ข้อมูลเชิงควอนตัม

ตอนนี้เราพร้อมที่จะก้าวไปสู่ข้อมูลเชิงควอนตัมในบริบทของระบบหลายระบบแล้ว เช่นเดียวกับบทเรียนก่อนหน้าเกี่ยวกับระบบเดี่ยว คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของข้อมูลเชิงควอนตัมสำหรับระบบหลายระบบมีความคล้ายคลึงกับกรณีความน่าจะเป็นอย่างมาก และใช้แนวคิดและเทคนิคที่คล้ายคลึงกัน

สถานะควอนตัม

ระบบหลายระบบสามารถมองรวมกันเป็นระบบเดียวที่ประกอบกันได้ เราสังเกตสิ่งนี้แล้วในกรณีความน่าจะเป็น และกรณีควอนตัมก็มีลักษณะที่คล้ายกัน สถานะควอนตัมของระบบหลายระบบจึงแสดงด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีรายการเป็นจำนวนเชิงซ้อนและมีนอร์มแบบยุคลิดเท่ากับ $1,$ เช่นเดียวกับสถานะควอนตัมของระบบเดี่ยว ในกรณีของระบบหลายระบบ รายการของเวกเตอร์เหล่านี้สอดคล้องกับ ผลคูณคาร์ทีเซียน ของชุดสถานะคลาสสิกที่เกี่ยวข้องกับระบบแต่ละระบบ เพราะนั่นคือชุดสถานะคลาสสิกของระบบรวม

ตัวอย่างเช่น ถ้า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็น Qubit ชุดสถานะคลาสสิกของคู่ Qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, ที่มองรวมกันเป็นระบบเดียว คือผลคูณคาร์ทีเซียน $\{0,1\}\times\{0,1\}$. โดยการแทนคู่ค่าไบนารีด้วยสตริงไบนารีความยาวสอง เราเชื่อมโยงชุดผลคูณคาร์ทีเซียนนี้กับชุด $\{00,01,10,11\}$. ดังนั้น เวกเตอร์ต่อไปนี้ล้วนเป็นตัวอย่างของเวกเตอร์สถานะควอนตัมของคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

มีรูปแบบต่าง ๆ ในการเขียนเวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบหลายระบบ และเราสามารถเลือกรูปแบบที่เหมาะสมกับความต้องการได้ นี่คือตัวอย่างบางส่วนสำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัมแรกด้านบน

1. เราอาจใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (สำหรับสถานะคลาสสิก $a$ และ $b$ ใด ๆ) เพื่อเขียนแทนว่า

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. เราอาจเลือกเขียนสัญลักษณ์ผลคูณเทนเซอร์อย่างชัดเจนแบบนี้:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. เราอาจใส่ดัชนีล่างให้ ket เพื่อระบุว่าสอดคล้องกับระบบใด แบบนี้:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

แน่นอนว่าเราสามารถเขียนเวกเตอร์สถานะควอนตัมอย่างชัดเจนในรูปแบบเวกเตอร์คอลัมน์ได้:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

ขึ้นอยู่กับบริบทที่ใช้ รูปแบบใดรูปแบบหนึ่งอาจเหมาะสมกว่า — แต่ทั้งหมดนั้นสมมูลกันในแง่ที่อธิบายเวกเตอร์เดียวกัน

ผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สถานะควอนตัม

เช่นเดียวกับกรณีของเวกเตอร์ความน่าจะเป็น ผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สถานะควอนตัมก็เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมเช่นกัน — และยังแสดงถึง ความเป็นอิสระ ระหว่างระบบอีกด้วย

โดยละเอียด และเริ่มด้วยกรณีสองระบบ สมมติว่า $\vert \phi \rangle$ คือเวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบ $\mathsf{X}$ และ $\vert \psi \rangle$ คือเวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบ $\mathsf{Y}$. ผลคูณเทนเซอร์ $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$, ซึ่งอาจเขียนแทนเป็น $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ หรือ $\vert \phi \otimes \psi \rangle$, จึงเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. เราเรียกสถานะในรูปแบบนี้ว่า สถานะผลคูณ

