangle$ และ $\vert 1 \rangle$ เราจึงมักเรียกว่าเป็น ซูเปอร์โพซิชัน ของสถานะ $0$ และ $1$ ในบริบทของสถานะควอนตัม ซูเปอร์โพซิชัน และ การรวมเชิงเส้น มีความหมายเทียบเท่ากัน

ตัวอย่าง $(1)$ ของเวกเตอร์สถานะ Qubit ข้างต้นพบได้บ่อยมาก — เรียกว่า สถานะบวก และแทนด้วย

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

นอกจากนี้เราใช้สัญลักษณ์

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

แทนเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่เกี่ยวข้อง ซึ่งสมาชิกตัวที่สองมีค่าติดลบแทนที่จะเป็นบวก เรียกสถานะนี้ว่า สถานะลบ

รูปแบบสัญลักษณ์แบบนี้ ที่ใส่สัญลักษณ์อื่นแทนการอ้างถึงสถานะคลาสสิกภายใน ket เป็นเรื่องปกติ — เราตั้งชื่ออะไรก็ได้ภายใน ket เพื่อระบุเวกเตอร์ เราพบสัญลักษณ์ $\vert\psi\rangle$ หรือชื่ออื่นแทน $\psi$ บ่อยมาก เพื่อระบุเวกเตอร์โดยพลการที่ไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน

สังเกตว่าถ้าเรามีเวกเตอร์ $\vert \psi \rangle$ ที่ดัชนีสอดคล้องกับเซตสถานะคลาสสิก $\Sigma$ และ $a\in\Sigma$ เป็นสมาชิกของเซตนี้ ผลคูณเมทริกซ์ $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ จะเท่ากับสมาชิกของเวกเตอร์ $\vert \psi \rangle$ ที่ดัชนีสอดคล้องกับ $a$ เช่นเดียวกับตอนที่ $\vert \psi \rangle$ เป็นเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน เราเขียน $\langle a \vert \psi \rangle$ แทน $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ เพื่อความอ่านง่าย

ตัวอย่างเช่น ถ้า $\Sigma = \{0,1\}$ และ

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

แล้ว

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

โดยทั่วไปเมื่อใช้สัญลักษณ์ Dirac สำหรับเวกเตอร์โดยพลการ $\langle \psi \vert$ หมายถึงเวกเตอร์แถวที่ได้จากการหา คอนจูเกต-ทรานสโพส ของเวกเตอร์คอลัมน์ $\vert\psi\rangle$ ซึ่งหมายถึงการสลับแถว-คอลัมน์ แล้วหาค่าคอนจูเกตเชิงซ้อนของทุกสมาชิก ตัวอย่างเช่น ถ้า $\vert\psi\rangle$ เป็นเวกเตอร์ที่นิยามใน $(2)$ แล้ว

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

เหตุผลที่เราต้องหาค่าคอนจูเกตเชิงซ้อนพร้อมกับการสลับแถว-คอลัมน์จะชัดเจนขึ้นเมื่อเราคุยเรื่องผลคูณภายใน

สถานะควอนตัมของระบบอื่น

เราสามารถพิจารณาสถานะควอนตัมของระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกได้หลากหลาย ตัวอย่างเช่น นี่คือเวกเตอร์สถานะควอนตัมของสวิตช์พัดลมไฟฟ้า

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

สมมติว่าสถานะคลาสสิกเรียงตามลำดับ high, medium, low, off อาจไม่มีเหตุผลพิเศษที่ต้องพิจารณาสถานะควอนตัมของสวิตช์พัดลม แต่เป็นไปได้ในหลักการ

อีกตัวอย่างหนึ่งคือตัวเลขทศนิยมเชิงควอนตัมที่มีสถานะคลาสสิกเป็น $0, 1, \ldots, 9$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นความสะดวกของการเขียนเวกเตอร์สถานะด้วยสัญลักษณ์ Dirac สำหรับตัวอย่างนี้ การแสดงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ยังพอทำได้ แต่ถ้ามีสถานะคลาสสิกมากกว่านี้มากก็จะใช้งานไม่ได้จริง สัญลักษณ์ Dirac ตรงกันข้าม รองรับการบรรยายเวกเตอร์ขนาดใหญ่และซับซ้อนในรูปแบบกระชับ

