การส่งข้อมูลเชิงควอนตัม (Quantum Teleportation)

Quantum teleportation หรือเรียกสั้นๆ ว่า teleportation คือโปรโตคอลที่ผู้ส่ง (Alice) ถ่ายโอน qubit ไปยังผู้รับ (Bob) โดยอาศัยสถานะควอนตัมที่พัวพันร่วมกัน (พูดให้เจาะจงคือ e-bit หนึ่งหน่วย) ร่วมกับการสื่อสารข้อมูลแบบคลาสสิก 2 บิต คำว่า teleportation นั้นถูกใช้เพื่อสื่อถึงแนวคิดในนิยายวิทยาศาสตร์ที่สสารถูกส่งจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งผ่านกระบวนการอนาคต แต่ต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าใน quantum teleportation นั้น ไม่มีสสารถูกส่ง — สิ่งที่ถูก "ส่ง" จริงๆ คือข้อมูลเชิงควอนตัม

การเตรียมตัวสำหรับ teleportation มีดังนี้

สมมติว่า Alice และ Bob แชร์ e-bit ร่วมกัน: Alice ถือ qubit $\mathsf{A}$, Bob ถือ qubit $\mathsf{B}$, และคู่ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ อยู่ในสถานะ $\vert\phi^+\rangle$. อาจเป็นไปได้ว่า Alice และ Bob เคยอยู่ที่เดียวกัน เตรียม qubit $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ ให้อยู่ในสถานะ $\vert \phi^+ \rangle$ แล้วต่างคนต่างพา qubit ของตัวเองแยกย้ายไป หรืออาจใช้กระบวนการอื่น เช่น บุคคลที่สามหรือกระบวนการแบบกระจายที่ซับซ้อน เพื่อสร้าง e-bit ที่แชร์กันนี้ รายละเอียดเหล่านี้ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของโปรโตคอล teleportation เอง

จากนั้น Alice ได้รับ qubit ที่สาม $\mathsf{Q}$ ซึ่งเธอต้องการส่งให้ Bob สถานะของ qubit $\mathsf{Q}$ ถือว่า ไม่ทราบ ทั้งโดย Alice และ Bob และไม่มีข้อสมมติฐานใดๆ เกี่ยวกับมัน ตัวอย่างเช่น qubit $\mathsf{Q}$ อาจพัวพันกับระบบอื่นๆ อีกหนึ่งหรือหลายระบบที่ทั้ง Alice และ Bob เข้าถึงไม่ได้ การที่ Alice ต้องการส่ง qubit $\mathsf{Q}$ ให้ Bob หมายความว่า Alice อยากให้ Bob ถือ qubit ที่อยู่ในสถานะเดิมกับที่ $\mathsf{Q}$ อยู่ตอนต้นโปรโตคอล รวมถึงความสัมพันธ์ใดๆ ที่ $\mathsf{Q}$ มีกับระบบอื่น ราวกับว่า Alice ส่ง $\mathsf{Q}$ ให้ Bob โดยตรง

เราอาจจินตนาการว่า Alice ส่ง qubit $\mathsf{Q}$ ให้ Bob โดยตรง และถ้ามันถึงมือ Bob โดยไม่ถูกรบกวนระหว่างทาง ภารกิจของ Alice และ Bob ก็สำเร็จ อย่างไรก็ตาม ในบริบทของ teleportation เราสมมติว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ — Alice ไม่สามารถส่ง qubit ให้ Bob โดยตรงได้ แต่เธอสามารถส่งข้อมูลแบบคลาสสิกให้ Bob ได้

ข้อสมมติเหล่านี้สมเหตุสมผลในหลายสถานการณ์ ตัวอย่างเช่น ถ้า Alice ไม่รู้ตำแหน่งที่แน่ชัดของ Bob หรือระยะทางระหว่างพวกเขามาก การส่ง qubit ทางกายภาพด้วยเทคโนโลยีปัจจุบันหรืออนาคตอันใกล้นั้นเป็นเรื่องที่ท้าทายมาก อย่างไรก็ตาม อย่างที่เรารู้จากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน การส่งข้อมูลแบบคลาสสิกในสถานการณ์เช่นนี้นั้นทำได้ไม่ยาก

ณ จุดนี้ อาจมีคนถามว่า Alice และ Bob จะสามารถทำสิ่งที่ต้องการได้โดยไม่ต้องใช้ e-bit ที่แชร์กันหรือไม่ กล่าวคือ มีวิธีใดบ้างที่จะส่ง qubit โดยใช้การสื่อสารแบบคลาสสิกเพียงอย่างเดียว?