โดยสัญชาตญาณ เมื่อคู่ระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ อยู่ในสถานะผลคูณ $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ เราอาจตีความได้ว่า $\mathsf{X}$ อยู่ในสถานะควอนตัม $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ อยู่ในสถานะควอนตัม $\vert \psi \rangle,$ และสถานะของทั้งสองระบบไม่มีความสัมพันธ์กันเลย

ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์ผลคูณเทนเซอร์ $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมนั้นสอดคล้องกับความที่นอร์มแบบยุคลิด คูณกัน ตามผลคูณเทนเซอร์:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

เนื่องจาก $\vert \phi \rangle$ และ $\vert \psi \rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัม เราจึงมี $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ และ $\|\vert \psi \rangle\| = 1$, ดังนั้น $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1$, แสดงว่า $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมด้วย

สิ่งนี้สามารถขยายไปยังมากกว่าสองระบบ ถ้า $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$, แล้ว $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ คือเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่แสดงถึง สถานะผลคูณ ของระบบรวม $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$. เราทราบอีกครั้งว่านี่เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมเพราะ

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

สถานะพันกัน

ไม่ใช่เวกเตอร์สถานะควอนตัมทุกอันของระบบหลายระบบจะเป็นสถานะผลคูณ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

ของ Qubit สองอันไม่ใช่สถานะผลคูณ ในการพิสูจน์เรื่องนี้ เราอาจทำตามแนวทางเดิมที่ใช้ในส่วนก่อนหน้าสำหรับสถานะความน่าจะเป็น นั่นคือ ถ้า $(1)$ เป็นสถานะผลคูณ จะต้องมีเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\phi\rangle$ และ $\vert\psi\rangle$ ที่ทำให้

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

แต่แล้วจะต้องเป็นกรณีที่

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

ซึ่งหมายความว่า $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ หรือ $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (หรือทั้งคู่) สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

และ

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ต่างก็ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น เวกเตอร์สถานะควอนตัม $(1)$ แสดงถึง ความสัมพันธ์ ระหว่างสองระบบ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเราเรียกว่าระบบ พันกัน

สังเกตว่าค่าเฉพาะ $1/\sqrt{2}$ ไม่ได้สำคัญต่อการให้เหตุผลนี้ — สิ่งสำคัญเพียงอย่างเดียวคือค่านี้ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น สถานะควอนตัม

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

ก็ไม่ใช่สถานะผลคูณเช่นกัน ด้วยเหตุผลเดียวกัน

การพันกันเป็นคุณลักษณะสำคัญของข้อมูลเชิงควอนตัมที่จะอภิปรายในรายละเอียดมากขึ้นในบทเรียนต่อมา การพันกันอาจซับซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสถานะควอนตัมที่มีสัญญาณรบกวนซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น (ซึ่งอภิปรายใน General formulation of quantum information ซึ่งเป็นคอร์สที่สามในซีรีส์ Understanding Quantum Information and Computation) อย่างไรก็ตาม สำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม การพันกันสมมูลกับความสัมพันธ์: เวกเตอร์สถานะควอนตัมใด ๆ ที่ไม่ใช่สถานะผลคูณแสดงถึงสถานะที่พันกัน

ในทางตรงกันข้าม เวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

เป็นตัวอย่างของสถานะผลคูณ

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

ดังนั้น สถานะนี้จึงไม่พันกัน

สถานะ Bell

ต่อไปเราจะดูตัวอย่างสำคัญบางส่วนของสถานะ Qubit หลายตัว โดยเริ่มด้วย สถานะ Bell สถานะเหล่านี้คือสถานะ Qubit สองตัวทั้งสี่ต่อไปนี้:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

สถานะ Bell ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ John Bell สังเกตว่าการโต้แย้งแบบเดิมที่แสดงให้เห็นว่า $\vert\phi^+\rangle$ ไม่ใช่สถานะผลคูณ แสดงให้เห็นด้วยว่าสถานะ Bell อื่น ๆ ก็ไม่ใช่สถานะผลคูณเช่นกัน: สถานะ Bell ทั้งสี่แสดงถึงการพันกันระหว่าง Qubit สองตัว