สัญลักษณ์ Dirac ยังช่วยให้แสดงเวกเตอร์ที่มีบางส่วน ยังไม่กำหนด ได้ด้วย นั่นคือยังไม่ทราบหรือยังไม่ระบุ ตัวอย่างเช่น สำหรับเซตสถานะคลาสสิกโดยพลการ $\Sigma$ เราสามารถพิจารณาเวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

โดย $\sqrt{|\Sigma|}$ หมายถึงนอร์มแบบยุคลิดของ $\Sigma$ และ $\vert\Sigma\vert$ คือจำนวนสมาชิกใน $\Sigma$ กล่าวคือนี่คือ ซูเปอร์โพซิชันสม่ำเสมอ บนสถานะคลาสสิกใน $\Sigma$

เราจะพบนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่านี้ของเวกเตอร์สถานะควอนตัมในบทเรียนถัดไป ซึ่งการใช้เวกเตอร์คอลัมน์จะไม่ได้จริง ที่จริงเราจะเลิกใช้การแทนเวกเตอร์สถานะด้วยเวกเตอร์คอลัมน์เป็นส่วนใหญ่ ยกเว้นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกน้อย (มักเป็นตัวอย่าง) ซึ่งการแสดงสมาชิกอย่างชัดเจนอาจเป็นประโยชน์

นี่คืออีกเหตุผลหนึ่งที่สัญลักษณ์ Dirac สะดวก: ไม่จำเป็นต้องระบุลำดับของสถานะคลาสสิกอย่างชัดเจน (หรือความสอดคล้องระหว่างสถานะคลาสสิกกับดัชนีของเวกเตอร์)

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิก $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$ เช่น

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

บรรยายได้ชัดเจนผ่านนิพจน์นี้โดยไม่ต้องเลือกลำดับของเซตสถานะคลาสสิก ในกรณีนี้ก็ไม่ยากที่จะระบุลำดับของชุดไพ่มาตรฐาน — เช่น เราอาจเลือก $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit$ ถ้าเลือกลำดับนี้ เวกเตอร์สถานะควอนตัมข้างต้นจะแทนด้วยเวกเตอร์คอลัมน์

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วการที่ไม่ต้องสนใจลำดับของเซตสถานะคลาสสิกถือเป็นเรื่องสะดวกมาก

การวัดสถานะควอนตัม

ต่อไปมาดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อสถานะควอนตัมถูก วัด โดยจะเน้นที่การวัดแบบง่ายที่เรียกว่า การวัดในฐานมาตรฐาน (มีแนวคิดการวัดที่ทั่วไปกว่านี้ซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลัง)

เช่นเดียวกับกรณีความน่าจะเป็น เมื่อระบบในสถานะควอนตัมถูกวัด ผู้สังเกตการณ์จะไม่เห็นเวกเตอร์สถานะควอนตัม แต่จะเห็นสถานะคลาสสิกใดสถานะหนึ่งแทน ในแง่นี้ การวัดทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างข้อมูลควอนตัมและคลาสสิก โดยดึงข้อมูลคลาสสิกออกจากสถานะควอนตัม

กฎนั้นง่ายมาก: เมื่อสถานะควอนตัมถูกวัด สถานะคลาสสิกแต่ละสถานะของระบบจะปรากฏด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์กำลังสอง ของสมาชิกในเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่สอดคล้องกับสถานะนั้น กฎนี้รู้จักกันในกลศาสตร์ควอนตัมว่า กฎของ Born สังเกตว่ากฎนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ค่าสัมบูรณ์กำลังสองของสมาชิกในเวกเตอร์สถานะควอนตัมรวมกันได้ $1$ เพราะนั่นหมายความว่าความน่าจะเป็นของผลการวัดในสถานะคลาสสิกต่างๆ รวมกันได้ $1$

ตัวอย่างเช่น การวัดสถานะบวก

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ให้ผลที่เป็นไปได้สองอย่าง คือ $0$ และ $1$ โดยมีความน่าจะเป็นดังนี้

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

ที่น่าสนใจคือการวัดสถานะลบ

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ให้ความน่าจะเป็นเท่ากันทุกประการสำหรับทั้งสองผล

