ข้อมูลแบบคลาสสิก

เหมือนกับที่เราทำในบทเรียนก่อนหน้า บทเรียนนี้จะเริ่มต้นด้วยการพูดถึงข้อมูลแบบคลาสสิก ความคล้ายคลึงทางคณิตศาสตร์ระหว่างคำอธิบายเชิงความน่าจะเป็นและเชิงควอนตัมยังคงมีอยู่เช่นเดิม และการทำความเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไรในบริบทของข้อมูลแบบคลาสสิกที่คุ้นเคยจะช่วยให้เข้าใจได้ว่าทำไมข้อมูลควอนตัมถึงถูกอธิบายในรูปแบบที่เป็นอยู่

สถานะคลาสสิกผ่านผลคูณคาร์ทีเซียน

เราจะเริ่มจากพื้นฐาน นั่นคือสถานะคลาสสิกของระบบหลายระบบ เพื่อความเรียบง่าย เราจะพูดถึงสองระบบก่อน แล้วจึงขยายไปยังกรณีที่มีมากกว่าสองระบบ

ให้ $\mathsf{X}$ เป็นระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกคือ $\Sigma,$ และให้ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่สองซึ่งมีเซตสถานะคลาสสิกคือ $\Gamma.$ สังเกตว่าเนื่องจากเราเรียกเซตเหล่านี้ว่า เซตสถานะคลาสสิก เราจึงสมมติว่า $\Sigma$ และ $\Gamma$ ต่างก็มีสมาชิกจำนวนจำกัดและไม่ว่างเปล่า อาจเป็นได้ว่า $\Sigma = \Gamma$ แต่ไม่จำเป็นเสมอไป และไม่ว่าจะเป็นแบบใด การใช้ชื่อต่างกันเพื่ออ้างถึงเซตเหล่านี้ก็ช่วยให้ชัดเจนขึ้น

ลองนึกภาพว่าระบบทั้งสอง $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ วางเคียงกัน โดย $\mathsf{X}$ อยู่ทางซ้ายและ $\mathsf{Y}$ อยู่ทางขวา ถ้าต้องการ เราสามารถมองสองระบบนี้เสมือนเป็นระบบเดียว ซึ่งเราจะแทนด้วย $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ หรือ $\mathsf{XY}$ ตามความถนัด คำถามที่น่าสนใจเกี่ยวกับระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ คือ "สถานะคลาสสิกของมันคืออะไร?"

คำตอบคือ เซตสถานะคลาสสิกของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ คือ ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ $\Sigma$ และ $\Gamma$ ซึ่งนิยามเป็น

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

พูดง่ายๆ ผลคูณคาร์ทีเซียนคือแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่จับภาพความคิดในการนำสมาชิกหนึ่งจากเซตหนึ่งมาคู่กับสมาชิกหนึ่งจากเซตที่สอง เสมือนกับว่ามันเป็นสมาชิกเดียวของเซตเดียว ในกรณีนี้ การกล่าวว่า $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ อยู่ในสถานะคลาสสิก $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ หมายความว่า $\mathsf{X}$ อยู่ในสถานะคลาสสิก $a\in\Sigma$ และ $\mathsf{Y}$ อยู่ในสถานะคลาสสิก $b\in\Gamma;$ และหาก $\mathsf{X}$ อยู่ในสถานะ $a\in\Sigma$ และ $\mathsf{Y}$ อยู่ในสถานะ $b\in\Gamma$ แล้ว สถานะคลาสสิกของระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะเป็น $(a,b)$

สำหรับมากกว่าสองระบบ สถานการณ์จะขยายออกไปในแบบที่เป็นธรรมชาติ หากกำหนดให้ $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ เป็นระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกเป็น $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n$ ตามลำดับ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ เซตสถานะคลาสสิกของ $n$-ทูเพิล $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n)$ เมื่อมองเป็นระบบรวมเดียว คือผลคูณคาร์ทีเซียน

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

แน่นอน เราสามารถตั้งชื่อระบบและเรียงลำดับได้ตามต้องการ โดยเฉพาะถ้ามี $n$ ระบบดังที่กล่าวข้างต้น เราอาจเลือกตั้งชื่อเป็น $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ และเรียงจากขวาไปซ้าย ทำให้ระบบรวมกลายเป็น $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ เมื่อใช้รูปแบบการตั้งชื่อเดียวกันสำหรับสถานะคลาสสิกและเซตสถานะคลาสสิกที่เกี่ยวข้อง เราอาจอ้างถึงสถานะคลาสสิก

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

ของระบบรวมนี้ จริงๆ แล้ว นี่คือรูปแบบการเรียงลำดับที่ Qiskit ใช้ในการตั้งชื่อหลาย Qubit เราจะกลับมาพูดถึงรูปแบบนี้และความเชื่อมโยงกับ Circuit ควอนตัมในบทเรียนถัดไป แต่เราจะเริ่มใช้มันตั้งแต่ตอนนี้เพื่อทำความคุ้นเคย

การเขียนสถานะคลาสสิกในรูป $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ ให้อยู่ในรูปแบบ สตริง $a_{n-1}\cdots a_0$ มักจะสะดวกกว่า โดยเฉพาะในกรณีทั่วไปที่เซตสถานะคลาสสิก $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ เป็นเซตของ สัญลักษณ์ หรือ อักขระ ในบริบทนี้ คำว่า ตัวอักษร (alphabet) มักถูกใช้เพื่ออ้างถึงเซตของสัญลักษณ์ที่ใช้ในการสร้างสตริง แต่นิยามทางคณิตศาสตร์ของตัวอักษรก็เหมือนกันกับนิยามของเซตสถานะคลาสสิกทุกประการ นั่นคือมันเป็นเซตที่มีสมาชิกจำนวนจำกัดและไม่ว่างเปล่า