ชุดของสถานะ Bell ทั้งสี่

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

เรียกว่า Bell basis ตามชื่อ นี่คือฐาน เวกเตอร์สถานะควอนตัมของ Qubit สองตัวใด ๆ หรือแม้แต่เวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีรายการสอดคล้องกับสถานะคลาสสิกสี่สถานะของสองบิต สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของสถานะ Bell ทั้งสี่ได้ ตัวอย่างเช่น

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

สถานะ GHZ และ W

ต่อไปเราจะพิจารณาตัวอย่างที่น่าสนใจสองตัวอย่างของสถานะของ Qubit สามตัว ตัวอย่างแรกคือ สถานะ GHZ (ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ Daniel Greenberger, Michael Horne และ Anton Zeilinger ผู้ศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของมันเป็นครั้งแรก):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

ตัวอย่างที่สองคือสิ่งที่เรียกว่าสถานะ W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

สถานะทั้งสองนี้ไม่ใช่สถานะผลคูณ หมายความว่าไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สถานะควอนตัม Qubit สามตัวได้ เราจะตรวจสอบสถานะทั้งสองนี้ในภายหลังเมื่อเราอภิปรายการวัดบางส่วนของสถานะควอนตัมของระบบหลายระบบ

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างสถานะควอนตัมของระบบหลายระบบที่เราเห็นมาจนถึงตอนนี้เป็นสถานะของ Qubit สองหรือสามตัว แต่เราสามารถพิจารณาสถานะควอนตัมของระบบหลายระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิกต่างกันได้เช่นกัน

ตัวอย่างเช่น นี่คือสถานะควอนตัมของสามระบบ $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ และ $\mathsf{Z},$ โดยที่ชุดสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ คืออักษรไบนารี (ดังนั้น $\mathsf{X}$ เป็น Qubit) และชุดสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$ และ $\mathsf{Z}$ คือ $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

และนี่คือตัวอย่างสถานะควอนตัมของสามระบบ $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ และ $\mathsf{Z},$ ที่ทั้งหมดมีชุดสถานะคลาสสิกเหมือนกันคือ $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

ระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\{0,1,2\}$ มักเรียกว่า ทริต หรือ (สมมติว่าสามารถอยู่ในสถานะควอนตัมได้) qutrits คำว่า qudit หมายถึงระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\{0,\ldots,d-1\}$ สำหรับค่า $d$ ที่เลือกมา

การวัดสถานะควอนตัม

การวัดบนฐานมาตรฐานของสถานะควอนตัมของระบบเดี่ยวได้อภิปรายไปในบทเรียนก่อนหน้า: ถ้าระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\Sigma$ อยู่ในสถานะควอนตัมที่แสดงด้วยเวกเตอร์ $\vert \psi \rangle,$ และระบบนั้นถูกวัด (ด้วยการวัดบนฐานมาตรฐาน) สถานะคลาสสิกแต่ละค่า $a\in\Sigma$ จะปรากฏด้วยความน่าจะเป็น $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ สิ่งนี้บอกเราว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรามีสถานะควอนตัมของระบบหลายระบบและเลือกวัดระบบรวมทั้งหมด ซึ่งเทียบเท่ากับการวัด ทุก ระบบ

เพื่อระบุสิ่งนี้อย่างชัดเจน สมมติว่า $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ คือระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ ตามลำดับ เราสามารถมองว่า $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ รวมกันเป็นระบบเดียวที่มีชุดสถานะคลาสสิกเป็นผลคูณคาร์ทีเซียน $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ ถ้าสถานะควอนตัมของระบบนี้แสดงด้วยเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle,$ และวัดทุกระบบ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละค่า $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ จะปรากฏด้วยความน่าจะเป็น $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

ตัวอย่างเช่น ถ้าระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ อยู่ร่วมกันในสถานะควอนตัม

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

การวัดทั้งสองระบบด้วยการวัดบนฐานมาตรฐานจะให้ผลลัพธ์ $(0,\heartsuit)$ ด้วยความน่าจะเป็น $9/25$ และผลลัพธ์ $(1,\spadesuit)$ ด้วยความน่าจะเป็น $16/25$

การวัดบางส่วน

ตอนนี้เราจะพิจารณาสถานการณ์ที่เรามีระบบหลายระบบในสถานะควอนตัมหนึ่ง และเราวัดเฉพาะบางส่วนของระบบเหล่านั้น เช่นเดิม เราจะเริ่มด้วยสองระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\Sigma$ และ $\Gamma$ ตามลำดับ