คำตอบคือไม่ ไม่สามารถส่งข้อมูลเชิงควอนตัมโดยใช้การสื่อสารแบบคลาสสิกเพียงอย่างเดียวได้ สิ่งนี้ไม่ยากที่จะพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้ทฤษฎีข้อมูลเชิงควอนตัมพื้นฐาน แต่เราก็สามารถตัดความเป็นไปได้ของการส่ง qubit โดยใช้การสื่อสารแบบคลาสสิกเพียงอย่างเดียวออกได้ โดยคิดถึงทฤษฎีบท no-cloning

ลองนึกภาพว่ามีวิธีส่งข้อมูลเชิงควอนตัมโดยใช้การสื่อสารแบบคลาสสิกเพียงอย่างเดียว ข้อมูลแบบคลาสสิกสามารถคัดลอกและกระจายได้ง่าย ซึ่งหมายความว่าการส่งข้อมูลแบบคลาสสิกใดๆ จาก Alice ไปยัง Bob อาจถูกรับโดยผู้รับคนที่สองด้วย (ขอเรียกว่า Charlie) แต่ถ้า Charlie ได้รับการสื่อสารแบบคลาสสิกเดียวกับที่ Bob ได้รับ เขาจะไม่สามารถได้รับสำเนาของ qubit $\mathsf{Q}$ ด้วยหรือ? นี่จะแนะนำว่า $\mathsf{Q}$ ถูกโคลน ซึ่งเราทราบแล้วว่าเป็นไปไม่ได้ตามทฤษฎีบท no-cloning ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าไม่มีทางส่งข้อมูลเชิงควอนตัมโดยใช้การสื่อสารแบบคลาสสิกเพียงอย่างเดียว

อย่างไรก็ตาม เมื่อสมมติว่า Alice และ Bob แชร์ e-bit ร่วมกัน Alice และ Bob สามารถทำภารกิจของพวกเขาได้ นี่คือสิ่งที่โปรโตคอล quantum teleportation ทำได้พอดี

โปรโตคอล

ต่อไปนี้คือแผนภาพ Circuit ควอนตัมที่อธิบายโปรโตคอล teleportation:

แผนภาพนี้มีการจัดสไตล์เล็กน้อยโดยแสดงการแยกระหว่าง Alice และ Bob พร้อมสายแนวทแยงสองเส้นที่แทนบิตแบบคลาสสิกที่ส่งจาก Alice ไปยัง Bob แต่นอกจากนั้นก็เป็นแผนภาพ Circuit ควอนตัมธรรมดา ชื่อ qubit แสดงอยู่เหนือสายแทนที่จะอยู่ทางซ้ายเพื่อให้สามารถแสดงสถานะเริ่มต้นได้ด้วย (ซึ่งเราจะทำบ่อยๆ เมื่อมันสะดวก) ควรสังเกตด้วยว่า Gate $X$ และ $Z$ มีการควบคุมแบบ คลาสสิก ซึ่งหมายความว่า Gate จะไม่ถูกใช้หรือถูกใช้ขึ้นอยู่กับว่าบิตควบคุมแบบคลาสสิกเหล่านี้เป็น $0$ หรือ $1$ ตามลำดับ

ในรูปแบบคำพูด โปรโตคอล teleportation มีขั้นตอนดังนี้:

1. Alice ทำการดำเนินการ controlled-NOT บนคู่ $(\mathsf{A},\mathsf{Q})$ โดยมี $\mathsf{Q}$ เป็นตัวควบคุมและ $\mathsf{A}$ เป็นเป้าหมาย แล้วดำเนินการ Hadamard บน $\mathsf{Q}$

2. จากนั้น Alice วัดทั้ง $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{Q}$ ด้วยการวัดฐานมาตรฐานในทั้งสองกรณี และส่งผลลัพธ์แบบคลาสสิกให้ Bob ขอเรียกผลการวัด $\mathsf{A}$ ว่า $a$ และผลการวัด $\mathsf{Q}$ ว่า $b$

