9-qubit Shor code

ตอนนี้เราจะมาพูดถึง 9-qubit Shor code ซึ่งเป็น quantum error correcting code ที่ได้จากการรวม code สองอันที่พิจารณาในส่วนก่อนหน้า: 3-bit repetition code สำหรับ Qubit ซึ่งช่วยให้แก้ single bit-flip error ได้ และเวอร์ชัน modified ของ code นั้น ซึ่งช่วยให้แก้ single phase-flip error ได้

คำอธิบาย code

9-qubit Shor code คือ code ที่เราได้จากการ concatenate สอง code จากส่วนก่อนหน้า ซึ่งหมายความว่าเราใช้การเข้ารหัสหนึ่งก่อน ซึ่งเข้ารหัส Qubit หนึ่งตัวเป็นสาม แล้วใช้การเข้ารหัสอีกอันกับ แต่ละ Qubit ในสาม Qubit ที่ใช้สำหรับการเข้ารหัสแรก ส่งผลให้ได้ Qubit เก้าตัวโดยรวม

ให้แม่นยำยิ่งขึ้น แม้ว่าเราจะใช้สอง code ในลำดับใดก็ได้ในกรณีนี้ เราจะเลือกใช้เวอร์ชัน modified ของ 3-bit repetition code ก่อน (ที่ตรวจจับ phase-flip errors) แล้วเข้ารหัส แต่ละ Qubit ในสามตัวที่ได้อย่างอิสระโดยใช้ original 3-bit repetition code (ที่ตรวจจับ bit-flip errors) นี่คือแผนภาพ circuit ของการเข้ารหัสนี้

ดังที่รูปแนะนำ เราจะคิดถึง Qubit เก้าตัวของ Shor code ว่าแบ่งเป็นสามบล็อกของสาม Qubit แต่ละบล็อกได้จากขั้นตอนการเข้ารหัส ที่สอง (ซึ่งคือ ordinary 3-bit repetition code) ordinary 3-bit repetition code ซึ่งที่นี่ใช้สามครั้งอย่างอิสระ เรียกว่า inner code ในบริบทนี้ ในขณะที่ outer code คือ code ที่ใช้สำหรับขั้นตอนการเข้ารหัสแรก ซึ่งคือเวอร์ชัน modified ของ 3-bit repetition code ที่ตรวจจับ phase-flip errors

เราสามารถระบุ code อีกทางหนึ่งโดยอธิบายว่าสถานะฐานมาตรฐานสองอันสำหรับ Qubit เดิมของเราถูกเข้ารหัสอย่างไร

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \\[4mm] \vert 1\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \end{aligned}$$

เมื่อทราบสิ่งนี้ เราสามารถกำหนดโดย linearity ว่า qubit state vector แบบสุ่มถูกเข้ารหัสอย่างไร

การแก้ bit-flip และ phase-flip errors

ข้อผิดพลาดและ CNOT gates

เพื่อวิเคราะห์ว่าข้อผิดพลาด $X$ และ $Z$ ส่งผลต่อการเข้ารหัสของ Qubit อย่างไร ทั้งสำหรับ 9-qubit Shor code และ code อื่น ๆ จะเป็นประโยชน์ที่จะสังเกตความสัมพันธ์ง่าย ๆ บางอย่างระหว่างข้อผิดพลาดเหล่านี้กับ CNOT gates เมื่อเราเริ่มวิเคราะห์ 9-qubit Shor code นี่เป็นช่วงเวลาที่เหมาะสมที่จะหยุดทำสิ่งนี้