โดยทั่วไป เวกเตอร์สถานะควอนตัมของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ มีรูปแบบ

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

โดยที่ $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ คือชุดจำนวนเชิงซ้อนที่ตอบสนอง

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

ซึ่งเทียบเท่ากับ $\vert \psi \rangle$ เป็นเวกเตอร์หน่วย

เราทราบแล้วจากการอภิปรายข้างต้นว่าถ้าวัดทั้ง $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละค่า $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ จะปรากฏด้วยความน่าจะเป็น

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

ถ้าเราสมมติแทนว่าวัดเฉพาะระบบแรก $\mathsf{X}$ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละค่า $a\in\Sigma$ จึงต้องเท่ากับ

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

สิ่งนี้สอดคล้องกับสิ่งที่เราเห็นในกรณีความน่าจะเป็น รวมถึงความเข้าใจปัจจุบันของเราเกี่ยวกับฟิสิกส์: ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละค่าเมื่อวัด $\mathsf{X}$ ไม่สามารถขึ้นอยู่กับว่าวัด $\mathsf{Y}$ ด้วยหรือไม่ เพราะนั่นจะอนุญาตให้มีการสื่อสารที่เร็วกว่าแสง

เมื่อได้ผลลัพธ์เฉพาะ $a\in\Sigma$ จากการวัดบนฐานมาตรฐานของ $\mathsf{X}$ เราคาดหวังตามธรรมชาติว่าสถานะควอนตัมของ $\mathsf{X}$ จะเปลี่ยนไปเป็น $\vert a\rangle$ เช่นเดียวกับกรณีระบบเดี่ยว แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับสถานะควอนตัมของ $\mathsf{Y}$?

เพื่อตอบคำถามนี้ เราสามารถเขียนเวกเตอร์ $\vert\psi\rangle$ เป็น

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

โดยที่

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

สำหรับ $a\in\Sigma$ แต่ละค่า ที่นี่เราทำตามแนวทางเดิมในกรณีความน่าจะเป็น โดยแยกสถานะบนฐานมาตรฐานของระบบที่ถูกวัดออกมา ความน่าจะเป็นของการวัดบนฐานมาตรฐานของ $\mathsf{X}$ ที่ให้ผลลัพธ์แต่ละค่า $a$ มีดังนี้:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

และผลจากการวัดบนฐานมาตรฐานของ $\mathsf{X}$ ที่ให้ผลลัพธ์ $a$ สถานะควอนตัมของคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ รวมกันจะกลายเป็น

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

นั่นคือ สถานะ "ยุบตัว" เหมือนในกรณีระบบเดี่ยว แต่เฉพาะในขอบเขตที่จำเป็นเพื่อให้สถานะสอดคล้องกับผลการวัด $\mathsf{X}$ ที่ให้ผลลัพธ์ $a$

พูดอย่างไม่เป็นทางการ $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ แสดงถึงส่วนประกอบของ $\vert \psi\rangle$ ที่สอดคล้องกับการวัด $\mathsf{X}$ ที่ได้ผลลัพธ์ $a$ จากนั้นเรา นอร์มอลไลซ์ เวกเตอร์นี้ — โดยหารด้วยนอร์มแบบยุคลิด ซึ่งเท่ากับ $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — เพื่อให้ได้เวกเตอร์สถานะควอนตัมที่ถูกต้องที่มีนอร์มแบบยุคลิดเท่ากับ $1$ ขั้นตอนการนอร์มอลไลซ์นี้คล้ายคลึงกับสิ่งที่เราทำในกรณีความน่าจะเป็นเมื่อเราหารเวกเตอร์ด้วยผลรวมของรายการเพื่อให้ได้เวกเตอร์ความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานะของ Qubit สองตัว $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่กล่าวไว้ตอนต้นของหัวข้อนี้:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

เพื่อทำความเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อวัดระบบแรก $\mathsf{X}$ เราเริ่มด้วยการเขียน

