อัลกอริทึม Variational

คอร์สนี้ครอบคลุมรายละเอียดของอัลกอริทึม variational และอัลกอริทึม hybrid quantum-classical ระยะใกล้ที่อิงจากทฤษฎีบท variational ของกลศาสตร์ควอนตัม อัลกอริทึมเหล่านี้สามารถใช้ประโยชน์จากคอมพิวเตอร์ควอนตัมในปัจจุบันที่ยังไม่ทนทานต่อความผิดพลาด ทำให้เป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับการบรรลุ quantum advantage

ตลอดคอร์สนี้ เราจะสำรวจ:

• แต่ละขั้นตอนในขั้นตอนการออกแบบอัลกอริทึม variational

• การแลกเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับแต่ละขั้นตอน

• วิธีใช้ IBM Quantum primitives เพื่อปรับแต่งความเร็วและความแม่นยำ

แม้ว่าคอร์สนี้มีไว้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับนักวิจัยและนักพัฒนาในการสำรวจประโยชน์ของคอมพิวเตอร์ควอนตัม แต่คุณสามารถสำรวจความรู้ทางทฤษฎีและพื้นฐานเกี่ยวกับการประมวลผลเชิงควอนตัมโดยทั่วไปได้ใน Basics of Quantum Information and Computation (มีให้บริการเป็นชุดวิดีโอ YouTube ด้วย)

ขั้นตอน hybrid ที่เรียบง่าย

อัลกอริทึม variational ประกอบด้วยองค์ประกอบโมดูลหลายส่วนที่สามารถรวมและปรับแต่งตามความก้าวหน้าของอัลกอริทึม ซอฟต์แวร์ และฮาร์ดแวร์ ซึ่งรวมถึง ฟังก์ชันต้นทุน ที่อธิบายปัญหาเฉพาะด้วยชุดพารามิเตอร์, ansatz เพื่อแสดงพื้นที่การค้นหาด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้ และ optimizer เพื่อสำรวจพื้นที่การค้นหาซ้ำ ๆ ในการวนซ้ำแต่ละครั้ง optimizer ประเมิน ฟังก์ชันต้นทุนด้วยพารามิเตอร์ปัจจุบันและเลือกพารามิเตอร์ของการวนซ้ำถัดไปจนกว่าจะconvergeไปสู่วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด ลักษณะ hybrid ของกลุ่มอัลกอริทึมนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันต้นทุนถูกประเมินโดยใช้ทรัพยากรควอนตัมและปรับแต่งผ่านทรัพยากรแบบคลาสสิก

1. กำหนดค่าเริ่มต้นปัญหา: อัลกอริทึม variational เริ่มต้นด้วยการกำหนดค่าเริ่มต้นคอมพิวเตอร์ควอนตัมในสถานะ ดีฟอลต์ $|0\rangle$ จากนั้นแปลงมันเป็นสถานะที่ต้องการ (ไม่มีพารามิเตอร์) $|\rho\rangle$ ซึ่งเราจะเรียกว่า reference state

   การแปลงนี้แสดงด้วยการกระทำของตัวดำเนินการอ้างอิงแบบยูนิแทรี $U_R$ บนสถานะดีฟอลต์ เช่นว่า $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$

2. เตรียม ansatz: ในการเริ่มปรับแต่งซ้ำจากสถานะดีฟอลต์ $|0\rangle$ ไปยังสถานะเป้าหมาย $|\psi(\vec\theta)\rangle$ เราต้องกำหนด variational form $U_V(\vec\theta)$ เพื่อแทนชุดของสถานะแบบมีพารามิเตอร์สำหรับอัลกอริทึม variational ของเราในการสำรวจ

   เราเรียกการรวมกันใด ๆ ของ reference state และ variational form ว่า ansatz เช่นว่า: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$ ท้ายที่สุดแล้ว ansatz จะอยู่ในรูปของวงจรควอนตัมแบบมีพารามิเตอร์ที่สามารถนำสถานะดีฟอลต์ $|0\rangle$ ไปยังสถานะเป้าหมาย $|\psi(\vec\theta)\rangle$

   โดยรวมทั้งหมดเราจะได้:

   $$\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}$$

3. ประเมินฟังก์ชันต้นทุน: เราสามารถเข้ารหัสปัญหาของเราเป็น ฟังก์ชันต้นทุน $C(\vec\theta)$ ในรูปแบบการรวมเชิงเส้นของตัวดำเนินการ Pauli ซึ่งทำงานบนระบบควอนตัม แม้ว่าอาจเป็นข้อมูลเกี่ยวกับระบบทางกายภาพ เช่น พลังงานหรือ spin แต่เราสามารถเข้ารหัสปัญหาที่ไม่ใช่ทางกายภาพได้เช่นกัน เราสามารถใช้ IBM Quantum primitives เพื่อรับมือกับสัญญาณรบกวนด้วย error suppression และ error mitigation ในการประเมินฟังก์ชันต้นทุนของเรา

4. ปรับแต่งพารามิเตอร์: การประเมินจะถูกนำไปยังคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิก ซึ่ง optimizer แบบคลาสสิกจะวิเคราะห์และเลือกชุดค่าถัดไปสำหรับพารามิเตอร์ variational หากเรามีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดก่อนหน้า เราสามารถตั้งมันเป็น จุดเริ่มต้น $\vec\theta_0$ เพื่อ bootstrap การปรับแต่งของเรา การใช้ สถานะเริ่มต้น $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ นี้อาจช่วยให้ optimizer ของเราค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องได้เร็วขึ้น