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ เป็นบิต ทำให้เซตสถานะคลาสสิกของระบบเหล่านี้ทั้งหมดเหมือนกัน

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

จะมีสถานะคลาสสิก $2^{10} = 1024$ สถานะของระบบรวม $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0)$ ซึ่งเป็นสมาชิกของเซต

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

เมื่อเขียนในรูปสตริง สถานะคลาสสิกเหล่านี้จะมีหน้าตาดังนี้:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

สำหรับสถานะคลาสสิก $0000000110$ ตัวอย่างเช่น จะเห็นว่า $\mathsf{X}_1$ และ $\mathsf{X}_2$ อยู่ในสถานะ $1$ ในขณะที่ระบบอื่นๆ ทั้งหมดอยู่ในสถานะ $0$

สถานะความน่าจะเป็น

ระลึกจากบทเรียนก่อนหน้าว่า สถานะความน่าจะเป็น คือการกำหนดค่าความน่าจะเป็นให้กับสถานะคลาสสิกแต่ละสถานะของระบบ ดังนั้น สถานะความน่าจะเป็นของระบบหลายระบบเมื่อมองรวมเป็นระบบเดียว จะกำหนดค่าความน่าจะเป็นให้กับแต่ละสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสถานะคลาสสิกของระบบย่อยแต่ละระบบ

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นบิตทั้งคู่ ทำให้เซตสถานะคลาสสิกของพวกมันคือ $\Sigma = \{0,1\}$ และ $\Gamma = \{0,1\}$ ตามลำดับ ต่อไปนี้คือสถานะความน่าจะเป็นของคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

สถานะความน่าจะเป็นนี้คือสถานะที่ทั้ง $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นบิตสุ่ม โดยแต่ละตัวมีค่า $0$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ และมีค่า $1$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ แต่สถานะคลาสสิกของทั้งสองบิตจะตรงกันเสมอ นี่คือตัวอย่างของ ความสัมพันธ์ (correlation) ระหว่างระบบเหล่านี้

การเรียงลำดับเซตสถานะของผลคูณคาร์ทีเซียน

สถานะความน่าจะเป็นของระบบสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็น ดังที่กล่าวถึงในบทเรียนก่อนหน้า โดยเฉพาะ แต่ละรายการในเวกเตอร์แทนค่าความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะคลาสสิกต่างๆ และมีการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างรายการกับเซตสถานะคลาสสิกไว้แล้ว

การเลือกความสัมพันธ์ดังกล่าวหมายถึงการตัดสินใจเรียงลำดับสถานะคลาสสิก ซึ่งมักเป็นไปอย่างเป็นธรรมชาติหรือกำหนดโดยรูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ตัวอักษรไบนารี $\{0,1\}$ จะเรียงตามธรรมชาติโดยให้ $0$ อยู่ก่อนและ $1$ อยู่หลัง ดังนั้นรายการแรกในเวกเตอร์ความน่าจะเป็นที่แทนสถานะความน่าจะเป็นของบิตหนึ่งคือความน่าจะเป็นที่มันอยู่ในสถานะ $0$ และรายการที่สองคือความน่าจะเป็นที่มันอยู่ในสถานะ $1$

สิ่งเหล่านี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงในบริบทของระบบหลายระบบ แต่มีสิ่งที่ต้องตัดสินใจ เซตสถานะคลาสสิกของระบบหลายระบบรวมกัน เมื่อมองเป็นระบบเดียว คือผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสถานะคลาสสิกของระบบย่อยแต่ละระบบ ดังนั้นเราต้องตัดสินใจว่าจะเรียงลำดับสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสถานะคลาสสิกอย่างไร

รูปแบบง่ายๆ ที่เราใช้คือ เริ่มจากลำดับที่มีอยู่แล้วสำหรับเซตสถานะคลาสสิกของแต่ละระบบ แล้วเรียงสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน ตามลำดับตัวอักษร (alphabetically) อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายคือ รายการในแต่ละ $n$-ทูเพิล (หรือเทียบเท่า แต่ละสัญลักษณ์ในแต่ละสตริง) จะถูกมองว่ามีความสำคัญที่ ลดลงจากซ้ายไปขวา ตัวอย่างเช่น ตามรูปแบบนี้ ผลคูณคาร์ทีเซียน $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ จะถูกเรียงดังนี้:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

เมื่อ $n$-ทูเพิลถูกเขียนเป็นสตริงและเรียงลำดับในแบบนี้ เราจะเห็นรูปแบบที่คุ้นเคย เช่น $\{0,1\}\times\{0,1\}$ จะถูกเรียงเป็น $00, 01, 10, 11$ และเซต $\{0,1\}^{10}$ จะถูกเรียงตามที่เขียนไว้ก่อนหน้าในบทเรียน อีกตัวอย่างหนึ่ง ถ้ามองเซต $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ ในรูปแบบสตริง เราจะได้ตัวเลขสองหลักตั้งแต่ $00$ ถึง $99$ เรียงตามลำดับตัวเลข นี่ไม่ใช่ความบังเอิญ; ระบบเลขฐานสิบของเราใช้การเรียงลำดับตามตัวอักษรแบบนี้พอดี โดยความหมายของ ตามตัวอักษร ควรเข้าใจในความหมายกว้างๆ ที่รวมถึงตัวเลขด้วยไม่ใช่แค่ตัวอักษร