แผนภาพ circuit ต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์พื้นฐานสามอย่างระหว่าง $X$ gates และ CNOT gates โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้ $X$ gate กับ target qubit ก่อน CNOT เทียบเท่ากับการสลับลำดับและทำ CNOT ก่อน แต่การใช้ $X$ gate กับ control qubit ก่อน CNOT เทียบเท่ากับการใช้ $X$ gates กับทั้งสอง Qubit หลัง CNOT สุดท้าย การใช้ $X$ gates กับทั้งสอง Qubit ก่อน CNOT เทียบเท่ากับการทำ CNOT ก่อนแล้วใช้ $X$ gate กับ control qubit ความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถตรวจสอบได้โดยการคูณเมทริกซ์ที่จำเป็นหรือคำนวณผลของ circuits บนสถานะฐานมาตรฐาน

สถานการณ์คล้ายกันสำหรับ $Z$ gates ยกเว้นว่าบทบาทของ control และ target qubits สลับกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามีความสัมพันธ์สามอย่างที่แสดงโดย quantum circuits ต่อไปนี้

การแก้ bit-flip errors

ตอนนี้เราจะพิจารณาว่าข้อผิดพลาดสามารถตรวจจับและแก้ไขได้อย่างไรโดยใช้ 9-qubit Shor code โดยเริ่มจาก bit-flip errors — ซึ่งเราจะเรียกว่า $X$ errors ต่อไปนี้เพื่อความกระชับ

เพื่อตรวจจับและแก้ไข $X$ errors เราสามารถจัดการแต่ละบล็อกในการเข้ารหัสแยกกัน แต่ละบล็อกเป็นการเข้ารหัสของ Qubit โดยใช้ 3-bit repetition code ซึ่งป้องกัน $X$ errors — ดังนั้นโดยการทำ syndrome measurements และการแก้ไข $X$ errors ที่อธิบายไว้ก่อนหน้ากับแต่ละบล็อก เราสามารถตรวจจับและแก้ไข $X$ error ได้ไม่เกินหนึ่งอันต่อบล็อก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ามี $X$ error ไม่เกินหนึ่งอันบน Qubit เก้าตัวของการเข้ารหัส ข้อผิดพลาดนี้จะถูกตรวจจับและแก้ไขโดยขั้นตอนนี้

กล่าวโดยย่อ การแก้ bit-flip errors เป็นเรื่องง่ายสำหรับ code นี้ เพราะ inner code แก้ bit-flip errors

การแก้ phase-flip errors

ต่อไปเราจะพิจารณา phase-flip errors หรือ $Z$ errors เพื่อความกระชับ คราวนี้ไม่ชัดเจนนักว่าเราควรทำอะไร เพราะ outer code คือ code ที่ตรวจจับ $Z$ errors แต่ inner code ดูเหมือนจะ "ขวางทาง" อยู่ ทำให้การตรวจจับและแก้ไขข้อผิดพลาดเหล่านี้ยากขึ้นเล็กน้อย

สมมติว่า $Z$ error เกิดขึ้นบน Qubit หนึ่งในเก้า Qubit ของ Shor code เช่นตัวที่บ่งบอกในแผนภาพนี้

เราได้สังเกตแล้วว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ $Z$ error เกิดขึ้นเมื่อใช้ 3-bit repetition code — มันเทียบเท่ากับ $Z$ error ที่เกิดขึ้นก่อนการเข้ารหัส ในบริบทของ 9-qubit Shor code นี่หมายความว่า $Z$ error บน Qubit ใด ๆ ในบล็อกหนึ่งมีผลเหมือนกันเสมอ ซึ่งเทียบเท่ากับ $Z$ error ที่เกิดขึ้นบน Qubit ที่สอดคล้องก่อนที่จะใช้ inner code

ตัวอย่างเช่น แผนภาพ circuit ข้างต้นเทียบเท่ากับแผนภาพต่อไปนี้ สิ่งนี้สามารถอนุมานได้โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง $Z$ และ CNOT gates ที่อธิบายข้างต้น หรือโดยการประเมิน circuits บน qubit state แบบสุ่ม $\vert\psi\rangle$