5. ปรับพารามิเตอร์ ansatz ด้วยผลลัพธ์ และรันใหม่: กระบวนการทั้งหมดจะทำซ้ำจนกว่าเกณฑ์การสิ้นสุดของ optimizer แบบคลาสสิกถูกบรรลุ และชุดค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุด $\vec\theta^*$ จะถูกส่งคืน สถานะวิธีแก้ปัญหาที่เสนอสำหรับปัญหาของเราจะเป็น $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$

ทฤษฎีบท variational

เป้าหมายทั่วไปของอัลกอริทึม variational คือการค้นหาสถานะควอนตัมที่มีค่าเฉพาะต่ำสุดหรือสูงสุดของ observable บางตัว ข้อมูลเชิงลึกสำคัญที่เราจะใช้คือ ทฤษฎีบท variational ของกลศาสตร์ควอนตัม ก่อนที่จะเข้าสู่เนื้อหาทั้งหมด เรามาสำรวจความเข้าใจเชิงสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์บางส่วนเบื้องหลังกัน

สัญชาตญาณเชิงคณิตศาสตร์สำหรับพลังงานและ ground states

ในกลศาสตร์ควอนตัม พลังงานมาในรูปแบบของ quantum observable ที่มักเรียกว่า Hamiltonian ซึ่งเราแทนด้วย $\hat{\mathcal{H}}$ มาพิจารณา spectral decomposition ของมัน:

$$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|$$

โดยที่ $N$ คือมิติของพื้นที่ของสถานะ, $\lambda_{k}$ คือค่าเฉพาะที่ $k$ หรือในทางกายภาพ ระดับพลังงานที่ $k$ และ $|\phi_k\rangle$ คือ eigenstate ที่สอดคล้องกัน: $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$ พลังงานที่คาดหวังของระบบในสถานะ (normalized) $|\psi\rangle$ จะเป็น:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}$$

ถ้าเราคำนึงถึงว่า $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$ เราจะได้:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}$$

เนื่องจาก $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ เป็น orthonormal basis ความน่าจะเป็นของการวัด $|\phi_{k} \rangle$ คือ $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$ และผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$ โดยสรุป พลังงานที่คาดหวังของระบบใด ๆ สูงกว่าพลังงานต่ำสุดหรือพลังงาน ground state:

$$\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.$$

การให้เหตุผลข้างต้นใช้ได้กับสถานะควอนตัม $|\psi\rangle$ ใด ๆ ที่ถูกต้อง (normalized) ดังนั้นจึงเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์ที่จะพิจารณาสถานะแบบมีพารามิเตอร์ $|\psi(\vec\theta)\rangle$ ที่ขึ้นอยู่กับ vector พารามิเตอร์ $\vec\theta$ นี่คือส่วน "variational" ที่เข้ามามีบทบาท ถ้าเราพิจารณาฟังก์ชันต้นทุนที่กำหนดโดย $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ และต้องการลดค่าให้น้อยที่สุด ค่าต่ำสุดจะตอบสนองเสมอว่า:

$$\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.$$

ค่าต่ำสุดของ $C(\vec\theta)$ จะเป็นค่าที่เข้าใกล้ $\lambda_0$ ได้มากที่สุดโดยใช้สถานะแบบมีพารามิเตอร์ $|\psi(\vec\theta)\rangle$ และความเท่ากันจะบรรลุได้ก็ต่อเมื่อมี vector พารามิเตอร์ $\vec\theta^*$ เช่นว่า $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle$

ทฤษฎีบท variational ของกลศาสตร์ควอนตัม

ถ้าสถานะ (normalized) $|\psi\rangle$ ของระบบควอนตัมขึ้นอยู่กับ vector พารามิเตอร์ $\vec\theta$ การประมาณค่า ground state ที่ดีที่สุด (นั่นคือ eigenstate $|\phi_0\rangle$ ที่มีค่าเฉพาะต่ำสุด $\lambda_0$) คือการที่ลดค่าความคาดหวัง expectation valueของ Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$ ให้น้อยที่สุด:

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0$$

เหตุผลที่ทฤษฎีบท variational ถูกระบุในแง่ของ energy minima เนื่องจากมีสมมติฐานทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง:

• ด้วยเหตุผลทางกายภาพ จำเป็นต้องมีขอบล่างจำกัดสำหรับพลังงาน $E \geq \lambda_0 > -\infty$ แม้สำหรับ $N\rightarrow\infty$

• ขอบบนโดยทั่วไปไม่มีอยู่

อย่างไรก็ตาม ในทางคณิตศาสตร์ ไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับ Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$ นอกเหนือจากสมมติฐานเหล่านี้ ดังนั้นทฤษฎีบทสามารถถูกขยายไปยัง quantum observables อื่น ๆ และ eigenstate ของมัน โดยมีเงื่อนไขว่าต้องปฏิบัติตามข้อจำกัดเดียวกัน นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าหากมีขอบบนจำกัด สามารถใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เดียวกันสำหรับการเพิ่มค่าเฉพาะให้สูงสุดโดยการสลับขอบล่างกับขอบบน

สรุป

ในบทเรียนนี้ คุณได้เรียนรู้มุมมองระดับสูงของอัลกอริทึม variational ในบทเรียนต่อ ๆ ไป เราจะสำรวจแต่ละขั้นตอนในรายละเอียดเพิ่มเติม พร้อมกับการแลกเปลี่ยนที่เกี่ยวข้อง