กลับมาที่ตัวอย่างของสองบิตจากข้างต้น สถานะความน่าจะเป็นที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้จึงถูกแทนด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็นต่อไปนี้ โดยมีการระบุ index อย่างชัดเจนเพื่อความชัดเจน

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

ความเป็นอิสระของสองระบบ

สถานะความน่าจะเป็นพิเศษชนิดหนึ่งของสองระบบคือสถานะที่ระบบทั้งสองเป็น อิสระ ต่อกัน โดยสัญชาตญาณ สองระบบเป็นอิสระต่อกันถ้าการรู้สถานะคลาสสิกของระบบใดระบบหนึ่งไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับอีกระบบหนึ่ง กล่าวคือ การรู้ว่าระบบหนึ่งอยู่ในสถานะคลาสสิกใดไม่ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับสถานะคลาสสิกของอีกระบบหนึ่งเลย

เพื่อนิยามแนวคิดนี้อย่างชัดเจน สมมติอีกครั้งว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกเป็น $\Sigma$ และ $\Gamma$ ตามลำดับ สำหรับสถานะความน่าจะเป็นที่กำหนดของระบบเหล่านี้ พวกมันจะถูกเรียกว่า อิสระ ถ้า

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

สำหรับทุกการเลือก $a\in\Sigma$ และ $b\in\Gamma$

เพื่อแสดงเงื่อนไขนี้ในรูปเวกเตอร์ความน่าจะเป็น สมมติว่าสถานะความน่าจะเป็นที่กำหนดของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ถูกอธิบายด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็น ซึ่งในสัญลักษณ์ Dirac เขียนเป็น

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

เงื่อนไข $(2)$ สำหรับความเป็นอิสระจะเทียบเท่ากับการมีอยู่ของเวกเตอร์ความน่าจะเป็นสอง vector

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

ซึ่งแทนค่าความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ตามลำดับ โดยที่

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

สำหรับทุก $a\in\Sigma$ และ $b\in\Gamma$

ตัวอย่างเช่น สถานะความน่าจะเป็นของคู่บิต $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่แทนด้วยเวกเตอร์

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

คือสถานะที่ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นอิสระต่อกัน โดยเฉพาะ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเป็นอิสระจะเป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ความน่าจะเป็น

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ความน่าจะเป็นสำหรับสถานะ $00$ ตรงกัน เราต้องการ $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}$ และนั่นก็เป็นจริง รายการอื่นๆ สามารถตรวจสอบได้ในลักษณะเดียวกัน

ในทางกลับกัน สถานะความน่าจะเป็น $(1)$ ซึ่งเราเขียนได้เป็น

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

ไม่ได้แทนความเป็นอิสระระหว่างระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ วิธีง่ายๆ ในการพิสูจน์มีดังต่อไปนี้

สมมติว่ามีเวกเตอร์ความน่าจะเป็น $\vert \phi\rangle$ และ $\vert \psi \rangle$ ดังในสมการ $(3)$ ข้างต้น ซึ่งเงื่อนไข $(4)$ เป็นจริงสำหรับทุกการเลือก $a$ และ $b$ จะต้องเป็นว่า

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

สิ่งนี้หมายความว่า $q_0 = 0$ หรือ $r_1 = 0$ เพราะถ้าทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ผลคูณ $q_0 r_1$ ก็จะไม่เป็นศูนย์ด้วย สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปว่า $q_0 r_0 = 0$ (ในกรณี $q_0 = 0$) หรือ $q_1 r_1 = 0$ (ในกรณี $r_1 = 0$) แต่เราเห็นว่าไม่มีสมการเหล่านั้นสามารถเป็นจริงได้ เพราะเราต้องมี $q_0 r_0 = 1/2$ และ $q_1 r_1 = 1/2$ ดังนั้น จึงไม่มีเวกเตอร์ $\vert\phi\rangle$ และ $\vert\psi\rangle$ ที่ตอบสนองคุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับความเป็นอิสระ

เมื่อนิยามความเป็นอิสระระหว่างสองระบบแล้ว เราสามารถนิยาม ความสัมพันธ์ (correlation) ได้: มันคือ การขาดความเป็นอิสระ ตัวอย่างเช่น เนื่องจากสองบิตในสถานะความน่าจะเป็นที่แทนด้วยเวกเตอร์ $(5)$ ไม่เป็นอิสระต่อกัน พวกมันจึงถูกเรียกว่ามีความสัมพันธ์กันตามนิยาม

ผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์

เงื่อนไขของความเป็นอิสระที่อธิบายไว้สามารถแสดงออกมาได้อย่างกระชับผ่านแนวคิดของ ผลคูณเทนเซอร์ แม้ว่าผลคูณเทนเซอร์จะเป็นแนวคิดทั่วไปมากและสามารถนิยามได้อย่างเป็นนามธรรมและนำไปใช้กับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์หลากหลาย เราสามารถใช้นิยามที่เรียบง่ายและเป็นรูปธรรมสำหรับกรณีที่กำลังพูดถึงได้

กำหนดให้สองเวกเตอร์

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

ผลคูณเทนเซอร์ $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ คือเวกเตอร์ที่นิยามเป็น