สิ่งนี้แนะนำวิธีหนึ่งสำหรับตรวจจับและแก้ไข $Z$ errors คือการ ถอดรหัส inner code ทิ้งไว้กับสาม Qubit ที่ใช้สำหรับ outer encoding พร้อมกับ workspace qubits ที่ initialized แล้วหกตัว จากนั้นเราสามารถตรวจสอบสาม Qubit เหล่านี้ของ outer code สำหรับ $Z$ errors แล้วในที่สุดสามารถเข้ารหัสใหม่โดยใช้ inner code เพื่อกลับไปยังการเข้ารหัส 9-Qubit ที่ได้จาก Shor code ถ้าเราตรวจพบ $Z$ error เราสามารถแก้ไขได้ก่อนเข้ารหัสใหม่ด้วย inner code หรือหลังการเข้ารหัสใหม่ โดยใช้ $Z$ gate กับ Qubit ใด ๆ ในบล็อกนั้น

นี่คือแผนภาพ circuit ที่รวม encoding circuit และข้อผิดพลาดที่แนะนำข้างต้นเข้ากับขั้นตอนที่เพิ่งอธิบาย (แต่ไม่รวมขั้นตอนการแก้ไขจริง)

ในตัวอย่างนี้โดยเฉพาะ การวัดซินโดรมให้ค่า $11$ ซึ่งระบุว่า $Z$ error เกิดขึ้นบน Qubit ใดก็ตามในบล็อกกลาง

ข้อดีอย่างหนึ่งของการแก้ $Z$ errors หลังจากขั้นตอนการเข้ารหัสใหม่แทนที่จะเป็นก่อน คือเราสามารถทำให้ circuit ข้างต้นง่ายขึ้น circuit ต่อไปนี้เทียบเท่า แต่ต้องการ CNOT gates น้อยกว่าสี่ตัว

อีกครั้ง ซินโดรมไม่ได้ระบุว่า Qubit ใดได้รับผลกระทบจาก $Z$ error แต่ระบุว่าบล็อกใดมี $Z$ error โดยผลเหมือนกันไม่ว่า Qubit ในบล็อกตัวใดจะได้รับผลกระทบ จากนั้นเราสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดได้โดยใช้ $Z$ gate กับ Qubit ใดก็ตามในสาม Qubit ของบล็อกที่ได้รับผลกระทบ

สังเกตด้วยว่าเราเห็นตัวอย่างของ degeneracy ใน quantum error-correcting code ที่นี่ ซึ่งเราสามารถแก้ข้อผิดพลาดบางอย่าง ($Z$ errors ในกรณีนี้) โดยไม่สามารถระบุได้อย่างเฉพาะเจาะจง

Bit- และ phase-flip errors พร้อมกัน

เราได้เห็นแล้วว่าทั้ง $X$ และ $Z$ errors สามารถตรวจจับและแก้ไขได้โดยใช้ 9-qubit Shor code และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $X$ error ไม่เกินหนึ่งอันหรือ $Z$ error ไม่เกินหนึ่งอันสามารถตรวจจับและแก้ไขได้ ตอนนี้สมมติว่าทั้ง bit-flip และ phase-flip error เกิดขึ้น อาจบน Qubit เดียวกัน ปรากฏว่าไม่จำเป็นต้องทำอะไรแตกต่างในสถานการณ์นี้จากที่ได้พูดถึงไปแล้ว — code สามารถตรวจจับและแก้ไข $X$ error ไม่เกินหนึ่งอันและ $Z$ error ไม่เกินหนึ่งอันพร้อมกัน โดยไม่ต้องปรับเพิ่มเติม

