Superdense coding

Superdense coding เป็นโปรโตคอลที่ในแง่หนึ่งบรรลุเป้าหมายที่เสริมกับ teleportation แทนที่จะช่วยให้ส่ง Qubit หนึ่งอันโดยใช้การสื่อสารสองบิตคลาสสิก (โดยเสีย e-bit ของการพัวพันหนึ่งหน่วย) มันช่วยให้ส่งข้อมูลคลาสสิกสองบิตโดยใช้การสื่อสาร Qubit หนึ่งอัน (และยังเสีย e-bit ของการพัวพันหนึ่งหน่วยเช่นกัน)

ถ้าจะอธิบายให้ละเอียดขึ้น เรามีผู้ส่ง (Alice) และผู้รับ (Bob) ที่แบ่งปัน e-bit ของการพัวพันหนึ่งหน่วย ตามข้อตกลงที่ใช้ในบทเรียน หมายความว่า Alice ถือ Qubit $\mathsf{A}$, Bob ถือ Qubit $\mathsf{B}$, และคู่ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ โดยรวมอยู่ในสถานะ $\vert\phi^+\rangle$ Alice ต้องการส่งสองบิตคลาสสิกให้ Bob ซึ่งเราจะแทนด้วย $c$ และ $d$ และเธอจะทำสำเร็จโดยส่ง Qubit หนึ่งอันให้เขา

อาจมองว่าความสำเร็จนี้น่าสนใจน้อยกว่าที่ teleportation ทำได้ การส่ง Qubit น่าจะยากกว่าการส่งบิตคลาสสิกมากในอนาคตอันใกล้ ดังนั้นการแลกการสื่อสารเชิงควอนตัมหนึ่ง Qubit กับการสื่อสารคลาสสิกสองบิต โดยเสียค่า e-bit อีกด้วย ดูเหมือนจะไม่คุ้มค่า อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่า superdense coding ไม่น่าสนใจ เพราะมันน่าสนใจมากทีเดียว

สอดคล้องกับธีมของบทเรียน เหตุผลหนึ่งที่ superdense coding น่าสนใจคือมันแสดงให้เห็นการใช้การพัวพันที่เป็นรูปธรรมและน่าทึ่ง (ในบริบทของทฤษฎีสารสนเทศ) ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีสารสนเทศเชิงควอนตัม ที่เรียกว่า Holevo's theorem บ่งชี้ว่าหากไม่ใช้สถานะพัวพันที่แบ่งปัน มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสื่อสารข้อมูลคลาสสิกมากกว่าหนึ่งบิตโดยส่ง Qubit เดียว (Holevo's theorem มีความทั่วไปมากกว่านี้ ถ้อยแถลงที่แม่นยำของทฤษฎีบทนี้ค่อนข้างเชิงเทคนิคและต้องอธิบายเพิ่ม แต่ข้อนี้เป็นผลที่ตามมาข้อหนึ่งของมัน) ดังนั้น ผ่าน superdense coding การพัวพันที่แบ่งปันกันไว้ช่วยให้การส่ง Qubit บรรจุข้อมูลคลาสสิกได้ เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า โดยปริยาย

โปรโตคอล

แผนภาพ Circuit ควอนตัมต่อไปนี้อธิบายโปรโตคอล superdense coding:

อธิบายเป็นคำพูด สิ่งที่ Alice ทำมีดังนี้:

1. ถ้า $d=1$, Alice ทำ $Z$ Gate กับ Qubit $\mathsf{A}$ ของเธอ (และถ้า $d=0$ เธอไม่ทำ)

2. ถ้า $c=1$, Alice ทำ $X$ Gate กับ Qubit $\mathsf{A}$ ของเธอ (และถ้า $c=0$ เธอไม่ทำ)

จากนั้น Alice ส่ง Qubit $\mathsf{A}$ ของเธอให้ Bob

สิ่งที่ Bob ทำเมื่อได้รับ Qubit $\mathsf{A}$ คือก่อนอื่นทำ controlled-NOT Gate โดย $\mathsf{A}$ เป็น control และ $\mathsf{B}$ เป็น target แล้วจึงใช้ Hadamard Gate กับ $\mathsf{A}$ จากนั้นเขาวัด $\mathsf{B}$ เพื่อได้ $c$ และวัด $\mathsf{A}$ เพื่อได้ $d$ โดยทั้งสองกรณีใช้การวัดฐานมาตรฐาน

การวิเคราะห์

แนวคิดเบื้องหลังโปรโตคอลนี้ค่อนข้างง่าย: โดยผลแล้ว Alice เป็นผู้เลือกว่าจะให้ Bell state ใดเป็นสถานะที่แบ่งปันกับ Bob เธอส่ง Qubit ของเธอให้ Bob และ Bob วัดเพื่อดูว่า Alice เลือก Bell state ใด

นั่นคือ ในตอนแรกพวกเขาแบ่งปัน $\vert\phi^+\rangle$ และขึ้นอยู่กับบิต $c$ และ $d,$ Alice อาจปล่อยสถานะนี้ไว้ตามเดิม หรือเปลี่ยนมันไปเป็น Bell state อื่นโดยใช้ $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ หรือ $XZ$ กับ Qubit $\mathsf{A}$ ของเธอ

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

การกระทำของ Bob มีผลต่อ Bell state ทั้งสี่ดังนี้:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้โดยตรง โดยคำนวณผลลัพธ์ของการดำเนินการของ Bob กับสถานะเหล่านี้ทีละอัน

ดังนั้น เมื่อ Bob ทำการวัด เขาสามารถระบุได้ว่า Alice เลือก Bell state ใด การยืนยันว่าโปรโตคอลทำงานถูกต้องเป็นเรื่องของการตรวจสอบแต่ละกรณี:

• ถ้า $cd = 00$, สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ เมื่อ Bob ได้รับ $\mathsf{A}$ คือ $\vert \phi^+\rangle$ เขาแปลงสถานะนี้เป็น $\vert 00\rangle$ และได้ $cd = 00$

• ถ้า $cd = 01$, สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ เมื่อ Bob ได้รับ $\mathsf{A}$ คือ $\vert \phi^-\rangle$ เขาแปลงสถานะนี้เป็น $\vert 01\rangle$ และได้ $cd = 01$

• ถ้า $cd = 10$, สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ เมื่อ Bob ได้รับ $\mathsf{A}$ คือ $\vert \psi^+\rangle$ เขาแปลงสถานะนี้เป็น $\vert 10\rangle$ และได้ $cd = 10$

• ถ้า $cd = 11$, สถานะของ $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ เมื่อ Bob ได้รับ $\mathsf{A}$ คือ $\vert \psi^-\rangle$ เขาแปลงสถานะนี้เป็น $-\vert 11\rangle$ และได้ $cd = 11$ (ปัจจัยเฟสลบหนึ่งไม่มีผลในที่นี้)