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

รายการของเวกเตอร์ใหม่นี้สอดคล้องกับสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน $\Sigma\times\Gamma$ ซึ่งถูกเขียนในรูปสตริงในสมการก่อนหน้า อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์ $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ นิยามโดยสมการ

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุก $a\in\Sigma$ และ $b\in\Gamma$

ตอนนี้เราสามารถแสดงเงื่อนไขของความเป็นอิสระใหม่ได้: สำหรับระบบรวม $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ ที่อยู่ในสถานะความน่าจะเป็นที่แทนด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็น $\vert \pi \rangle$ ระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ จะเป็นอิสระต่อกันถ้า $\vert\pi\rangle$ ได้มาจากการหาผลคูณเทนเซอร์

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

ของเวกเตอร์ความน่าจะเป็น $\vert \phi \rangle$ และ $\vert \psi \rangle$ ของระบบย่อย $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ตามลำดับ ในกรณีนี้ $\vert \pi \rangle$ จะถูกเรียกว่า สถานะผลิตภัณฑ์ (product state) หรือ เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ (product vector)

เราจะละเว้นสัญลักษณ์ $\otimes$ บ่อยครั้งเมื่อหาผลคูณเทนเซอร์ของ ket เช่นเขียน $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ แทน $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ รูปแบบนี้สะท้อนแนวคิดที่ว่าผลคูณเทนเซอร์ ในบริบทนี้ คือวิธีที่เป็นธรรมชาติหรือวิธีเริ่มต้นในการหาผลคูณของเวกเตอร์สองตัว แม้ว่าจะพบไม่บ่อย แต่บางครั้งก็ใช้สัญลักษณ์ $\vert \phi\otimes\psi\rangle$ เช่นกัน

เมื่อใช้รูปแบบตามตัวอักษรในการเรียงลำดับสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน เราจะได้ข้อกำหนดต่อไปนี้สำหรับผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์คอลัมน์สองตัว

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

ในฐานะหมายเหตุสำคัญ สังเกตสมการต่อไปนี้สำหรับผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

เราอาจเขียน $(a,b)$ เป็นคู่อันดับแทนสตริง ซึ่งจะได้ $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle$ อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องปกติกว่าที่จะละเว้นวงเล็บในกรณีนี้ และเขียนแทนว่า $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle$ สิ่งนี้เป็นเรื่องปกติในคณิตศาสตร์โดยทั่วไป วงเล็บที่ไม่ได้เพิ่มความชัดเจนหรือลดความคลุมเครือมักจะถูกละเว้น

ผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สองตัวมีคุณสมบัติสำคัญที่ว่ามันเป็น ไบลิเนียร์ (bilinear) ซึ่งหมายความว่ามันเป็นเชิงเส้นในแต่ละอาร์กิวเมนต์แยกกัน โดยสมมติว่าอาร์กิวเมนต์อื่นคงที่ คุณสมบัตินี้สามารถแสดงผ่านสมการเหล่านี้:

1. ความเป็นเชิงเส้นในอาร์กิวเมนต์แรก:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. ความเป็นเชิงเส้นในอาร์กิวเมนต์ที่สอง:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

เมื่อพิจารณาสมการที่สองในแต่ละคู่ของสมการเหล่านี้ เราจะเห็นว่าสเกลาร์ "ลอยอย่างอิสระ" ภายในผลคูณเทนเซอร์:

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

ดังนั้นจึงไม่มีความคลุมเครือในการเขียนเพียง $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle$ หรือในทางเลือก $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ หรือ $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle$ เพื่ออ้างถึงเวกเตอร์นี้

ความเป็นอิสระและผลคูณเทนเซอร์สำหรับสามระบบขึ้นไป

แนวคิดของความเป็นอิสระและผลคูณเทนเซอร์ขยายออกไปสู่สามระบบขึ้นไปได้โดยตรง ถ้า $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ เป็นระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกเป็น $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ ตามลำดับ สถานะความน่าจะเป็นของระบบรวม $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ จะเป็น สถานะผลิตภัณฑ์ ถ้าเวกเตอร์ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องอยู่ในรูป

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

สำหรับเวกเตอร์ความน่าจะเป็น $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ ที่อธิบายสถานะความน่าจะเป็นของ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ ที่นี่ นิยามของผลคูณเทนเซอร์ขยายออกไปในแบบที่เป็นธรรมชาติ: เวกเตอร์

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

นิยามโดยสมการ

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุก $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}$

อีกวิธีหนึ่งที่แตกต่างแต่เทียบเท่ากัน ในการนิยามผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปคือการนิยามแบบ recursive ในรูปผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สองตัว:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

คล้ายกับผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สองตัว ผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปเป็นเชิงเส้นในแต่ละอาร์กิวเมนต์แยกกัน โดยสมมติว่าอาร์กิวเมนต์อื่นทั้งหมดคงที่ ในกรณีนี้ผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปถูกเรียกว่า มัลติลิเนียร์ (multilinear)

เหมือนกับกรณีของสองระบบ เราสามารถกล่าวว่าระบบ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ เป็น อิสระ เมื่ออยู่ในสถานะผลิตภัณฑ์ แต่คำว่า อิสระร่วมกัน (mutually independent) จะแม่นยำกว่า มีแนวคิดอื่นๆ เกี่ยวกับความเป็นอิสระสำหรับสามระบบขึ้นไป เช่น ความเป็นอิสระแบบคู่ (pairwise independence) ที่ทั้งน่าสนใจและสำคัญ แต่ไม่ใช่ในบริบทของคอร์สนี้