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

นี่แสดงให้เห็นว่าในแง่ของการวัดในฐานมาตรฐาน สถานะบวกและสถานะลบไม่ต่างกันเลย แล้วทำไมเราต้องแยกแยะพวกมัน? คำตอบคือสถานะทั้งสองตอบสนองต่อการดำเนินการต่างกัน ดังที่จะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป

แน่นอนว่าการวัดสถานะควอนตัม $\vert 0\rangle$ ให้สถานะคลาสสิก $0$ อย่างแน่นอน และในทำนองเดียวกันการวัด $\vert 1\rangle$ ให้สถานะคลาสสิก $1$ อย่างแน่นอน สิ่งนี้สอดคล้องกับความเชื่อมโยงที่ว่าสถานะควอนตัมเหล่านี้แทนระบบที่ อยู่ใน สถานะคลาสสิกที่สอดคล้อง ตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้า

เป็นตัวอย่างสุดท้าย การวัดสถานะ

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

ให้ผลสองอย่างที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็นดังนี้

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

และ

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

การดำเนินการแบบยูนิทารี

จนถึงตอนนี้อาจยังไม่ชัดเจนว่าข้อมูลเชิงควอนตัมแตกต่างจากข้อมูลคลาสสิกอย่างพื้นฐานตรงไหน นั่นคือ เมื่อสถานะควอนตัมถูกวัด ความน่าจะเป็นที่จะได้สถานะคลาสสิกแต่ละสถานะคือค่าสัมบูรณ์กำลังสองของสมาชิกเวกเตอร์ที่สอดคล้อง — แล้วทำไมไม่บันทึกความน่าจะเป็นเหล่านี้ลงในเวกเตอร์ความน่าจะเป็นตรงๆ ล่ะ?

คำตอบ อย่างน้อยส่วนหนึ่ง คือเซตของ การดำเนินการ ที่อนุญาตบนสถานะควอนตัมแตกต่างจากข้อมูลคลาสสิก เช่นเดียวกับกรณีความน่าจะเป็น การดำเนินการบนสถานะควอนตัมเป็นการแมปเชิงเส้น — แต่แทนที่จะใช้เมทริกซ์สโตแคสติกอย่างในกรณีคลาสสิก การดำเนินการบนเวกเตอร์สถานะควอนตัมแทนด้วยเมทริกซ์ ยูนิทารี

เมทริกซ์จัตุรัส $U$ ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า ยูนิทารี ถ้าเป็นไปตามสมการ

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

ที่นี่ $\mathbb{I}$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และ $U^{\dagger}$ คือ คอนจูเกต-ทรานสโพส ของ $U$ หมายถึงเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับแถว-คอลัมน์ของ $U$ และหาค่าคอนจูเกตเชิงซ้อนของทุกสมาชิก

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

ถ้าความเท่ากันใดใดใน $(3)$ เป็นจริง อีกอันก็ต้องเป็นจริงด้วย ทั้งสองความเท่ากันเทียบเท่ากับการที่ $U^{\dagger}$ คืออินเวิร์สของ $U$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(คำเตือน: ถ้า $M$ ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส อาจเป็นได้ว่า $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ แต่ $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I}$ ความเทียบเท่าของสองความเท่ากันในสมการแรกข้างต้นเป็นจริงเฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น)

เงื่อนไขที่ $U$ เป็นยูนิทารีเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่การคูณด้วย $U$ ไม่เปลี่ยนนอร์มแบบยุคลิดของเวกเตอร์ใดๆ นั่นคือ เมทริกซ์ $n\times n$ ชื่อ $U$ เป็นยูนิทารีก็ต่อเมื่อ $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ สำหรับทุกเวกเตอร์คอลัมน์ $n$ มิติ $\vert \psi \rangle$ ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น เนื่องจากเซตของเวกเตอร์สถานะควอนตัมทั้งหมดคือเซตของเวกเตอร์ที่มีนอร์มแบบยุคลิดเท่ากับ $1$ การคูณเมทริกซ์ยูนิทารีกับเวกเตอร์สถานะควอนตัมจึงได้เวกเตอร์สถานะควอนตัมอีกตัวหนึ่ง