ให้แม่นยำยิ่งขึ้น $X$ errors ถูกตรวจจับโดยการใช้ ordinary 3-bit repetition code syndrome measurement ซึ่งดำเนินการแยกกันกับแต่ละสามบล็อกของสาม Qubit; และ $Z$ errors ถูกตรวจจับผ่านขั้นตอนที่อธิบายข้างต้น ซึ่งเทียบเท่ากับการถอดรหัส inner code ดำเนินการ syndrome measurement สำหรับ modified 3-bit repetition code สำหรับ phase-flips แล้วเข้ารหัสใหม่ ขั้นตอนการตรวจจับข้อผิดพลาดสองอย่างนี้ — รวมถึงการแก้ไขที่สอดคล้อง — สามารถดำเนินการอย่างอิสระจากกันอย่างสมบูรณ์ และในความเป็นจริงไม่สำคัญว่าจะดำเนินการในลำดับใด

เพื่อดูว่าทำไมถึงเป็นเช่นนี้ พิจารณาตัวอย่างที่แสดงในแผนภาพ circuit ต่อไปนี้ ซึ่งทั้ง $X$ และ $Z$ errors ส่งผลต่อ Qubit ล่างของบล็อกกลาง

ขอสังเกตก่อนว่าลำดับของข้อผิดพลาดไม่สำคัญ ในแง่ที่ว่าการสลับตำแหน่งของ $X$ และ $Z$ errors ให้ circuit ที่เทียบเท่า ให้ชัดเจนว่า $X$ และ $Z$ ไม่ commute แต่ anti-commute:

$$XZ = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = -ZX.$$

ซึ่งหมายความว่า circuit ต่อไปนี้เทียบเท่ากับ circuit ข้างต้นยกเว้นตัวคูณ global phase เป็น $-1$

ตอนนี้เราสามารถย้าย $Z$ error เหมือนก่อนหน้าเพื่อให้ได้ circuit ที่เทียบเท่าอีกอัน

ณ จุดนี้ชัดเจนว่าถ้าขั้นตอนตรวจจับและแก้ไข $X$ errors ดำเนินการก่อน $X$ error จะถูกแก้ไข หลังจากนั้นขั้นตอนตรวจจับและแก้ไข $Z$ errors สามารถดำเนินการเพื่อกำจัด $Z$ error ได้เหมือนก่อน

หรือขั้นตอนตรวจจับและแก้ไข $Z$ errors สามารถดำเนินการก่อน ข้อเท็จจริงที่ว่าขั้นตอนนี้ทำงานตามที่คาดหวังแม้ในกรณีที่มี $X$ errors หนึ่งอันขึ้นไป มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า $X$ gates บน Qubit ใด ๆ ในเก้าตัวที่ใช้สำหรับการเข้ารหัส commute กับ gate ทั้งหมดใน simplified circuit ของเราสำหรับการวัดซินโดรมสำหรับ $Z$ errors ดังนั้น syndrome measurement นี้จะยังคงระบุได้อย่างถูกต้องว่าบล็อกใดได้รับผลกระทบจาก $Z$ error ข้อเท็จจริงที่ว่า $Z$ error บนบล็อกใด ๆ ถูกแก้ไขโดยการใช้ $Z$ gate กับ Qubit ใด ๆ ของบล็อกนั้น แม้ว่าจะเกิด $X$ error ด้วย มาจากข้อโต้แย้งเดิมข้างต้นเกี่ยวกับการเรียงลำดับของ $X$ และ $Z$ gates ที่ให้ circuits ที่เทียบเท่ายกเว้น global phase

ดังนั้น 9-qubit Shor code สามารถแก้ $X$ error, $Z$ error หรือทั้งสอง บน Qubit ใด ๆ ในเก้าตัวที่ใช้สำหรับ code นี้ จริง ๆ แล้ว เราสามารถแก้ข้อผิดพลาดได้มากกว่านั้น รวมถึง $X$ errors หลายอัน (ตราบใดที่อยู่ในบล็อกต่างกัน) หรือ $Z$ errors หลายอัน (ตราบใดที่ไม่เกินหนึ่งบล็อกมีจำนวนคี่ของ errors) — แต่ต่อไปนี้ สิ่งที่เกี่ยวข้องมากที่สุดสำหรับวัตถุประสงค์ของบทเรียนนี้คือเราสามารถแก้ $X$ error, $Z$ error หรือทั้งสองบน Qubit ใด ๆ ได้