ขยายการสังเกตก่อนหน้าเกี่ยวกับผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ และสถานะคลาสสิก $a_0,\ldots,a_{n-1}$ ใดๆ เราจะได้

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

การวัดสถานะความน่าจะเป็น

ตอนนี้เรามาต่อกันที่การวัดสถานะความน่าจะเป็นของระบบหลายระบบ การเลือกมองระบบหลายระบบรวมกันเป็นระบบเดียว ทำให้เราได้ข้อกำหนดทันทีว่าการวัดต้องทำงานอย่างไรสำหรับระบบหลายระบบ ถ้า ทุก ระบบถูกวัด

ตัวอย่างเช่น ถ้าสถานะความน่าจะเป็นของสองบิต $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ถูกอธิบายด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็น

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

ผลลัพธ์ $00$ ซึ่งหมายถึง $0$ จากการวัด $\mathsf{X}$ และ $0$ จากการวัด $\mathsf{Y}$ จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ และผลลัพธ์ $11$ ก็เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ เช่นกัน ในแต่ละกรณีเราจะอัปเดตคำอธิบายเวกเตอร์ความน่าจะเป็นของความรู้เราตามลำดับ เพื่อให้สถานะความน่าจะเป็นกลายเป็น $|00\rangle$ หรือ $|11\rangle$ ตามลำดับ

อย่างไรก็ตาม เราอาจเลือกที่จะวัดไม่ใช่ ทุก ระบบ แต่วัดเพียงบางระบบเท่านั้น สิ่งนี้จะให้ผลลัพธ์การวัดสำหรับแต่ละระบบที่ถูกวัด และยังจะส่งผล (โดยทั่วไป) ต่อความรู้ของเราเกี่ยวกับระบบที่เหลือที่เราไม่ได้วัด

เพื่ออธิบายวิธีการทำงานนี้ เราจะมุ่งเน้นที่กรณีของสองระบบ โดยระบบหนึ่งถูกวัด สถานการณ์ทั่วไปกว่านี้ ซึ่งส่วนย่อยที่เหมาะสมของสามระบบขึ้นไปถูกวัด จะลดรูปลงสู่กรณีของสองระบบได้เมื่อเรามองระบบที่ถูกวัดรวมกันเสมือนเป็นระบบเดียว และระบบที่ไม่ถูกวัดเสมือนเป็นอีกระบบเดียว

ให้ชัดเจนยิ่งขึ้น สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่มีเซตสถานะคลาสสิกเป็น $\Sigma$ และ $\Gamma$ ตามลำดับ และระบบทั้งสองรวมกันอยู่ในสถานะความน่าจะเป็นบางสถานะ เราจะพิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราวัดเฉพาะ $\mathsf{X}$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{Y}$ กรณีที่วัดเฉพาะ $\mathsf{Y}$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{X}$ จะจัดการในลักษณะสมมาตร

ก่อนอื่น เราทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะสังเกตเห็นสถานะคลาสสิกเฉพาะ $a\in\Sigma$ เมื่อวัดเฉพาะ $\mathsf{X}$ จะต้องสอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่จะได้ภายใต้สมมติฐานว่า $\mathsf{Y}$ ถูกวัดด้วย นั่นคือ ต้องมี

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

นี่คือสูตรสำหรับสถานะความน่าจะเป็นที่ลดรูป (หรือ marginal) ของ $\mathsf{X}$ เพียงอย่างเดียว

สูตรนี้สมเหตุสมผลในระดับสัญชาตญาณ ในแง่ที่ว่าต้องเกิดสิ่งแปลกประหลาดมากหากมันผิด ถ้ามันผิด นั่นหมายความว่าการวัด $\mathsf{Y}$ อาจส่งผลต่อความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ต่างๆ ของการวัด $\mathsf{X}$ ได้ โดยไม่ขึ้นกับผลลัพธ์จริงของการวัด $\mathsf{Y}$ ถ้า $\mathsf{Y}$ อยู่ในตำแหน่งที่ห่างไกล เช่น ในกาแล็กซีอื่น สิ่งนี้จะทำให้เกิดการส่งสัญญาณที่เร็วกว่าแสงได้ ซึ่งเราปฏิเสธตามความเข้าใจของเราเกี่ยวกับฟิสิกส์ อีกวิธีหนึ่งในการเข้าใจสิ่งนี้มาจากการตีความความน่าจะเป็นว่าสะท้อนถึงระดับความเชื่อ ข้อเท็จจริงที่ว่าคนอื่นอาจตัดสินใจมองที่ $\mathsf{Y}$ ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ ได้ ดังนั้นโดยไม่มีข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับสิ่งที่พวกเขาทำหรือไม่ทำ ความเชื่อของเราเกี่ยวกับสถานะของ $\mathsf{X}$ ไม่ควรเปลี่ยนแปลงเป็นผลจากสิ่งนั้น

ตอนนี้ ภายใต้สมมติฐานที่ว่าเฉพาะ $\mathsf{X}$ ถูกวัดและ $\mathsf{Y}$ ไม่ถูกวัด ยังอาจมีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$ ด้วยเหตุนี้ แทนที่จะอัปเดตคำอธิบายสถานะความน่าจะเป็นของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ เป็น $\vert ab\rangle$ สำหรับ $a\in\Sigma$ และ $b\in\Gamma$ บางค่า เราต้องอัปเดตคำอธิบายให้สะท้อนความไม่แน่นอนเกี่ยวกับ $\mathsf{Y}$ อย่างถูกต้อง