แท้จริงแล้ว เมทริกซ์ยูนิทารีคือเซตของการแมปเชิงเส้นทั้งหมดที่แปลงเวกเตอร์สถานะควอนตัมไปเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมอื่นเสมอ สังเกตความคล้ายคลึงกับกรณีความน่าจะเป็นคลาสสิก ที่การดำเนินการสัมพันธ์กับเมทริกซ์สโตแคสติก ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่แปลงเวกเตอร์ความน่าจะเป็นให้เป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็นเสมอ

ตัวอย่างการดำเนินการยูนิทารีบน Qubit

รายการต่อไปนี้อธิบายการดำเนินการยูนิทารีที่พบบ่อยบน Qubit

1. การดำเนินการ Pauli เมทริกซ์ Pauli ทั้งสี่มีดังนี้

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   สัญลักษณ์ทางเลือกที่ใช้บ่อยคือ $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ และ $Z = \sigma_z$ (แต่ควรระวังว่าตัวอักษร $X,$ $Y,$ และ $Z$ ถูกใช้สำหรับวัตถุประสงค์อื่นด้วย) การดำเนินการ $X$ เรียกว่า การพลิกบิต หรือ การดำเนินการ NOT เพราะมันกระทำต่อบิตดังนี้

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{and} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   การดำเนินการ $Z$ เรียกว่า การพลิกเฟส และกระทำดังนี้

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{and} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. การดำเนินการ Hadamard การดำเนินการ Hadamard แทนด้วยเมทริกซ์นี้

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. การดำเนินการเฟส การดำเนินการเฟสคือการดำเนินการที่แทนด้วยเมทริกซ์

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   สำหรับค่าจำนวนจริง $\theta$ ใดก็ได้ การดำเนินการ

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   เป็นตัวอย่างที่สำคัญเป็นพิเศษ ตัวอย่างอื่นได้แก่ $\mathbb{I} = P_0$ และ $Z = P_{\pi}$

เมทริกซ์ทั้งหมดที่นิยามมาเป็นยูนิทารี จึงแทนการดำเนินการเชิงควอนตัมบน Qubit หนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น นี่คือการคำนวณที่ยืนยันว่า $H$ เป็นยูนิทารี

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

และนี่คือผลของการดำเนินการ Hadamard บนเวกเตอร์สถานะ Qubit ที่พบบ่อย

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

สรุปกระชับได้เป็นสี่สมการนี้

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

ควรหยุดคิดสักครู่ถึงข้อเท็จจริงที่ว่า $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ และ $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle$ สัมพันธ์กับคำถามที่เกิดขึ้นในหัวข้อก่อนหน้าเรื่องความแตกต่างระหว่างสถานะ $\vert {+} \rangle$ และ $\vert {-} \rangle$

ลองนึกถึงสถานการณ์ที่ Qubit ถูกเตรียมในสถานะควอนตัมใดสถานะหนึ่งในสอง คือ $\vert {+} \rangle$ หรือ $\vert {-} \rangle$ แต่เราไม่ทราบว่าเป็นสถานะไหน การวัดสถานะทั้งสองให้การกระจายผลลัพธ์เหมือนกัน ตามที่เราสังเกตไว้แล้ว: $0$ และ $1$ ปรากฏด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันที่ $1/2$ ซึ่งไม่ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับว่าสถานะไหนถูกเตรียม

แต่ถ้าเราใช้การดำเนินการ Hadamard ก่อน แล้วจึงวัด จะได้ผล $0$ อย่างแน่นอนถ้าสถานะเดิมเป็น $\vert {+} \rangle$ และได้ผล $1$ อย่างแน่นอนถ้าสถานะเดิมเป็น $\vert {-} \rangle$ สถานะควอนตัม $\vert {+} \rangle$ และ $\vert {-} \rangle$ จึงสามารถแยกแยะได้ อย่างสมบูรณ์แบบ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนเครื่องหมาย หรือโดยทั่วไปการเปลี่ยน เฟส (ซึ่งมักเรียกด้วยว่า อาร์กิวเมนต์) ของสมาชิกจำนวนเชิงซ้อนในเวกเตอร์สถานะควอนตัม สามารถเปลี่ยนสถานะนั้นได้อย่างมีนัยสำคัญ

นี่คืออีกตัวอย่างที่แสดงว่าการดำเนินการ Hadamard กระทำต่อเวกเตอร์สถานะที่กล่าวถึงก่อนหน้าอย่างไร