การลดข้อผิดพลาดสำหรับข้อผิดพลาดแบบสุ่ม

ก่อนที่เราจะไปยังส่วนสุดท้ายของบทเรียน ซึ่งเกี่ยวกับข้อผิดพลาดควอนตัมแบบสุ่ม ลองพิจารณาประสิทธิภาพของ 9-qubit Shor code อย่างย่อ เมื่อข้อผิดพลาดที่แทนด้วย Pauli matrices เกิดขึ้น แบบสุ่ม บน Qubit

ให้เป็นรูปธรรมยิ่งขึ้น พิจารณา noise model ง่าย ๆ ที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้น อย่างอิสระ บน Qubit โดยแต่ละ Qubit ประสบข้อผิดพลาดด้วยความน่าจะเป็น $p$ และไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดบน Qubit ต่าง ๆ — ในแนวทางเดียวกับ binary symmetric channel สำหรับบิตคลาสสิก เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันสำหรับ $X,$ $Y,$ และ $Z$ errors แต่เพื่อให้ง่ายที่สุด เราจะพิจารณากรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับ 9-qubit Shor code ซึ่งคือ $Y$ error เกิดขึ้นบนแต่ละ Qubit ที่ได้รับผลกระทบ $Y$ error อย่างไรก็ตาม เทียบเท่า (ยกเว้นตัวคูณ global phase ที่ไม่เกี่ยวข้อง) กับทั้ง $X$ และ $Z$ error ที่เกิดขึ้นบน Qubit เดียวกัน เนื่องจาก $Y = iXZ$ สิ่งนี้อธิบายการที่เราดูเหมือนไม่สนใจ $Y$ errors จนถึงจุดนี้

ตอนนี้ สมมติว่า $\mathsf{Q}$ เป็น Qubit ในสถานะหนึ่งที่เราต้องการป้องกันจากข้อผิดพลาด เราสามารถพิจารณาตัวเลือกในการใช้ 9-qubit Shor code คำถามที่เป็นธรรมชาติที่จะถามคือ "เราควรใช้หรือไม่?"

คำตอบไม่จำเป็นต้องเป็น "ใช่" ถ้ามีสัญญาณรบกวนมากเกินไป หมายความในบริบทนี้ว่า $p$ ใหญ่เกินไป การใช้ Shor code อาจทำให้แย่ลง — เช่นเดียวกับ 3-bit repetition code ที่แย่กว่าไม่มี code เมื่อ $p$ มากกว่าหนึ่งในสอง แต่ถ้า $p$ เล็กพอ คำตอบคือ "ใช่" เราควรใช้ code เพราะมันจะลดความน่าจะเป็นที่สถานะที่เข้ารหัสจะเสียหาย ลองดูว่าทำไมถึงเป็นเช่นนี้ และอะไรหมายความว่า $p$ ใหญ่เกินไปหรือเล็กพอสำหรับ code นี้

Shor code แก้ข้อผิดพลาด Pauli ใด ๆ บน Qubit เดียว รวมถึง $Y$ error แน่นอน แต่ไม่แก้ $Y$ errors สองอันขึ้นไปอย่างถูกต้อง ให้ชัดเจนว่า เราสมมติว่าเราใช้การแก้ไข $X$ และ $Z$ errors ที่อธิบายไว้ก่อนหน้าในส่วนนี้ (แน่นอน ถ้าเราทราบล่วงหน้าว่าต้องกังวลเฉพาะ $Y$ errors เราจะเลือกการแก้ไขแตกต่างออกไปตามธรรมชาติ — แต่นั่นเป็นการโกง noise model และเราจะสามารถเปลี่ยน model ได้เสมอโดยเลือก Pauli errors ต่าง ๆ เพื่อทำให้การเลือกการแก้ไขใหม่นี้ล้มเหลวเมื่อ Qubit สองตัวขึ้นไปได้รับผลกระทบจากข้อผิดพลาด)