สูตร ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (conditional probability) ต่อไปนี้สะท้อนความไม่แน่นอนนี้

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

ที่นี่ นิพจน์ $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ แทนความน่าจะเป็นที่ $\mathsf{Y} = b$ ภายใต้เงื่อนไขที่ (หรือ กำหนดให้) $\mathsf{X} = a$ ในทางเทคนิค นิพจน์นี้สมเหตุสมผลเฉพาะเมื่อ $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ ไม่เป็นศูนย์ เพราะถ้า $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0$ เราจะหารด้วยศูนย์และได้รูปแบบไม่ชัดเจน $\frac{0}{0}$ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ปัญหา เพราะถ้าความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับ $a$ เป็นศูนย์ เราจะไม่มีวันได้ $a$ เป็นผลลัพธ์ของการวัด $\mathsf{X}$ ดังนั้นเราไม่ต้องกังวลกับกรณีนี้

เพื่อแสดงสูตรเหล่านี้ในรูปเวกเตอร์ความน่าจะเป็น พิจารณาเวกเตอร์ความน่าจะเป็น $\vert \pi \rangle$ ที่อธิบายสถานะความน่าจะเป็นรวมของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

การวัด $\mathsf{X}$ เพียงอย่างเดียวให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละ $a\in\Sigma$ ด้วยความน่าจะเป็น

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

เวกเตอร์ที่แทนสถานะความน่าจะเป็นของ $\mathsf{X}$ เพียงอย่างเดียวจึงเป็น

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

เมื่อได้ผลลัพธ์เฉพาะ $a\in\Sigma$ จากการวัด $\mathsf{X}$ สถานะความน่าจะเป็นของ $\mathsf{Y}$ จะถูกอัปเดตตามสูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ทำให้ถูกแทนด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็นนี้:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

ในกรณีที่การวัด $\mathsf{X}$ ให้ผลลัพธ์เป็นสถานะคลาสสิก $a$ เราจึงอัปเดตคำอธิบายสถานะความน่าจะเป็นของระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ เป็น $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle$

วิธีหนึ่งในการคิดเกี่ยวกับนิยามของ $\vert\psi_a\rangle$ นี้คือการมองมันเป็นการ ทำให้เป็น normalized ของเวกเตอร์ $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle$ โดยเราหารด้วยผลรวมของรายการในเวกเตอร์นี้เพื่อให้ได้เวกเตอร์ความน่าจะเป็น การทำให้เป็น normalized นี้คำนึงถึงการมีเงื่อนไขบนเหตุการณ์ที่การวัด $\mathsf{X}$ ให้ผลลัพธ์เป็น $a$

สำหรับตัวอย่างเฉพาะ สมมติว่าเซตสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ คือ $\Sigma = \{0,1\}$ เซตสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$ คือ $\Gamma = \{1,2,3\}$ และสถานะความน่าจะเป็นของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ คือ

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

เป้าหมายของเราคือการหาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองแบบ ($0$ และ $1$) และคำนวณว่าสถานะความน่าจะเป็นของ $\mathsf{Y}$ จะเป็นอะไรสำหรับผลลัพธ์ทั้งสอง โดยสมมติว่าระบบ $\mathsf{X}$ ถูกวัด

โดยใช้ความเป็นไบลิเนียร์ของผลคูณเทนเซอร์ และโดยเฉพาะข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นเชิงเส้นใน อาร์กิวเมนต์ที่สอง เราสามารถเขียนเวกเตอร์ $\vert \pi \rangle$ ใหม่ดังต่อไปนี้:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

กล่าวเป็นคำพูด สิ่งที่เราทำคือการแยกเวกเตอร์ฐานมาตรฐานที่แตกต่างกันสำหรับระบบแรก (นั่นคือ ระบบที่ถูกวัด) โดยนำแต่ละตัวไปคูณเทนเซอร์กับการผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐานมาตรฐานสำหรับระบบที่สอง ที่ได้จากการเลือกรายการของเวกเตอร์ดั้งเดิมที่สอดคล้องกับสถานะคลาสสิกที่เกี่ยวข้องของระบบแรก การคิดสักครู่จะเผยให้เห็นว่าสิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ ไม่ว่าเราจะเริ่มต้นด้วยเวกเตอร์ใด

เมื่อแสดงเวกเตอร์ความน่าจะเป็นของเราในวิธีนี้แล้ว ผลของการวัดระบบแรกจะวิเคราะห์ได้ง่าย ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั้งสองสามารถหาได้โดยการรวมความน่าจะเป็นในวงเล็บ

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

ความน่าจะเป็นเหล่านี้รวมกันได้หนึ่ง ดังที่คาดไว้ และนี่เป็นการตรวจสอบที่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณของเรา

และตอนนี้ สถานะความน่าจะเป็นของ $\mathsf{Y}$ ภายใต้เงื่อนไขของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละแบบ สามารถหาได้โดยการทำให้ normalized ของเวกเตอร์ในวงเล็บ นั่นคือ เราหารเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องที่เพิ่งคำนวณ เพื่อให้กลายเป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็น

ดังนั้น ภายใต้เงื่อนไขที่ $\mathsf{X}$ เป็น $0$ สถานะความน่าจะเป็นของ $\mathsf{Y}$ กลายเป็น

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

และภายใต้เงื่อนไขที่การวัด $\mathsf{X}$ ได้ค่า $1$ สถานะความน่าจะเป็นของ $\mathsf{Y}$ กลายเป็น