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

ตอนนี้เราเห็นจากคำอธิบายข้างต้นว่าความน่าจะเป็นที่การวัดจะได้ผลลัพธ์ $0$ คือ

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะกลายเป็น

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

และความน่าจะเป็นที่การวัดจะได้ผลลัพธ์ $1$ คือ

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะกลายเป็น

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

เทคนิคเดิมนี้ ใช้ในลักษณะสมมาตร อธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นถ้าวัดระบบที่สอง $\mathsf{Y}$ แทนระบบแรก คราวนี้เราเขียนเวกเตอร์ $\vert \psi \rangle$ ใหม่เป็น

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

ความน่าจะเป็นที่การวัด $\mathsf{Y}$ ได้ผลลัพธ์ $0$ คือ

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะกลายเป็น

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

และความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์การวัดเป็น $1$ คือ

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะกลายเป็น

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

หมายเหตุเกี่ยวกับสถานะควอนตัมรีดิวซ์

ตัวอย่างก่อนหน้าแสดงให้เห็นข้อจำกัดของคำอธิบายข้อมูลเชิงควอนตัมแบบเรียบง่าย ซึ่งก็คือไม่มีวิธีอธิบายสถานะควอนตัมรีดิวซ์ (หรือมาร์จินัล) ของระบบเดียวในสองระบบ (หรือเซตย่อยแท้ของระบบจำนวนเท่าใดก็ตาม) เหมือนในกรณีความน่าจะเป็น

โดยเฉพาะ สำหรับสถานะความน่าจะเป็นของสองระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่อธิบายด้วยเวกเตอร์ความน่าจะเป็น

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

เราสามารถเขียนสถานะความน่าจะเป็น รีดิวซ์ หรือ มาร์จินัล ของ $\mathsf{X}$ เพียงอย่างเดียวได้เป็น

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

สำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม ไม่มีวิธีที่คล้ายคลึงกันในการทำสิ่งนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

เวกเตอร์

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

ไม่ใช่เวกเตอร์สถานะควอนตัมโดยทั่วไป และไม่ได้แสดงถึงแนวคิดของสถานะรีดิวซ์หรือมาร์จินัลอย่างถูกต้อง

สิ่งที่เราทำได้แทนคือหันไปสู่แนวคิดของ เมทริกซ์ความหนาแน่น ซึ่งอภิปรายในคอร์ส General formulation of quantum information เมทริกซ์ความหนาแน่นให้วิธีที่มีความหมายในการกำหนดสถานะควอนตัมรีดิวซ์ที่คล้ายคลึงกับกรณีความน่าจะเป็น

การวัดบางส่วนสำหรับสามระบบขึ้นไป

การวัดบางส่วนสำหรับสามระบบขึ้นไป ซึ่งวัดเซตย่อยแท้ของระบบ สามารถลดรูปเป็นกรณีสองระบบได้โดยแบ่งระบบออกเป็นสองกลุ่ม คือกลุ่มที่ถูกวัดและกลุ่มที่ไม่ถูกวัด นี่คือตัวอย่างเฉพาะที่แสดงให้เห็นว่าทำสิ่งนี้ได้อย่างไร โดยเฉพาะแสดงให้เห็นว่าการใส่ดัชนีล่างให้ ket ด้วยชื่อของระบบที่แสดงนั้นมีประโยชน์อย่างไร — ในกรณีนี้เพราะให้วิธีง่าย ๆ ในการอธิบายการสลับที่ของระบบ

สำหรับตัวอย่างนี้ เราจะพิจารณาสถานะควอนตัมของทูเพิลห้าตัวของระบบ $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0)$, โดยที่ทั้งห้าระบบมีชุดสถานะคลาสสิกเดียวกันคือ $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

เราจะพิจารณาสถานการณ์ที่วัดระบบแรกและระบบที่สาม และปล่อยระบบที่เหลือไว้

ในแง่แนวคิด ไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสถานการณ์นี้กับกรณีที่วัดระบบหนึ่งในสองระบบ น่าเสียดายที่เนื่องจากระบบที่ถูกวัดอยู่สลับกับระบบที่ไม่ถูกวัด เราจึงต้องเผชิญกับอุปสรรคในการเขียนนิพจน์ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณเหล่านี้

วิธีหนึ่งในการดำเนินการ ตามที่แนะนำข้างต้น คือการใส่ดัชนีล่างให้ ket เพื่อระบุว่าหมายถึงระบบใด สิ่งนี้ให้วิธีในการติดตามระบบเมื่อเราสลับลำดับ ket ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้น

