ตอนนี้เราพร้อมจะก้าวไปสู่ข้อมูลเชิงควอนตัมแล้ว ซึ่งเราจะเลือกใช้เวกเตอร์ชนิดอื่นแทนเพื่อแทนสถานะของระบบที่พิจารณา — ในกรณีนี้คือ สถานะควอนตัม
เช่นเดียวกับการศึกษาข้อมูลคลาสสิกในหัวข้อก่อนหน้า เราจะสนใจระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกซึ่งมีจำนวนจำกัดและไม่ว่างเปล่า และยังคงใช้สัญลักษณ์เดิมเป็นส่วนใหญ่
เวกเตอร์สถานะควอนตัม
สถานะควอนตัม ของระบบแทนด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ ซึ่งคล้ายกับสถานะความน่าจะเป็น เหมือนเดิม ดัชนีของเวกเตอร์จะระบุสถานะคลาสสิกของระบบ
เวกเตอร์ที่แทนสถานะควอนตัมมีสมบัติสำคัญสองอย่าง ดังนี้
สมาชิกของเวกเตอร์สถานะควอนตัมเป็น จำนวนเชิงซ้อน
ผลรวมของ ค่าสัมบูรณ์กำลังสอง ของสมาชิกทุกตัวในเวกเตอร์สถานะควอนตัมมีค่าเท่ากับ 1 1 1
ดังนั้น ต่างจากสถานะความน่าจะเป็น เวกเตอร์ที่แทนสถานะควอนตัมไม่จำเป็นต้องมีสมาชิกเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ และเงื่อนไขที่ต้องเท่ากับ 1 1 1
นอร์มแบบยุคลิด ของเวกเตอร์คอลัมน์
v = ( α 1 ⋮ α n ) v = \begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_n
\end{pmatrix} v = α 1 ⋮ α n นิยามและเขียนแทนดังนี้
∥ v ∥ = ∑ k = 1 n ∣ α k ∣ 2 . \| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}. ∥ v ∥ = k = 1 ∑ n ∣ α k ∣ 2 . เงื่อนไขที่ผลรวมของค่าสัมบูรณ์กำลังสองของเวกเตอร์สถานะควอนตัมเท่ากับ 1 1 1 1 1 1 เวกเตอร์หน่วย ในแง่ของนอร์มแบบยุคลิด
ตัวอย่างสถานะของ Qubit
คำว่า Qubit หมายถึงระบบควอนตัมที่มีเซตสถานะคลาสสิกเป็น { 0 , 1 } \{0,1\} { 0 , 1 }
ต่อไปนี้คือตัวอย่างสถานะควอนตัมของ Qubit
( 1 0 ) = ∣ 0 ⟩ and ( 0 1 ) = ∣ 1 ⟩ , \begin{pmatrix}
1\\[2mm]
0
\end{pmatrix}
= \vert 0\rangle
\quad\text{and}\quad
\begin{pmatrix}
0\\[2mm]
1
\end{pmatrix}
= \vert 1\rangle, ( 1 0 ) = ∣0 ⟩ and ( 0 1 ) = ∣1 ⟩ , ( 1 2 1 2 ) = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ , (1) \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle,
\tag{1} ( 2 1 2 1 ) = 2 1 ∣0 ⟩ + 2 1 ∣1 ⟩ , ( 1 ) และ
( 1 + 2 i 3 − 2 3 ) = 1 + 2 i 3 ∣ 0 ⟩ − 2 3 ∣ 1 ⟩ . \begin{pmatrix}
\frac{1+2i}{3}\\[2mm]
-\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
= \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle. ( 3 1 + 2 i − 3 2 ) = 3 1 + 2 i ∣0 ⟩ − 3 2 ∣1 ⟩ . สองตัวอย่างแรก ∣ 0 ⟩ \vert 0\rangle ∣0 ⟩ ∣ 1 ⟩ \vert 1\rangle ∣1 ⟩
∣ 1 ∣ 2 + ∣ 0 ∣ 2 = 1 and ∣ 0 ∣ 2 + ∣ 1 ∣ 2 = 1 , \vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1
\quad\text{and}\quad
\vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1, ∣1 ∣ 2 + ∣0 ∣ 2 = 1 and ∣0 ∣ 2 + ∣1 ∣ 2 = 1 , ตามที่กำหนด
เช่นเดียวกับกรณีคลาสสิก เราเชื่อมโยงเวกเตอร์สถานะควอนตัม ∣ 0 ⟩ \vert 0\rangle ∣0 ⟩ ∣ 1 ⟩ \vert 1\rangle ∣1 ⟩ 0 0 0 1 1 1
สำหรับอีกสองตัวอย่าง สมาชิกก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน และผลรวมของค่าสัมบูรณ์กำลังสองคือ
∣ 1 2 ∣ 2 + ∣ 1 2 ∣ 2 = 1 2 + 1 2 = 1 \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 +
\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 2 1 2 + 2 1 2 = 2 1 + 2 1 = 1 และ
∣ 1 + 2 i 3 ∣ 2 + ∣ − 2 3 ∣ 2 = 5 9 + 4 9 = 1. \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 +
\biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1. 3 1 + 2 i 2 + − 3 2 2 = 9 5 + 9 4 = 1. เวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่ถูกต้อง สังเกตว่าเวกเตอร์เหล่านี้คือการรวมเชิงเส้นของสถานะฐานมาตรฐาน ∣ 0 ⟩ \vert 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ 1 ⟩ \vert 1 \rangle ∣1 ⟩ ซูเปอร์โพซิชัน ของสถานะ 0 0 0 1 1 1 ซูเปอร์โพซิชัน และ การรวมเชิงเส้น มีความหมายเทียบเท่ากัน
ตัวอย่าง ( 1 ) (1) ( 1 ) สถานะบวก และแทนด้วย
∣ + ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ . \vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle. ∣ + ⟩ = 2 1 ∣0 ⟩ + 2 1 ∣1 ⟩ . นอกจากนี้เราใช้สัญลักษณ์
∣ − ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ − 1 2 ∣ 1 ⟩ \vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle ∣ − ⟩ = 2 1 ∣0 ⟩ − 2 1 ∣1 ⟩ แทนเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่เกี่ยวข้อง ซึ่งสมาชิกตัวที่สองมีค่าติดลบแทนที่จะเป็นบวก เรียกสถานะนี้ว่า สถานะลบ
รูปแบบสัญลักษณ์แบบนี้ ที่ใส่สัญลักษณ์อื่นแทนการอ้างถึงสถานะคลาสสิกภายใน ket เป็นเรื่องปกติ — เราตั้งชื่ออะไรก็ได้ภายใน ket เพื่อระบุเวกเตอร์
เราพบสัญลักษณ์ ∣ ψ ⟩ \vert\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ψ \psi ψ
สังเกตว่าถ้าเรามีเวกเตอร์ ∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ ψ ⟩ Σ \Sigma Σ a ∈ Σ a\in\Sigma a ∈ Σ ⟨ a ∣ ∣ ψ ⟩ \langle a\vert \vert \psi\rangle ⟨ a ∣∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ ψ ⟩ a a a ∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ⟨ a ∣ ψ ⟩ \langle a \vert \psi \rangle ⟨ a ∣ ψ ⟩ ⟨ a ∣ ∣ ψ ⟩ \langle a\vert \vert \psi\rangle ⟨ a ∣∣ ψ ⟩
ตัวอย่างเช่น ถ้า Σ = { 0 , 1 } \Sigma = \{0,1\} Σ = { 0 , 1 }
∣ ψ ⟩ = 1 + 2 i 3 ∣ 0 ⟩ − 2 3 ∣ 1 ⟩ = ( 1 + 2 i 3 − 2 3 ) , (2) \vert \psi \rangle =
\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle
= \begin{pmatrix}
\frac{1+2i}{3}\\[2mm]
-\frac{2}{3}
\end{pmatrix},
\tag{2} ∣ ψ ⟩ = 3 1 + 2 i ∣0 ⟩ − 3 2 ∣1 ⟩ = ( 3 1 + 2 i − 3 2 ) , ( 2 ) แล้ว
⟨ 0 ∣ ψ ⟩ = 1 + 2 i 3 and ⟨ 1 ∣ ψ ⟩ = − 2 3 . \langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3}
\quad\text{and}\quad
\langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}. ⟨ 0∣ ψ ⟩ = 3 1 + 2 i and ⟨ 1∣ ψ ⟩ = − 3 2 . โดยทั่วไปเมื่อใช้สัญลักษณ์ Dirac สำหรับเวกเตอร์โดยพลการ ⟨ ψ ∣ \langle \psi \vert ⟨ ψ ∣ คอนจูเกต-ทรานสโพส ของเวกเตอร์คอลัมน์ ∣ ψ ⟩ \vert\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ \vert\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ( 2 ) (2) ( 2 )
⟨ ψ ∣ = 1 − 2 i 3 ⟨ 0 ∣ − 2 3 ⟨ 1 ∣ = ( 1 − 2 i 3 − 2 3 ) . \langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert
= \begin{pmatrix}
\frac{1-2i}{3} &
-\frac{2}{3}
\end{pmatrix}. ⟨ ψ ∣ = 3 1 − 2 i ⟨ 0∣ − 3 2 ⟨ 1∣ = ( 3 1 − 2 i − 3 2 ) . เหตุผลที่เราต้องหาค่าคอนจูเกตเชิงซ้อนพร้อมกับการสลับแถว-คอลัมน์จะชัดเจนขึ้นเมื่อเราคุยเรื่องผลคูณภายใน
สถานะควอนตัมของระบบอื่น
เราสามารถพิจารณาสถานะควอนตัมของระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกได้หลากหลาย
ตัวอย่างเช่น นี่คือเวกเตอร์สถานะควอนตัมของสวิตช์พัดลมไฟฟ้า