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

การดำเนินการบนสถานะความน่าจะเป็น

เพื่อสรุปการอภิปรายเรื่องข้อมูลแบบคลาสสิกสำหรับระบบหลายระบบ เราจะพิจารณา การดำเนินการ บนระบบหลายระบบในสถานะความน่าจะเป็น ตามแนวคิดเดิม เราสามารถมองระบบหลายระบบรวมกันเป็นระบบรวมเดียว แล้วมองย้อนกลับไปที่บทเรียนก่อนหน้าเพื่อดูว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไร

กลับมาที่การตั้งค่าทั่วไปที่เรามีสองระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ลองพิจารณาการดำเนินการแบบคลาสสิกบนระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จากบทเรียนก่อนหน้าและการอภิปรายข้างต้น เราสรุปได้ว่าการดำเนินการใดๆ ดังกล่าวถูกแทนด้วยเมทริกซ์สโตแคสติกที่มี index ของแถวและคอลัมน์ตาม Cartesian product $\Sigma\times\Gamma$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นบิต และพิจารณาการดำเนินการที่มีคำอธิบายดังต่อไปนี้

การดำเนินการ

ถ้า $\mathsf{X} = 1$ ให้ทำการดำเนินการ NOT บน $\mathsf{Y}$
มิฉะนั้นไม่ทำอะไร

นี่คือการดำเนินการเชิงกำหนด (deterministic) ที่รู้จักกันในชื่อ controlled-NOT โดย $\mathsf{X}$ คือ บิตควบคุม (control bit) ที่กำหนดว่าจะใช้การดำเนินการ NOT กับ บิตเป้าหมาย (target bit) $\mathsf{Y}$ หรือไม่ นี่คือการแทนด้วยเมทริกซ์ของการดำเนินการนี้:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

การกระทำของมันบนสถานะฐานมาตรฐานเป็นดังนี้

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

ถ้าเราสลับบทบาทของ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ โดยให้ $\mathsf{Y}$ เป็นบิตควบคุมและ $\mathsf{X}$ เป็นบิตเป้าหมาย การแทนด้วยเมทริกซ์ของการดำเนินการจะกลายเป็น

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

และการกระทำของมันบนสถานะฐานมาตรฐานจะเป็นดังนี้:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการดำเนินการที่มีคำอธิบายนี้:

การดำเนินการ

ทำการดำเนินการหนึ่งในสองต่อไปนี้ แต่ละแบบด้วยความน่าจะเป็น $1/2:$

1. ตั้งค่า $\mathsf{Y}$ ให้เท่ากับ $\mathsf{X}$
2. ตั้งค่า $\mathsf{X}$ ให้เท่ากับ $\mathsf{Y}$

การแทนด้วยเมทริกซ์ของการดำเนินการนี้เป็นดังต่อไปนี้:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

การกระทำของการดำเนินการนี้บนเวกเตอร์ฐานมาตรฐานเป็นดังนี้:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

ในตัวอย่างเหล่านี้ เราเพียงแค่มองสองระบบรวมกันเป็นระบบเดียวและดำเนินการตามที่อธิบายในบทเรียนก่อนหน้า

สิ่งเดียวกันนี้สามารถทำได้สำหรับจำนวนระบบใดๆ ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีสามบิต และเราเพิ่มค่าสามบิตนั้นโดย modulo $8$ หมายความว่าเราคิดว่าสามบิตเข้ารหัสตัวเลขระหว่าง $0$ ถึง $7$ ด้วยสัญลักษณ์ไบนารี บวก $1$ แล้วหารเอาเศษด้วย $8$ วิธีหนึ่งในการแสดงการดำเนินการนี้คือ:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงมันคือ

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

โดยสมมติว่าเราตกลงกันว่าตัวเลขตั้งแต่ $0$ ถึง $7$ ภายใน ket หมายถึงการเข้ารหัสไบนารีสามบิตของตัวเลขเหล่านั้น ตัวเลือกที่สามคือการแสดงการดำเนินการนี้เป็นเมทริกซ์

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

การดำเนินการอิสระ

ทีนี้สมมติว่ามีระบบหลายระบบและเรา ทำการดำเนินการอิสระ บนระบบต่างๆ แยกกัน

ตัวอย่างเช่น ในการตั้งค่าทั่วไปของสองระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ที่มีเซตสถานะคลาสสิกเป็น $\Sigma$ และ $\Gamma$ ตามลำดับ สมมติว่าเราทำการดำเนินการหนึ่งบน $\mathsf{X}$ และอีกการดำเนินการหนึ่งบน $\mathsf{Y}$ อย่างอิสระกัน ดังที่เราทราบจากบทเรียนก่อนหน้า การดำเนินการเหล่านี้ถูกแทนด้วยเมทริกซ์สโตแคสติก และให้แน่ชัด สมมติว่าการดำเนินการบน $\mathsf{X}$ ถูกแทนด้วยเมทริกซ์ $M$ และการดำเนินการบน $\mathsf{Y}$ ถูกแทนด้วยเมทริกซ์ $N$ ดังนั้น แถวและคอลัมน์ของ $M$ มี index ที่อยู่ในความสัมพันธ์กับสมาชิกของ $\Sigma$ และในทำนองเดียวกัน แถวและคอลัมน์ของ $N$ สอดคล้องกับสมาชิกของ $\Gamma$