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

ต่อไปมาดูผลของการดำเนินการ $T$ บนสถานะบวก

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

สังเกตว่าเราไม่ได้แปลงเป็นรูปแบบเมทริกซ์/เวกเตอร์ แต่ใช้ความเป็นเชิงเส้นของการคูณเมทริกซ์ร่วมกับสูตร

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถคำนวณผลของการใช้การดำเนินการ Hadamard กับเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่เพิ่งได้มา

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

สองวิธีนี้ — วิธีหนึ่งแปลงเป็นรูปแบบเมทริกซ์อย่างชัดเจน อีกวิธีใช้ความเป็นเชิงเส้นและแทนค่าผลของการดำเนินการบนสถานะฐานมาตรฐาน — มีความเทียบเท่ากัน เราเลือกใช้วิธีที่สะดวกกว่าในแต่ละกรณีได้

การประกอบการดำเนินการยูนิทารีของ Qubit

การประกอบการดำเนินการยูนิทารีแทนด้วยการคูณเมทริกซ์ เช่นเดียวกับกรณีความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราใช้การดำเนินการ Hadamard ก่อน แล้วตามด้วยการดำเนินการ $S$ แล้วตามด้วย Hadamard อีกครั้ง การดำเนินการที่ได้ ซึ่งเราจะเรียกว่า $R$ สำหรับตัวอย่างนี้ มีดังนี้

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

การดำเนินการยูนิทารี $R$ นี้น่าสนใจมาก การใช้การดำเนินการนี้สองครั้ง ซึ่งเทียบเท่ากับการยกกำลังสองของการแทนค่าเมทริกซ์ จะได้การดำเนินการ NOT

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

นั่นคือ $R$ คือการดำเนินการ รากที่สองของ NOT พฤติกรรมแบบนี้ที่การใช้การดำเนินการเดิมสองครั้งแล้วได้การดำเนินการ NOT ไม่สามารถทำได้สำหรับการดำเนินการคลาสสิกบนบิตเดี่ยว

การดำเนินการยูนิทารีบนระบบขนาดใหญ่ขึ้น

ในบทเรียนถัดไป เราจะเห็นตัวอย่างมากมายของการดำเนินการยูนิทารีบนระบบที่มีสถานะคลาสสิกมากกว่าสอง ตัวอย่างของการดำเนินการยูนิทารีบนระบบที่มีสามสถานะคลาสสิกคือเมทริกซ์ต่อไปนี้

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

สมมติว่าสถานะคลาสสิกของระบบคือ $0,$ $1,$ และ $2$ เราสามารถอธิบายการดำเนินการนี้ว่าเป็นการบวกแบบมอดูโล $3$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{and}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

เมทริกซ์ $A$ เป็นตัวอย่างของ เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่แต่ละแถวและคอลัมน์มีค่า $1$ อยู่พอดีหนึ่งค่า เมทริกซ์แบบนี้เพียงแค่จัดเรียงหรือสลับตำแหน่งสมาชิกของเวกเตอร์ที่มันกระทำ เมทริกซ์เอกลักษณ์อาจเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน และตัวอย่างอื่นคือการดำเนินการ NOT บนบิตหรือ Qubit เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทุกตัว ในทุกมิติจำนวนเต็มบวก เป็นยูนิทารี เมทริกซ์เหล่านี้คือตัวอย่างเดียวของเมทริกซ์ที่แทนทั้งการดำเนินการคลาสสิกและควอนตัม: เมทริกซ์เป็นทั้งสโตแคสติกและยูนิทารีก็ต่อเมื่อเป็นเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน

อีกตัวอย่างของเมทริกซ์ยูนิทารี คราวนี้เป็นเมทริกซ์ $4\times 4$ คือ

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

เมทริกซ์นี้อธิบายการดำเนินการที่รู้จักกันว่า การแปลง Fourier เชิงควอนตัม โดยเฉพาะในกรณี $4\times 4$ การแปลง Fourier เชิงควอนตัมสามารถนิยามได้ทั่วไปกว่านี้สำหรับทุกมิติจำนวนเต็มบวก $n$ และมีบทบาทสำคัญในอัลกอริทึมเชิงควอนตัม