( 1 2 0 − i 2 1 2 ) = 1 2 ∣ h i g h ⟩ − i 2 ∣ l o w ⟩ + 1 2 ∣ o f f ⟩ . \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\\[1mm]
0 \\[1mm]
-\frac{i}{2}\\[1mm]
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle
- \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle
+ \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle. 2 1 0 − 2 i 2 1 = 2 1 ∣ high ⟩ − 2 i ∣ low ⟩ + 2 1 ∣ off ⟩ . สมมติว่าสถานะคลาสสิกเรียงตามลำดับ high , medium , low , off
อาจไม่มีเหตุผลพิเศษที่ต้องพิจารณาสถานะควอนตัมของสวิตช์พัดลม แต่เป็นไปได้ในหลักการ
อีกตัวอย่างหนึ่งคือตัวเลขทศนิยมเชิงควอนตัมที่มีสถานะคลาสสิกเป็น 0 , 1 , … , 9 0, 1, \ldots, 9 0 , 1 , … , 9
1 385 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) = 1 385 ∑ k = 0 9 ( k + 1 ) ∣ k ⟩ . \frac{1}{\sqrt{385}}
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
4\\
5\\
6\\
7\\
8\\
9\\
10
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle. 385 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 385 1 k = 0 ∑ 9 ( k + 1 ) ∣ k ⟩ . ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นความสะดวกของการเขียนเวกเตอร์สถานะด้วยสัญลักษณ์ Dirac
สำหรับตัวอย่างนี้ การแสดงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ยังพอทำได้ แต่ถ้ามีสถานะคลาสสิกมากกว่านี้มากก็จะใช้งานไม่ได้จริง
สัญลักษณ์ Dirac ตรงกันข้าม รองรับการบรรยายเวกเตอร์ขนาดใหญ่และซับซ้อนในรูปแบบกระชับ
สัญลักษณ์ Dirac ยังช่วยให้แสดงเวกเตอร์ที่มีบางส่วน ยังไม่กำหนด ได้ด้วย นั่นคือยังไม่ทราบหรือยังไม่ระบุ
ตัวอย่างเช่น สำหรับเซตสถานะคลาสสิกโดยพลการ Σ \Sigma Σ
1 ∣ Σ ∣ ∑ a ∈ Σ ∣ a ⟩ , \frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle, ∣Σ∣ 1 a ∈ Σ ∑ ∣ a ⟩ , โดย ∣ Σ ∣ \sqrt{|\Sigma|} ∣Σ∣ Σ \Sigma Σ ∣ Σ ∣ \vert\Sigma\vert ∣Σ∣ Σ \Sigma Σ ซูเปอร์โพซิชันสม่ำเสมอ บนสถานะคลาสสิกใน Σ \Sigma Σ
เราจะพบนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่านี้ของเวกเตอร์สถานะควอนตัมในบทเรียนถัดไป ซึ่งการใช้เวกเตอร์คอลัมน์จะไม่ได้จริง
ที่จริงเราจะเลิกใช้การแทนเวกเตอร์สถานะด้วยเวกเตอร์คอลัมน์เป็นส่วนใหญ่ ยกเว้นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกน้อย (มักเป็นตัวอย่าง) ซึ่งการแสดงสมาชิกอย่างชัดเจนอาจเป็นประโยชน์
นี่คืออีกเหตุผลหนึ่งที่สัญลักษณ์ Dirac สะดวก: ไม่จำเป็นต้องระบุลำดับของสถานะคลาสสิกอย่างชัดเจน (หรือความสอดคล้องระหว่างสถานะคลาสสิกกับดัชนีของเวกเตอร์)
ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิก
{ ♣ , ♢ , ♡ , ♠ } \{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\} { ♣ , ♢ , ♡ , ♠ }
1 2 ∣ ♣ ⟩ + i 2 ∣ ♢ ⟩ − 1 2 ∣ ♡ ⟩ − i 2 ∣ ♠ ⟩ , \frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle
+ \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle
- \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle
- \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle, 2 1 ∣♣ ⟩ + 2 i ∣♢ ⟩ − 2 1 ∣♡ ⟩ − 2 i ∣♠ ⟩ , บรรยายได้ชัดเจนผ่านนิพจน์นี้โดยไม่ต้องเลือกลำดับของเซตสถานะคลาสสิก
ในกรณีนี้ก็ไม่ยากที่จะระบุลำดับของชุดไพ่มาตรฐาน — เช่น เราอาจเลือก ♣ , \clubsuit, ♣ , ♢ , \diamondsuit, ♢ , ♡ , \heartsuit, ♡ , ♠ \spadesuit ♠
( 1 2 i 2 − 1 2 − i 2 ) . \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\\[2mm]