ขั้นแรก เวกเตอร์สถานะควอนตัมข้างต้นสามารถเขียนแทนได้เป็น

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ยกเว้นว่า ket แต่ละตัวมีดัชนีล่างระบุว่าสอดคล้องกับระบบใด ที่นี่เราใช้ดัชนีล่าง $0,\ldots,4,$ แต่ชื่อของระบบเองก็สามารถใช้ได้เช่นกัน (ในสถานการณ์ที่มีชื่อระบบอย่าง $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ และ $\mathsf{Z}$ เป็นต้น)

ตอนนี้เราสามารถเรียงลำดับ ket ใหม่และรวบรวมพจน์ได้ดังนี้:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

ผลคูณเทนเซอร์ยังคงนัยอยู่ แม้จะมีวงเล็บดังในตัวอย่างนี้

เพื่อให้ชัดเจนเกี่ยวกับการสลับลำดับ ket ผลคูณเทนเซอร์ไม่สับเปลี่ยน: ถ้า $\vert \phi\rangle$ และ $\vert \pi \rangle$ เป็นเวกเตอร์ โดยทั่วไปแล้ว $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ แตกต่างจาก $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ และเช่นเดียวกันสำหรับผลคูณเทนเซอร์ของสามเวกเตอร์ขึ้นไป ตัวอย่างเช่น $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ เป็นเวกเตอร์ที่ต่างจาก $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ การเรียงลำดับ ket ใหม่ที่เราเพิ่งทำไม่ควรตีความว่าแสดงเป็นอย่างอื่น

แต่ทว่า เพื่อจุดประสงค์ของการคำนวณ เราเพียงแค่ตัดสินใจว่าสะดวกกว่าที่จะรวบรวมระบบเป็น $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ แทนที่จะเป็น $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ ดัชนีล่างบน ket ช่วยให้ทั้งหมดนี้ชัดเจน และเราสามารถกลับไปใช้ลำดับเดิมได้ในภายหลังถ้าต้องการ

ตอนนี้เราเห็นว่าถ้าวัดระบบ $\mathsf{X}_4$ และ $\mathsf{X}_2$ ความน่าจะเป็น (ไม่เป็นศูนย์) ของผลลัพธ์ต่าง ๆ มีดังนี้:

• ผลลัพธ์การวัด $(\heartsuit,\diamondsuit)$ เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• ผลลัพธ์การวัด $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• ผลลัพธ์การวัด $(\spadesuit,\clubsuit)$ เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

ถ้าผลลัพธ์การวัดเป็น $(\heartsuit,\diamondsuit)$ ตัวอย่างเช่น สถานะที่เกิดขึ้นของห้าระบบของเราจะกลายเป็น

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

ที่นี่ สำหรับคำตอบสุดท้าย เราได้กลับไปใช้ลำดับเดิมของระบบ เพียงเพื่อแสดงให้เห็นว่าเราทำสิ่งนี้ได้ สำหรับผลลัพธ์การวัดอื่นที่เป็นไปได้ สถานะสามารถหาได้ในลักษณะเดียวกัน

สุดท้าย นี่คือตัวอย่างสองตัวอย่างที่สัญญาไว้ก่อนหน้า โดยเริ่มด้วยสถานะ GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

ถ้าวัดเฉพาะระบบแรก เราได้ผลลัพธ์ $0$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$, ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ Qubit สามตัวจะกลายเป็น $\vert 000\rangle$; และเราได้ผลลัพธ์ $1$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ เช่นกัน ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ Qubit สามตัวจะกลายเป็น $\vert 111\rangle$.

สำหรับสถานะ W ในทางตรงกันข้าม สมมติว่าวัดเฉพาะระบบแรกอีกครั้ง เราเริ่มด้วยการเขียนสถานะนี้แบบนี้:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

ความน่าจะเป็นที่การวัด Qubit แรกได้ผลลัพธ์ 0 จึงเท่ากับ

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

และเมื่อกำหนดเงื่อนไขว่าการวัดได้ผลลัพธ์นี้ สถานะควอนตัมของ Qubit สามตัวจะกลายเป็น

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์การวัดเป็น 1 คือ $1/3$, ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ Qubit สามตัวจะกลายเป็น $\vert 100\rangle$.