3. Bob รับ $a$ และ $b$ จาก Alice และขึ้นอยู่กับค่าของบิตเหล่านี้ เขาดำเนินการ:

   • ถ้า $a = 1$ Bob ทำ bit flip (หรือ Gate $X$) บน qubit $\mathsf{B}$ ของเขา

   • ถ้า $b = 1$ Bob ทำ phase flip (หรือ Gate $Z$) บน qubit $\mathsf{B}$ ของเขา

   นั่นคือ โดยมีเงื่อนไขว่า $ab$ เป็น $00,$ $01,$ $10,$ หรือ $11$ Bob ดำเนินการหนึ่งในการดำเนินการ $\mathbb{I},$ $Z,$ $X,$ หรือ $ZX$ บน qubit $\mathsf{B}$

นี่คือคำอธิบายสมบูรณ์ของโปรโตคอล teleportation การวิเคราะห์ที่ปรากฏด้านล่างจะเปิดเผยว่าเมื่อรันโปรโตคอล qubit $\mathsf{B}$ จะอยู่ในสถานะเดิมกับที่ $\mathsf{Q}$ อยู่ก่อนเริ่มโปรโตคอล รวมถึงความสัมพันธ์ใดๆ ที่มีกับระบบอื่น — กล่าวคือ โปรโตคอลนี้ได้สร้างช่องทางการสื่อสาร qubit ที่สมบูรณ์แบบ โดยสถานะของ $\mathsf{Q}$ ถูก "ส่ง" เข้าไปใน $\mathsf{B}$

ก่อนที่จะไปยังการวิเคราะห์ สังเกตว่าโปรโตคอลนี้ไม่ได้โคลนสถานะของ $\mathsf{Q}$ ซึ่งเราทราบแล้วว่าเป็นไปไม่ได้ตามทฤษฎีบท no-cloning แต่ เมื่อโปรโตคอลสิ้นสุดลง สถานะของ qubit $\mathsf{Q}$ จะเปลี่ยนจากค่าเดิมเป็น $\vert b\rangle$ เนื่องจากการวัดที่ทำกับมัน นอกจากนี้ยังสังเกตได้ว่า e-bit ถูก "เผาทิ้ง" ในกระบวนการ: สถานะของ $\mathsf{A}$ เปลี่ยนเป็น $\vert a\rangle$ และไม่ได้พัวพันกับ $\mathsf{B}$ (หรือระบบอื่นใด) อีกต่อไป นี่คือต้นทุนของ teleportation

การวิเคราะห์

เพื่อวิเคราะห์โปรโตคอล teleportation เราจะตรวจสอบพฤติกรรมของ Circuit ที่อธิบายข้างต้นทีละขั้นตอน โดยเริ่มจากสถานการณ์ที่ $\mathsf{Q}$ อยู่ในสถานะเริ่มต้น $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ นี่ไม่ใช่สถานการณ์ทั่วไปที่สุด เพราะมันไม่ครอบคลุมความเป็นไปได้ที่ $\mathsf{Q}$ พัวพันกับระบบอื่น แต่การเริ่มต้นด้วยกรณีที่ง่ายกว่านี้จะช่วยให้การวิเคราะห์ชัดเจนขึ้น กรณีทั่วไปมากขึ้นจะถูกอธิบายด้านล่างหลังจากการวิเคราะห์กรณีที่ง่ายกว่า

โดยเฉพาะเราจะพิจารณาสถานะของ qubit $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ ณ เวลาต่างๆ ตามที่แสดงในรูปนี้:

ภายใต้สมมติฐานที่ว่า qubit $\mathsf{Q}$ เริ่มต้นโปรโตคอลในสถานะ $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ สถานะของ qubit ทั้งสาม $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ ร่วมกัน ณ จุดเริ่มต้นของโปรโตคอล จึงเป็น

$$\vert \pi_0 \rangle = \vert \phi^+\rangle \otimes \bigl(\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \bigr) = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 001\rangle + \beta \vert 111\rangle}{\sqrt{2}}.$$

Gate แรกที่ทำคือ controlled-NOT gate ซึ่งแปลงสถานะ $\vert\pi_0\rangle$ ให้เป็น

$$\vert \pi_1 \rangle = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 011\rangle + \beta \vert 101\rangle}{\sqrt{2}}.$$