\frac{i}{2}\\[2mm]
-\frac{1}{2}\\[2mm]
-\frac{i}{2}
\end{pmatrix}. 2 1 2 i − 2 1 − 2 i . อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วการที่ไม่ต้องสนใจลำดับของเซตสถานะคลาสสิกถือเป็นเรื่องสะดวกมาก
การวัดสถานะควอนตัม
ต่อไปมาดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อสถานะควอนตัมถูก วัด โดยจะเน้นที่การวัดแบบง่ายที่เรียกว่า การวัดในฐานมาตรฐาน
(มีแนวคิดการวัดที่ทั่วไปกว่านี้ซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลัง)
เช่นเดียวกับกรณีความน่าจะเป็น เมื่อระบบในสถานะควอนตัมถูกวัด ผู้สังเกตการณ์จะไม่เห็นเวกเตอร์สถานะควอนตัม แต่จะเห็นสถานะคลาสสิกใดสถานะหนึ่งแทน
ในแง่นี้ การวัดทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างข้อมูลควอนตัมและคลาสสิก โดยดึงข้อมูลคลาสสิกออกจากสถานะควอนตัม
กฎนั้นง่ายมาก: เมื่อสถานะควอนตัมถูกวัด สถานะคลาสสิกแต่ละสถานะของระบบจะปรากฏด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์กำลังสอง ของสมาชิกในเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่สอดคล้องกับสถานะนั้น
กฎนี้รู้จักกันในกลศาสตร์ควอนตัมว่า กฎของ Born
สังเกตว่ากฎนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ค่าสัมบูรณ์กำลังสองของสมาชิกในเวกเตอร์สถานะควอนตัมรวมกันได้ 1 1 1 1 1 1
ตัวอย่างเช่น การวัดสถานะบวก
∣ + ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ \vert {+} \rangle =
\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle
+ \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle ∣ + ⟩ = 2 1 ∣0 ⟩ + 2 1 ∣1 ⟩ ให้ผลที่เป็นไปได้สองอย่าง คือ 0 0 0 1 1 1
Pr ( outcome is 0 ) = ∣ ⟨ 0 ∣ + ⟩ ∣ 2 = ∣ 1 2 ∣ 2 = 1 2 \operatorname{Pr}(\text{outcome is 0})
= \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2
= \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2
= \frac{1}{2} Pr ( outcome is 0 ) = ⟨ 0∣ + ⟩ 2 = 2 1 2 = 2 1 Pr ( outcome is 1 ) = ∣ ⟨ 1 ∣ + ⟩ ∣ 2 = ∣ 1 2 ∣ 2 = 1 2 \operatorname{Pr}(\text{outcome is 1})
= \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2
= \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2
= \frac{1}{2} Pr ( outcome is 1 ) = ⟨ 1∣ + ⟩ 2 = 2 1 2 = 2 1 ที่น่าสนใจคือการวัดสถานะลบ
∣ − ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ − 1 2 ∣ 1 ⟩ \vert {-} \rangle =
\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle
- \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle ∣ − ⟩ = 2 1 ∣0 ⟩ − 2 1 ∣1 ⟩ ให้ความน่าจะเป็นเท่ากันทุกประการสำหรับทั้งสองผล
Pr ( outcome is 0 ) = ∣ ⟨ 0 ∣ − ⟩ ∣ 2 = ∣ 1 2 ∣ 2 = 1 2 \operatorname{Pr}(\text{outcome is 0})
= \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2
= \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2
= \frac{1}{2} Pr ( outcome is 0 ) = ⟨ 0∣ − ⟩ 2 = 2 1 2 = 2 1 Pr ( outcome is 1 ) = ∣ ⟨ 1 ∣ − ⟩ ∣ 2 = ∣ − 1 2 ∣ 2 = 1 2 \operatorname{Pr}(\text{outcome is 1})
= \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2
= \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2
= \frac{1}{2} Pr ( outcome is 1 ) = ⟨ 1∣ − ⟩ 2 = − 2 1 2 = 2 1 นี่แสดงให้เห็นว่าในแง่ของการวัดในฐานมาตรฐาน สถานะบวกและสถานะลบไม่ต่างกันเลย
แล้วทำไมเราต้องแยกแยะพวกมัน?