ดังนั้น code ป้องกัน $\mathsf{Q}$ ตราบใดที่ไม่เกินหนึ่ง Qubit ในเก้าตัวได้รับผลกระทบจากข้อผิดพลาด ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น

$$(1-p)^9 + 9 p (1-p)^8.$$

มิฉะนั้น ด้วยความน่าจะเป็น

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8,$$

code จะล้มเหลวในการป้องกัน $\mathsf{Q}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งที่หมายความในบริบทนี้คือ ยกเว้น global phase การดำเนินการ Pauli ที่ไม่ใช่ identity จะถูกใช้กับ Qubit $\mathsf{Q}$ (เป็น logical qubit) กล่าวคือ ถ้าตรวจจับและแก้ไข $X$ และ $Z$ errors สำหรับ Shor code ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้าในบทเรียน เราจะเหลือการเข้ารหัสของสถานะที่เทียบเท่า ยกเว้น global phase กับการเข้ารหัสของการดำเนินการ Pauli ที่ไม่ใช่ identity ที่ใช้กับสถานะเดิมของ $\mathsf{Q}$ วิธีกระชับกว่าในการพูดสิ่งนี้คือ logical error จะเกิดขึ้น ซึ่งอาจมีผลต่อสถานะเดิมของ $\mathsf{Q}$ หรือไม่ก็ได้ — หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง logical qubit ที่เราเข้ารหัสด้วย physical qubits เก้าตัว — แต่เพื่อวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์นี้ เราถือว่าเหตุการณ์นี้หมายถึงความล้มเหลว

ในทางกลับกัน ถ้าเราไม่ใช้ code Qubit เดียวของเราก็จะประสบชะตากรรมที่คล้ายกัน (ถูกใช้การดำเนินการ Pauli ที่ไม่ใช่ identity) ด้วยความน่าจะเป็น $p$ Code ช่วยเมื่อความน่าจะเป็นแรกน้อยกว่าความน่าจะเป็นที่สอง:

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8 < p.$$

นี่คือกราฟที่แสดงสำหรับค่า $p$ ที่น้อยมาก ๆ ว่า code ให้ความได้เปรียบ โดยจุดคุ้มทุนอยู่ที่ประมาณ $0.0323$

ถ้า $p$ น้อยกว่าจุดคุ้มทุนนี้ code ช่วย; ที่จุดคุ้มทุนความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นเราเสียเวลาและ Qubit เพิ่มเติมอีก 8 ตัวเปล่า ๆ ถ้าใช้ code; และเลยจุดคุ้มทุนเราไม่ควรใช้ code นี้เลยเพราะมัน เพิ่ม โอกาสเกิด logical error บน $\mathsf{Q}$

ประมาณสามและหนึ่งในสี่เปอร์เซ็นต์อาจไม่ดูเหมือนจุดคุ้มทุนที่ดีมากนัก โดยเฉพาะเมื่อเทียบกับ $50\%$ ซึ่งเป็นจุดคุ้มทุนที่คล้ายกันสำหรับ 3-bit repetition code สำหรับสารสนเทศคลาสสิก ความแตกต่างนี้ส่วนใหญ่เป็นเพราะสารสนเทศควอนตัมละเอียดอ่อนและป้องกันได้ยากกว่าสารสนเทศคลาสสิก แต่ยัง — แม้ว่าจะยอมรับว่า 9-qubit Shor code เป็นการค้นพบที่ยอดเยี่ยมในฐานะ quantum error correcting code แรกของโลก — ควรยอมรับว่ามันไม่ใช่ code ที่ดีมากในแง่ปฏิบัติ