จากนั้นใช้ Hadamard gate ซึ่งแปลงสถานะ $\vert\pi_1\rangle$ ให้เป็น

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle & = \frac{\alpha \vert 00\rangle \vert + \rangle + \alpha \vert 11\rangle\vert +\rangle + \beta \vert 01\rangle\vert -\rangle + \beta \vert 10\rangle\vert -\rangle}{\sqrt{2}}\\[2mm] & = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 001 \rangle + \alpha \vert 110 \rangle + \alpha \vert 111 \rangle + \beta \vert 010 \rangle - \beta \vert 011 \rangle + \beta \vert 100 \rangle - \beta \vert 101 \rangle}{2}. \end{aligned}$$

โดยใช้ multilinearity ของผลคูณ tensor เราสามารถเขียนสถานะนี้ในรูปแบบอื่นได้ดังนี้:

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 00\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle - \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 01\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle + \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 10\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle - \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 11\rangle. \end{aligned}$$

เมื่อมองแรกอาจดูเหมือนเกิดสิ่งน่าอัศจรรย์ขึ้น เพราะ qubit ซ้ายสุด $\mathsf{B}$ ดูเหมือนจะขึ้นอยู่กับตัวเลข $\alpha$ และ $\beta$ ทั้งที่ยังไม่มีการสื่อสารใดๆ จาก Alice ไปยัง Bob แต่นี่เป็นภาพลวงตา สเกลาร์ไหลได้อย่างอิสระผ่านผลคูณ tensor ดังนั้น $\alpha$ และ $\beta$ จึงไม่ได้เกี่ยวข้องกับ qubit ซ้ายสุดมากหรือน้อยไปกว่า qubit อื่นๆ และสิ่งที่เราทำไปคือการใช้พีชคณิตเพื่อแสดงสถานะในรูปแบบที่ช่วยให้วิเคราะห์การวัดได้ง่ายขึ้น

ต่อไปให้พิจารณาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สี่แบบของการวัดฐานมาตรฐานของ Alice พร้อมกับการกระทำที่ Bob ดำเนินการตามมา

ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้

• ผลลัพธ์การวัดของ Alice คือ $aq = 00$ ด้วยความน่าจะเป็น

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  ในกรณีนี้สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ กลายเป็น

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 00 \rangle.$$

  Bob ไม่ทำอะไรในกรณีนี้ ดังนั้นนี่คือสถานะสุดท้ายของ qubit ทั้งสาม

• ผลลัพธ์การวัดของ Alice คือ $aq = 01$ ด้วยความน่าจะเป็น

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  ในกรณีนี้สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ กลายเป็น

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle - \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

  ในกรณีนี้ Bob ใช้ Gate $Z$ บน $\mathsf{B}$ ทำให้ $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ อยู่ในสถานะ

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

• ผลลัพธ์การวัดของ Alice คือ $aq = 10$ ด้วยความน่าจะเป็น

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle + \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  ในกรณีนี้สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ กลายเป็น

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle + \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

  ในกรณีนี้ Bob ใช้ Gate $X$ บน qubit $\mathsf{B}$ ทำให้ $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ อยู่ในสถานะ

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

• ผลลัพธ์การวัดของ Alice คือ $aq = 11$ ด้วยความน่าจะเป็น

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle - \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  ในกรณีนี้สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ กลายเป็น

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle - \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

  ในกรณีนี้ Bob ดำเนินการ $ZX$ บน qubit $\mathsf{B}$ ทำให้ $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ อยู่ในสถานะ

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าในทั้งสี่กรณี qubit $\mathsf{B}$ ของ Bob อยู่ในสถานะ $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ ณ ตอนจบของโปรโตคอล ซึ่งเป็นสถานะเริ่มต้นของ qubit $\mathsf{Q}$ นี่คือสิ่งที่เราต้องการแสดง: โปรโตคอล teleportation ทำงานได้อย่างถูกต้อง

เรายังเห็นด้วยว่า qubit $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{Q}$ ถูกทิ้งให้อยู่ในหนึ่งในสี่สถานะ $\vert 00\rangle,$ $\vert 01\rangle,$ $\vert 10\rangle,$ หรือ $\vert 11\rangle$ แต่ละสถานะมีความน่าจะเป็น $1/4$ ขึ้นอยู่กับผลการวัดของ Alice ดังนั้น อย่างที่ได้แนะนำไว้ข้างต้น ณ ตอนจบของโปรโตคอล Alice ไม่มีสถานะ $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ อีกต่อไป ซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีบท no-cloning