คำตอบคือสถานะทั้งสองตอบสนองต่อการดำเนินการต่างกัน ดังที่จะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป
แน่นอนว่าการวัดสถานะควอนตัม ∣ 0 ⟩ \vert 0\rangle ∣0 ⟩ 0 0 0 ∣ 1 ⟩ \vert 1\rangle ∣1 ⟩ 1 1 1 อยู่ใน สถานะคลาสสิกที่สอดคล้อง ตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้า
เป็นตัวอย่างสุดท้าย การวัดสถานะ
∣ ψ ⟩ = 1 + 2 i 3 ∣ 0 ⟩ − 2 3 ∣ 1 ⟩ \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle ∣ ψ ⟩ = 3 1 + 2 i ∣0 ⟩ − 3 2 ∣1 ⟩ ให้ผลสองอย่างที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็นดังนี้
Pr ( outcome is 0 ) = ∣ ⟨ 0 ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = ∣ 1 + 2 i 3 ∣ 2 = 5 9 , \operatorname{Pr}(\text{outcome is 0})
= \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2
= \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2
= \frac{5}{9}, Pr ( outcome is 0 ) = ⟨ 0∣ ψ ⟩ 2 = 3 1 + 2 i 2 = 9 5 , และ
Pr ( outcome is 1 ) = ∣ ⟨ 1 ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = ∣ − 2 3 ∣ 2 = 4 9 . \operatorname{Pr}(\text{outcome is 1})
= \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2
= \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2
= \frac{4}{9}. Pr ( outcome is 1 ) = ⟨ 1∣ ψ ⟩ 2 = − 3 2 2 = 9 4 . การดำเนินการแบบยูนิทารี
จนถึงตอนนี้อาจยังไม่ชัดเจนว่าข้อมูลเชิงควอนตัมแตกต่างจากข้อมูลคลาสสิกอย่างพื้นฐานตรงไหน
นั่นคือ เมื่อสถานะควอนตัมถูกวัด ความน่าจะเป็นที่จะได้สถานะคลาสสิกแต่ละสถานะคือค่าสัมบูรณ์กำลังสองของสมาชิกเวกเตอร์ที่สอดคล้อง — แล้วทำไมไม่บันทึกความน่าจะเป็นเหล่านี้ลงในเวกเตอร์ความน่าจะเป็นตรงๆ ล่ะ?
คำตอบ อย่างน้อยส่วนหนึ่ง คือเซตของ การดำเนินการ ที่อนุญาตบนสถานะควอนตัมแตกต่างจากข้อมูลคลาสสิก
เช่นเดียวกับกรณีความน่าจะเป็น การดำเนินการบนสถานะควอนตัมเป็นการแมปเชิงเส้น — แต่แทนที่จะใช้เมทริกซ์สโตแคสติกอย่างในกรณีคลาสสิก การดำเนินการบนเวกเตอร์สถานะควอนตัมแทนด้วยเมทริกซ์ ยูนิทารี
เมทริกซ์จัตุรัส U U U ยูนิทารี ถ้าเป็นไปตามสมการ
U U † = I U † U = I . (3) \begin{aligned}
U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\
U^{\dagger} U &= \mathbb{I}.
\end{aligned}
\tag{3} U U † U † U = I = I . ( 3 ) ที่นี่ I \mathbb{I} I U † U^{\dagger} U † คอนจูเกต-ทรานสโพส ของ U U U U U U
U † = U T ‾ U^{\dagger} = \overline{U^T} U † = U T ถ้าความเท่ากันใดใดใน ( 3 ) (3) ( 3 ) U † U^{\dagger} U † U U U
U − 1 = U † . U^{-1} = U^{\dagger}. U − 1 = U † . (คำเตือน: ถ้า M M M M † M = I M^{\dagger} M = \mathbb{I} M † M = I M M † ≠ I M M^{\dagger} \neq \mathbb{I} M M † = I
เงื่อนไขที่ U U U U U U n × n n\times n n × n U U U ∥ U ∣ ψ ⟩ ∥ = ∥ ∣ ψ ⟩ ∥ \| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \| ∥ U ∣ ψ ⟩ ∥ = ∥∣ ψ ⟩ ∥ n n n ∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ ψ ⟩ 1 1 1
แท้จริงแล้ว เมทริกซ์ยูนิทารีคือเซตของการแมปเชิงเส้นทั้งหมดที่แปลงเวกเตอร์สถานะควอนตัมไปเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมอื่นเสมอ สังเกตความคล้ายคลึงกับกรณีความน่าจะเป็นคลาสสิก ที่การดำเนินการสัมพันธ์กับเมทริกซ์สโตแคสติก ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่แปลงเวกเตอร์ความน่าจะเป็นให้เป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็นเสมอ
ตัวอย่างการดำเนินการยูนิทารีบน Qubit
รายการต่อไปนี้อธิบายการดำเนินการยูนิทารีที่พบบ่อยบน Qubit
การดำเนินการ Pauli เมทริกซ์ Pauli ทั้งสี่มีดังนี้
I = ( 1 0 0 1 ) , σ x = ( 0 1 1 0 ) , σ y = ( 0 − i i 0 ) , σ z = ( 1 0 0 − 1 ) . \mathbb{I} =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
\sigma_x =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
\sigma_y =
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix},
\quad
\sigma_z =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}. I = ( 1 0 0 1 ) , σ x = ( 0 1 1 0 ) , σ y = ( 0 i − i 0 ) , σ z = ( 1 0 0 − 1 ) . สัญลักษณ์ทางเลือกที่ใช้บ่อยคือ X = σ x , X = \sigma_x, X = σ x , Y = σ y , Y = \sigma_y, Y = σ y , Z = σ z Z = \sigma_z Z = σ z X , X, X , Y , Y, Y , Z Z Z X X X การพลิกบิต หรือ การดำเนินการ NOT เพราะมันกระทำต่อบิตดังนี้
X ∣ 0 ⟩ = ∣ 1 ⟩ and X ∣ 1 ⟩ = ∣ 0 ⟩ . X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle
\quad \text{and} \quad
X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle. X ∣0 ⟩ = ∣1 ⟩ and X ∣1 ⟩ = ∣0 ⟩ . การดำเนินการ Z Z Z การพลิกเฟส และกระทำดังนี้
Z ∣ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ and Z ∣ 1 ⟩ = − ∣ 1 ⟩ . Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle
\quad \text{and} \quad
Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle. Z ∣0 ⟩ = ∣0 ⟩ and Z ∣1 ⟩ = − ∣1 ⟩ .