สถานะ W มีความสมมาตร ในแง่ที่ว่าไม่เปลี่ยนถ้าเราสลับที่ของ Qubit ดังนั้นเราจึงได้คำอธิบายที่คล้ายกันสำหรับการวัด Qubit ที่สองหรือที่สามแทน Qubit แรก

การดำเนินการยูนิทารี

โดยหลักการแล้ว เมทริกซ์ยูนิทารีใด ๆ ที่มีแถวและคอลัมน์สอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของระบบแสดงถึงการดำเนินการควอนตัมที่ถูกต้องบนระบบนั้น สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงสำหรับระบบรวม ซึ่งชุดสถานะคลาสสิกเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของชุดสถานะคลาสสิกของระบบแต่ละระบบ

โดยเน้นที่สองระบบ ถ้า $\mathsf{X}$ เป็นระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\Sigma,$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\Gamma,$ ชุดสถานะคลาสสิกของระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ คือ $\Sigma\times\Gamma.$ ดังนั้นการดำเนินการควอนตัมบนระบบรวมนี้แสดงด้วยเมทริกซ์ยูนิทารีที่มีแถวและคอลัมน์สอดคล้องกับชุด $\Sigma\times\Gamma$ ลำดับของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เหล่านี้เหมือนกับลำดับที่ใช้กับเวกเตอร์สถานะควอนตัมของระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\Sigma = \{1,2,3\}$ และ $\Gamma = \{0,1\}$, และระลึกว่าแบบแผนมาตรฐานในการเรียงลำดับสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ คือ:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

นี่คือตัวอย่างเมทริกซ์ยูนิทารีที่แสดงการดำเนินการบน $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

เมทริกซ์ยูนิทารีนี้ไม่ใช่กรณีพิเศษ เป็นแค่ตัวอย่าง ในการตรวจสอบว่า $U$ เป็นยูนิทารี เพียงพอที่จะคำนวณและตรวจสอบว่า $U^{\dagger} U = \mathbb{I}$ เป็นต้น หรืออาจตรวจสอบว่าแถว (หรือคอลัมน์) เป็นออร์โธนอร์มัล ซึ่งง่ายกว่าในกรณีนี้เนื่องจากรูปแบบเฉพาะของเมทริกซ์ $U$

การกระทำของ $U$ บนเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน $\vert 1, 1 \rangle$ ตัวอย่างเช่น คือ

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

ซึ่งเราเห็นได้จากการตรวจสอบคอลัมน์ที่สองของ $U$ โดยพิจารณาลำดับของชุด $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$

เช่นเดียวกับเมทริกซ์ใด ๆ เป็นไปได้ที่จะแสดง $U$ โดยใช้สัญลักษณ์ Dirac ซึ่งจะต้องใช้ 20 พจน์สำหรับรายการไม่เป็นศูนย์ 20 รายการของ $U$ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราเขียนพจน์ทั้งหมดเหล่านี้ลงไป แทนที่จะเขียนเมทริกซ์ $6\times 6$ มันจะรกและรูปแบบที่ชัดเจนจากนิพจน์เมทริกซ์อาจไม่ชัดเจนเท่า พูดง่าย ๆ สัญลักษณ์ Dirac ไม่ใช่ตัวเลือกที่ดีที่สุดเสมอไป

การดำเนินการยูนิทารีบนสามระบบขึ้นไปทำงานในลักษณะเดียวกัน โดยเมทริกซ์ยูนิทารีมีแถวและคอลัมน์สอดคล้องกับผลคูณคาร์ทีเซียนของชุดสถานะคลาสสิกของระบบ เราเห็นตัวอย่างหนึ่งแล้วในบทเรียนนี้: การดำเนินการ Qubit สามตัว

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

โดยที่ตัวเลขใน bra และ ket หมายถึงการเข้ารหัสไบนารี $3$ บิตของตัวเลข นอกจากจะเป็นการดำเนินการเดเทอร์มินิสติกแล้ว นี่ยังเป็นการดำเนินการยูนิทารีด้วย การดำเนินการที่ทั้งเดเทอร์มินิสติกและยูนิทารีเรียกว่าการดำเนินการ ย้อนกลับได้ สังยุคทรานสโพสของเมทริกซ์นี้เขียนได้แบบนี้:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