คำถามที่เป็นธรรมชาติที่ต้องถามคือ: ถ้าเรามอง $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ รวมกันเป็นระบบรวมเดียว $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ เมทริกซ์ที่แทนการกระทำรวมของการดำเนินการทั้งสองบนระบบรวมนี้คืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ เราต้องแนะนำผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์ก่อน ซึ่งคล้ายกับผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์และนิยามในลักษณะเดียวกัน

ผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์

ผลคูณเทนเซอร์ $M\otimes N$ ของเมทริกซ์

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

และ

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

คือเมทริกซ์

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

อีกทางหนึ่ง ผลคูณเทนเซอร์ของ $M$ และ $N$ นิยามโดยสมการ

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุกการเลือก $a,b\in\Sigma$ และ $c,d\in\Gamma$

อีกวิธีหนึ่งที่เทียบเท่ากันในการอธิบาย $M\otimes N$ คือมันเป็นเมทริกซ์เดียวที่ตอบสนองสมการ

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

สำหรับทุกการเลือกเวกเตอร์ $\vert\phi\rangle$ และ $\vert\psi\rangle$ โดยสมมติว่า index ของ $\vert\phi\rangle$ สอดคล้องกับสมาชิกของ $\Sigma$ และ index ของ $\vert\psi\rangle$ สอดคล้องกับ $\Gamma$

ตามรูปแบบที่อธิบายไว้ก่อนหน้าในการเรียงลำดับสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน เราสามารถเขียนผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์สองตัวอย่างชัดเจนดังนี้:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

ผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์สามตัวขึ้นไปนิยามในลักษณะเดียวกัน ถ้า $M_0, \ldots, M_{n-1}$ เป็นเมทริกซ์ที่มี index สอดคล้องกับเซตสถานะคลาสสิก $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ ผลคูณเทนเซอร์ $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ นิยามโดยเงื่อนไขที่

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

สำหรับทุกการเลือกสถานะคลาสสิก $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}$ อีกทางหนึ่ง ผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์สามตัวขึ้นไปสามารถนิยามแบบ recursive ในรูปผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์สองตัว คล้ายกับที่เราสังเกตสำหรับเวกเตอร์

ผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์บางครั้งถูกเรียกว่า คูณได้ (multiplicative) เพราะสมการ

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

เป็นจริงเสมอ สำหรับทุกการเลือกเมทริกซ์ $M_0,\ldots,M_{n-1}$ และ $N_0\ldots,N_{n-1}$ โดยที่ผลคูณ $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ มีความหมาย

การดำเนินการอิสระ (ต่อ)

ตอนนี้เราสามารถตอบคำถามที่ถามไว้ก่อนหน้าได้: ถ้า $M$ เป็นการดำเนินการความน่าจะเป็นบน $\mathsf{X}$ และ $N$ เป็นการดำเนินการความน่าจะเป็นบน $\mathsf{Y}$ และการดำเนินการทั้งสองถูกทำอย่างอิสระกัน การดำเนินการผลลัพธ์บนระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ คือผลคูณเทนเซอร์ $M\otimes N$

ดังนั้น ทั้งสำหรับสถานะความน่าจะเป็นและการดำเนินการความน่าจะเป็น ผลคูณเทนเซอร์แทนความเป็นอิสระ ถ้ามีสองระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ที่อยู่ในสถานะความน่าจะเป็น $\vert\phi\rangle$ และ $\vert\psi\rangle$ อย่างอิสระกัน ระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะอยู่ในสถานะความน่าจะเป็น $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ และถ้าเราใช้การดำเนินการความน่าจะเป็น $M$ และ $N$ กับสองระบบอย่างอิสระกัน การกระทำผลลัพธ์บนระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะถูกอธิบายโดยการดำเนินการ $M\otimes N$

ลองดูตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งระลึกถึงการดำเนินการความน่าจะเป็นบนบิตเดียวจากบทเรียนก่อนหน้า: ถ้าสถานะคลาสสิกของบิตคือ $0$ บิตนั้นจะถูกปล่อยทิ้งไว้ และถ้าสถานะคลาสสิกของบิตคือ $1$ บิตนั้นจะถูกพลิกเป็น $0$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ เราสังเกตว่าการดำเนินการนี้ถูกแทนด้วยเมทริกซ์

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

ถ้าการดำเนินการนี้ถูกทำกับบิต $\mathsf{X}$ และการดำเนินการ NOT (อย่างอิสระกัน) ถูกทำกับบิตที่สอง $\mathsf{Y}$ การดำเนินการรวมบนระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะมีการแทนด้วยเมทริกซ์

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

จากการตรวจสอบ เราเห็นว่านี่คือเมทริกซ์สโตแคสติก นี่จะเป็นจริงเสมอ: ผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์สโตแคสติกสองตัวขึ้นไปเป็นสโตแคสติกเสมอ

สถานการณ์ที่พบบ่อยคือเมื่อมีการดำเนินการหนึ่งกระทำบนระบบหนึ่งและ ไม่มีอะไรทำ กับอีกระบบหนึ่ง ในกรณีดังกล่าว จะใช้หลักการเดียวกันทุกประการ โดยจำไว้ว่า การไม่ทำอะไร ถูกแทนด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ ตัวอย่างเช่น การรีเซ็ตบิต $\mathsf{X}$ ให้เป็นสถานะ $0$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{Y}$ ให้การดำเนินการความน่าจะเป็น (และในความเป็นจริงเชิงกำหนด) บน $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่ถูกแทนด้วยเมทริกซ์

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$