การดำเนินการ Hadamard การดำเนินการ Hadamard แทนด้วยเมทริกซ์นี้
H = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) . H = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}. H = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) .
การดำเนินการเฟส การดำเนินการเฟสคือการดำเนินการที่แทนด้วยเมทริกซ์
P θ = ( 1 0 0 e i θ ) P_{\theta} =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & e^{i\theta}
\end{pmatrix} P θ = ( 1 0 0 e i θ ) สำหรับค่าจำนวนจริง θ \theta θ
S = P π / 2 = ( 1 0 0 i ) and T = P π / 4 = ( 1 0 0 1 + i 2 ) S = P_{\pi/2} =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & i
\end{pmatrix}
\quad \text{and} \quad
T = P_{\pi/4} =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix} S = P π /2 = ( 1 0 0 i ) and T = P π /4 = ( 1 0 0 2 1 + i ) เป็นตัวอย่างที่สำคัญเป็นพิเศษ ตัวอย่างอื่นได้แก่ I = P 0 \mathbb{I} = P_0 I = P 0 Z = P π Z = P_{\pi} Z = P π
เมทริกซ์ทั้งหมดที่นิยามมาเป็นยูนิทารี จึงแทนการดำเนินการเชิงควอนตัมบน Qubit หนึ่งตัว
ตัวอย่างเช่น นี่คือการคำนวณที่ยืนยันว่า H H H
( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) † ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) = ( 1 2 + 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 + 1 2 ) = ( 1 0 0 1 ) . \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}^{\dagger}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm]
\frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}. ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) † ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) = ( 2 1 + 2 1 2 1 − 2 1 2 1 − 2 1 2 1 + 2 1 ) = ( 1 0 0 1 ) . และนี่คือผลของการดำเนินการ Hadamard บนเวกเตอร์สถานะ Qubit ที่พบบ่อย
H ∣ 0 ⟩ = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 1 0 ) = ( 1 2 1 2 ) = ∣ + ⟩ H ∣ 1 ⟩ = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 0 1 ) = ( 1 2 − 1 2 ) = ∣ − ⟩ H ∣ + ⟩ = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 1 2 1 2 ) = ( 1 0 ) = ∣ 0 ⟩ H ∣ − ⟩ = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 1 2 − 1 2 ) = ( 0 1 ) = ∣ 1 ⟩ \begin{aligned}
H \vert 0 \rangle & =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\[2mm]
0
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \vert + \rangle\\[6mm]
H \vert 1 \rangle
& =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\[2mm]
1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]
-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \vert - \rangle\\[6mm]
H \vert + \rangle
& =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1\\[2mm]
0
\end{pmatrix}
= \vert 0 \rangle\\[6mm]
H \vert - \rangle
& =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]
-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0\\[2mm]
1
\end{pmatrix}
= \vert 1 \rangle
\end{aligned} H ∣0 ⟩ H ∣1 ⟩ H ∣ + ⟩ H ∣ − ⟩ = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) ( 1 0 ) = ( 2 1 2 1 ) = ∣ + ⟩ = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) ( 0 1 ) = ( 2 1 − 2 1 ) = ∣ − ⟩ = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) ( 2 1 2 1 ) = ( 1 0 ) = ∣0 ⟩ = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) ( 2 1 − 2 1 ) = ( 0 1 ) = ∣1 ⟩ สรุปกระชับได้เป็นสี่สมการนี้
H ∣ 0 ⟩ = ∣ + ⟩ H ∣ + ⟩ = ∣ 0 ⟩ H ∣ 1 ⟩ = ∣ − ⟩ H ∣ − ⟩ = ∣ 1 ⟩ \begin{aligned}
H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm]
H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle
\end{aligned} H ∣0 ⟩ = ∣ + ⟩ H ∣1 ⟩ = ∣ − ⟩ H ∣ + ⟩ = ∣0 ⟩ H ∣ − ⟩ = ∣1 ⟩ ควรหยุดคิดสักครู่ถึงข้อเท็จจริงที่ว่า H ∣ + ⟩ = ∣ 0 ⟩ H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle H ∣ + ⟩ = ∣0 ⟩ H ∣ − ⟩ = ∣ 1 ⟩ H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle H ∣ − ⟩ = ∣1 ⟩ ∣ + ⟩ \vert {+} \rangle ∣ + ⟩ ∣ − ⟩ \vert {-} \rangle ∣ − ⟩
ลองนึกถึงสถานการณ์ที่ Qubit ถูกเตรียมในสถานะควอนตัมใดสถานะหนึ่งในสอง คือ ∣ + ⟩ \vert {+} \rangle ∣ + ⟩ ∣ − ⟩ \vert {-} \rangle ∣ − ⟩ 0 0 0 1 1 1 1 / 2 1/2 1/2
แต่ถ้าเราใช้การดำเนินการ Hadamard ก่อน แล้วจึงวัด จะได้ผล 0 0 0 ∣ + ⟩ \vert {+} \rangle ∣ + ⟩ 1 1 1 ∣ − ⟩ \vert {-} \rangle ∣ − ⟩ ∣ + ⟩ \vert {+} \rangle ∣ + ⟩ ∣ − ⟩ \vert {-} \rangle ∣ − ⟩ อย่างสมบูรณ์แบบ
สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนเครื่องหมาย หรือโดยทั่วไปการเปลี่ยน เฟส (ซึ่งมักเรียกด้วยว่า อาร์กิวเมนต์ ) ของสมาชิกจำนวนเชิงซ้อนในเวกเตอร์สถานะควอนตัม สามารถเปลี่ยนสถานะนั้นได้อย่างมีนัยสำคัญ
นี่คืออีกตัวอย่างที่แสดงว่าการดำเนินการ Hadamard กระทำต่อเวกเตอร์สถานะที่กล่าวถึงก่อนหน้าอย่างไร
H ( 1 + 2 i 3 ∣ 0 ⟩ − 2 3 ∣ 1 ⟩ ) = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 1 + 2 i 3 − 2 3 ) = ( − 1 + 2 i 3 2 3 + 2 i 3 2 ) = − 1 + 2 i 3 2 ∣ 0 ⟩ + 3 + 2 i 3 2 ∣ 1 ⟩ H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr)
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1+2i}{3}\\[2mm]
-\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm]
\frac{3+2i}{3\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle
+ \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle H ( 3 1 + 2 i ∣0 ⟩ − 3 2 ∣1 ⟩ ) = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) ( 3 1 + 2 i − 3 2 ) = ( 3 2 − 1 + 2 i 3 2 3 + 2 i ) = 3 2 − 1 + 2 i ∣0 ⟩ + 3 2 3 + 2 i ∣1 ⟩ ต่อไปมาดูผลของการดำเนินการ T T T
T ∣ + ⟩ = T ( 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ ) = 1 2 T ∣ 0 ⟩ + 1 2 T ∣ 1 ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 + i 2 ∣ 1 ⟩ T \vert {+} \rangle
= T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)
= \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle T ∣ + ⟩ = T ( 2 1 ∣0 ⟩ + 2 1 ∣1 ⟩ ) = 2 1 T ∣0 ⟩ + 2 1 T ∣1 ⟩ = 2 1 ∣0 ⟩ + 2 1 + i ∣1 ⟩ สังเกตว่าเราไม่ได้แปลงเป็นรูปแบบเมทริกซ์/เวกเตอร์ แต่ใช้ความเป็นเชิงเส้นของการคูณเมทริกซ์ร่วมกับสูตร
T ∣ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ and T ∣ 1 ⟩ = 1 + i 2 ∣ 1 ⟩ . T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle
\quad\text{and}\quad
T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle. T ∣0 ⟩ = ∣0 ⟩ and T ∣1 ⟩ = 2 1 + i ∣1 ⟩ . ในทำนองเดียวกัน เราสามารถคำนวณผลของการใช้การดำเนินการ Hadamard กับเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่เพิ่งได้มา
H ( 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 + i 2 ∣ 1 ⟩ ) = 1 2 H ∣ 0 ⟩ + 1 + i 2 H ∣ 1 ⟩ = 1 2 ∣ + ⟩ + 1 + i 2 ∣ − ⟩ = ( 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ ) + ( 1 + i 2 2 ∣ 0 ⟩ − 1 + i 2 2 ∣ 1 ⟩ ) = ( 1 2 + 1 + i 2 2 ) ∣ 0 ⟩ + ( 1 2 − 1 + i 2 2 ) ∣ 1 ⟩ . \begin{aligned}
H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr)
& = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\
& = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\
& = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr)
+ \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\
& = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle
+ \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle.