สังเกตว่าการวัดของ Alice ไม่ได้ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับสถานะ $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ เลย กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์การวัดที่เป็นไปได้ทั้งสี่คือ $1/4$ โดยไม่ขึ้นกับ $\alpha$ และ $\beta$ สิ่งนี้ก็มีความสำคัญต่อการทำงานของ teleportation ด้วย การดึงข้อมูลจากสถานะควอนตัมที่ไม่ทราบค่านั้น โดยทั่วไปย่อมรบกวนสถานะนั้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ แต่ที่นี่ Bob ได้รับสถานะโดยไม่ถูกรบกวน

ต่อไปให้พิจารณาสถานการณ์ทั่วไปมากขึ้นที่ qubit $\mathsf{Q}$ พัวพันในตอนแรกกับระบบอื่น ซึ่งจะเรียกว่า $\mathsf{R}$ การวิเคราะห์ที่คล้ายกับข้างต้นจะเปิดเผยว่าโปรโตคอล teleportation ทำงานได้ถูกต้องในกรณีทั่วไปมากขึ้นนี้: ณ ตอนจบของโปรโตคอล qubit $\mathsf{B}$ ที่ Bob ถือนั้นพัวพันกับ $\mathsf{R}$ ในลักษณะเดียวกับที่ $\mathsf{Q}$ พัวพันตอนต้นโปรโตคอล ราวกับว่า Alice ส่ง $\mathsf{Q}$ ให้ Bob โดยตรง

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้สมมติว่าสถานะของคู่ $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ ในตอนแรกได้รับโดยเวกเตอร์สถานะควอนตัมในรูปแบบ

$$\alpha \vert 0 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_1\rangle_{\mathsf{R}},$$

โดยที่ $\vert\gamma_0\rangle$ และ $\vert\gamma_1\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมสำหรับระบบ $\mathsf{R}$ และ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ตอบสนอง $\vert \alpha \vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1$ เวกเตอร์สถานะควอนตัมใดๆ ของคู่ $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้

รูปต่อไปนี้แสดง Circuit เดิม พร้อมเพิ่มระบบ $\mathsf{R}$ (แทนด้วยกลุ่ม qubit ที่ด้านบนของแผนภาพที่ไม่มีอะไรเกิดขึ้น)

เพื่อวิเคราะห์สิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อรันโปรโตคอล teleportation จะเป็นประโยชน์ถ้าสลับตำแหน่งของระบบ ตามแนวทางที่อธิบายไว้ในบทเรียนก่อนหน้า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะพิจารณาสถานะของระบบในลำดับ $(\mathsf{B},\mathsf{R},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ แทนที่จะเป็น $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q},\mathsf{R})$ ชื่อของระบบต่างๆ ถูกใส่ไว้เป็น subscript ในสมการต่อไปนี้เพื่อความชัดเจน

ณ จุดเริ่มต้นของโปรโตคอล สถานะของระบบเหล่านี้เป็นดังนี้:

$$\begin{aligned} \vert \pi_0\rangle & = \vert \phi^+\rangle_{\mathsf{BA}} \otimes \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{Q}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{Q}}\vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}}\bigr)\\[1mm] & = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11 \rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

ขั้นแรก controlled-NOT gate ถูกใช้ ซึ่งแปลงสถานะนี้เป็น

$$\vert\pi_1\rangle = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}.$$

จากนั้น Hadamard gate ถูกใช้ หลังจากขยายและทำให้สถานะผลลัพธ์เรียบง่ายขึ้น ตามแนวทางที่คล้ายกับการวิเคราะห์กรณีที่ง่ายกว่าข้างต้น เราได้รับสมการนี้สำหรับสถานะผลลัพธ์:

$$\begin{aligned} \vert \pi_2 \rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}}. \end{aligned}$$

เมื่อดำเนินการเหมือนเดิม โดยพิจารณาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สี่แบบของการวัดของ Alice พร้อมกับการกระทำที่ Bob ดำเนินการตามมา เราพบว่า ณ ตอนจบของโปรโตคอล สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{R})$ จะเป็นดังนี้เสมอ

$$\alpha \vert 0 \rangle \vert \gamma_0\rangle + \beta \vert 1 \rangle \vert \gamma_1\rangle.$$