\end{aligned} H ( 2 1 ∣0 ⟩ + 2 1 + i ∣1 ⟩ ) = 2 1 H ∣0 ⟩ + 2 1 + i H ∣1 ⟩ = 2 1 ∣ + ⟩ + 2 1 + i ∣ − ⟩ = ( 2 1 ∣0 ⟩ + 2 1 ∣1 ⟩ ) + ( 2 2 1 + i ∣0 ⟩ − 2 2 1 + i ∣1 ⟩ ) = ( 2 1 + 2 2 1 + i ) ∣0 ⟩ + ( 2 1 − 2 2 1 + i ) ∣1 ⟩ . สองวิธีนี้ — วิธีหนึ่งแปลงเป็นรูปแบบเมทริกซ์อย่างชัดเจน อีกวิธีใช้ความเป็นเชิงเส้นและแทนค่าผลของการดำเนินการบนสถานะฐานมาตรฐาน — มีความเทียบเท่ากัน
เราเลือกใช้วิธีที่สะดวกกว่าในแต่ละกรณีได้
การประกอบการดำเนินการยูนิทารีของ Qubit
การประกอบการดำเนินการยูนิทารีแทนด้วยการคูณเมทริกซ์ เช่นเดียวกับกรณีความน่าจะเป็น
ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราใช้การดำเนินการ Hadamard ก่อน แล้วตามด้วยการดำเนินการ S S S R R R
R = H S H = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 1 0 0 i ) ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) = ( 1 + i 2 1 − i 2 1 − i 2 1 + i 2 ) . R = H S H =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm]
\frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2}
\end{pmatrix}. R = H S H = ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) ( 1 0 0 i ) ( 2 1 2 1 2 1 − 2 1 ) = ( 2 1 + i 2 1 − i 2 1 − i 2 1 + i ) . การดำเนินการยูนิทารี R R R
R 2 = ( 1 + i 2 1 − i 2 1 − i 2 1 + i 2 ) 2 = ( 0 1 1 0 ) . R^2 =
\begin{pmatrix}
\frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm]
\frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2}
\end{pmatrix}^2
= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\[2mm]
1 & 0
\end{pmatrix}. R 2 = ( 2 1 + i 2 1 − i 2 1 − i 2 1 + i ) 2 = ( 0 1 1 0 ) . นั่นคือ R R R รากที่สองของ NOT
พฤติกรรมแบบนี้ที่การใช้การดำเนินการเดิมสองครั้งแล้วได้การดำเนินการ NOT ไม่สามารถทำได้สำหรับการดำเนินการคลาสสิกบนบิตเดี่ยว
การดำเนินการยูนิทารีบนระบบขนาดใหญ่ขึ้น
ในบทเรียนถัดไป เราจะเห็นตัวอย่างมากมายของการดำเนินการยูนิทารีบนระบบที่มีสถานะคลาสสิกมากกว่าสอง
ตัวอย่างของการดำเนินการยูนิทารีบนระบบที่มีสามสถานะคลาสสิกคือเมทริกซ์ต่อไปนี้
A = ( 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) A =
\begin{pmatrix}
{0} & {0} & {1} \\
{1} & {0} & {0} \\
{0} & {1} & {0}
\end{pmatrix} A = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 สมมติว่าสถานะคลาสสิกของระบบคือ 0 , 0, 0 , 1 , 1, 1 , 2 2 2 3 3 3
A ∣ 0 ⟩ = ∣ 1 ⟩ , A ∣ 1 ⟩ = ∣ 2 ⟩ , and A ∣ 2 ⟩ = ∣ 0 ⟩ A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle,
\quad
A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle,
\quad\text{and}\quad
A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle A ∣0 ⟩ = ∣1 ⟩ , A ∣1 ⟩ = ∣2 ⟩ , and A ∣2 ⟩ = ∣0 ⟩ เมทริกซ์ A A A เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่แต่ละแถวและคอลัมน์มีค่า 1 1 1
อีกตัวอย่างของเมทริกซ์ยูนิทารี คราวนี้เป็นเมทริกซ์ 4 × 4 4\times 4 4 × 4
U = 1 2 ( 1 1 1 1 1 i − 1 − i 1 − 1 1 − 1 1 − i − 1 i ) . U =
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm]
1 & i & -1 & -i \\[1mm]
1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm]
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}. U = 2 1 1 1 1 1 1 i − 1 − i 1 − 1 1 − 1 1 − i − 1 i . เมทริกซ์นี้อธิบายการดำเนินการที่รู้จักกันว่า การแปลง Fourier เชิงควอนตัม โดยเฉพาะในกรณี 4 × 4 4\times 4 4 × 4 n n n