พูดอย่างไม่เป็นทางการ การวิเคราะห์ไม่ได้เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับกรณีที่ง่ายกว่าข้างต้น $\vert\gamma_0\rangle$ และ $\vert\gamma_1\rangle$ โดยพื้นฐานแล้วเพียงแค่ "ติดตามไปด้วย" ดังนั้น การเทเลพอร์ตจึงสำเร็จในการสร้างช่องทางการสื่อสารควอนตัมที่สมบูรณ์แบบ โดยส่งผ่านเนื้อหาของคิวบิต $\mathsf{Q}$ ไปยัง $\mathsf{B}$ อย่างมีประสิทธิผลและรักษาความสัมพันธ์ทั้งหมดกับระบบอื่นๆ ไว้

นี่ไม่ใช่เรื่องน่าแปลกใจเลย เมื่อพิจารณาจากการวิเคราะห์กรณีที่ง่ายกว่าข้างต้น ดังที่การวิเคราะห์นั้นเปิดเผย เรามีกระบวนการทางฟิสิกส์ที่ทำหน้าที่เหมือนการดำเนินการเอกลักษณ์ (identity operation) บน qubit ในสถานะควอนตัมใดๆ และมีเพียงวิธีเดียวที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ นั่นคือการดำเนินการที่ทำโดยโปรโตคอลจะต้องเป็นการดำเนินการเอกลักษณ์ นั่นคือ เมื่อเรารู้ว่า teleportation ทำงานได้อย่างถูกต้องสำหรับ qubit เดี่ยวที่แยกตัวออกมา เราสามารถสรุปได้ว่าโปรโตคอลนี้ทำหน้าที่เป็นช่องสัญญาณควอนตัมที่สมบูรณ์แบบและไม่มีสัญญาณรบกวนได้อย่างมีประสิทธิผล ดังนั้นมันจะต้องทำงานได้อย่างถูกต้องแม้ว่า qubit อินพุตจะพัวพันกับระบบอื่น

การอภิปรายเพิ่มเติม

ต่อไปนี้คือข้อสังเกตสรุปสั้นๆ เกี่ยวกับ teleportation

ประการแรก teleportation ไม่ใช่ แอปพลิเคชัน ของข้อมูลเชิงควอนตัม มันเป็น โปรโตคอล สำหรับการสื่อสารเชิงควอนตัม ดังนั้นมันจึงมีประโยชน์ก็ต่อเมื่อการสื่อสารเชิงควอนตัมมีประโยชน์เท่านั้น

อันที่จริง เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะคาดการณ์ว่า teleportation อาจกลายเป็นวิธีมาตรฐานในการสื่อสารข้อมูลเชิงควอนตัมสักวันหนึ่ง อาจผ่านกระบวนการที่เรียกว่า entanglement distillation นี่คือกระบวนการที่แปลง e-bit จำนวนมากที่มีสัญญาณรบกวน (หรือไม่สมบูรณ์) ให้เป็น e-bit คุณภาพสูงจำนวนน้อยกว่า ซึ่งสามารถนำไปใช้กับ teleportation ที่ไม่มีสัญญาณรบกวนหรือเกือบไม่มีสัญญาณรบกวนได้ แนวคิดคือกระบวนการ entanglement distillation ไม่ละเอียดอ่อนเท่ากับการสื่อสารควอนตัมโดยตรง เราอาจยอมรับการสูญเสียได้ ตัวอย่างเช่น และถ้ากระบวนการไม่ได้ผล เราก็ลองใหม่ได้ ในทางตรงกันข้าม qubit จริงๆ ที่เราหวังจะสื่อสารอาจมีคุณค่ามากกว่ามาก

สุดท้าย ควรเข้าใจว่าแนวคิดเบื้องหลัง teleportation และวิธีที่มันทำงานนั้นเป็นหลักการพื้นฐานในข้อมูลและการคำนวณเชิงควอนตัม มันเป็นรากฐานที่แท้จริงของทฤษฎีข้อมูลเชิงควอนตัม และรูปแบบต่างๆ ของมันปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น Gate ควอนตัมสามารถสร้างได้ผ่านกระบวนการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่เรียกว่า quantum gate teleportation ซึ่งใช้ teleportation เพื่อใช้ การดำเนินการ กับ qubit แทนที่จะสื่อสาร qubit