สิ่งนี้แสดงถึง การย้อนกลับ หรือในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า อินเวอร์ส ของการดำเนินการเดิม — ซึ่งเป็นสิ่งที่เราคาดหวังจากสังยุคทรานสโพสของเมทริกซ์ยูนิทารี เราจะเห็นตัวอย่างอื่น ๆ ของการดำเนินการยูนิทารีบนระบบหลายระบบเมื่อบทเรียนดำเนินต่อไป

การดำเนินการยูนิทารีที่ทำอย่างอิสระบนระบบแต่ละระบบ

เมื่อดำเนินการยูนิทารีอย่างอิสระบนชุดของระบบแต่ละระบบ การกระทำรวมของการดำเนินการอิสระเหล่านี้อธิบายได้ด้วยผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์ยูนิทารีที่แสดงถึงการดำเนินการเหล่านั้น นั่นคือ ถ้า $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ เป็นระบบควอนตัม $U_0,\ldots, U_{n-1}$ เป็นเมทริกซ์ยูนิทารีที่แสดงการดำเนินการบนระบบเหล่านี้ และการดำเนินการทำอย่างอิสระบนแต่ละระบบ การกระทำรวมบน $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ แสดงด้วยเมทริกซ์ $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0$ อีกครั้ง เราพบว่ากรณีความน่าจะเป็นและควอนตัมมีลักษณะคล้ายคลึงกันในแง่นี้

ตามธรรมชาติแล้วคาดหวังได้ว่าผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์ยูนิทารีใด ๆ เป็นยูนิทารี จริง ๆ แล้วเป็นความจริง และเราสามารถยืนยันได้ดังนี้

สังเกตก่อนว่าการดำเนินการสังยุคทรานสโพสตอบสนอง

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

สำหรับเมทริกซ์ $M_0,\ldots,M_{n-1}$ ใด ๆ ที่เลือก สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้โดยย้อนกลับไปยังนิยามของผลคูณเทนเซอร์และสังยุคทรานสโพส และตรวจสอบว่าแต่ละรายการของสองข้างของสมการสอดคล้องกัน ซึ่งหมายความว่า

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

เนื่องจากผลคูณเทนเซอร์ของเมทริกซ์มีสมบัติการคูณ (เข้ากันได้กับการคูณเมทริกซ์) เราพบว่า

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

ที่นี่เราเขียน $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ เพื่อหมายถึงเมทริกซ์ที่แสดงการดำเนินการเอกลักษณ์บนระบบ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ กล่าวคือเหล่านี้คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาดสอดคล้องกับจำนวนสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$

สุดท้าย ผลคูณเทนเซอร์ $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์สอดคล้องกับผลคูณของจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดใหญ่กว่านี้แสดงถึงการดำเนินการเอกลักษณ์บนระบบรวม $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$

สรุปแล้ว เรามีลำดับความเท่ากันดังต่อไปนี้:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่า $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ เป็นยูนิทารี

สถานการณ์สำคัญที่เกิดขึ้นบ่อยคือกรณีที่ใช้การดำเนินการยูนิทารีกับระบบเดียว — หรือเซตย่อยแท้ของระบบ — ภายในระบบรวมที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่เรามองรวมกันเป็นระบบเดียวที่ประกอบกัน $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ และเราดำเนินการเฉพาะบนระบบ $\mathsf{X}$ เพื่อให้ชัดเจน สมมติว่า $U$ เป็นเมทริกซ์ยูนิทารีที่แสดงการดำเนินการบน $\mathsf{X}$ โดยที่แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$

การบอกว่าเราดำเนินการที่แสดงด้วย $U$ เฉพาะบนระบบ $\mathsf{X}$ หมายความว่าเราไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{Y}$ หมายความว่าเราดำเนินการ $U$ บน $\mathsf{X}$ และ การดำเนินการเอกลักษณ์ บน $\mathsf{Y}$ อย่างอิสระ นั่นคือ "ไม่ทำอะไร" กับ $\mathsf{Y}$ เทียบเท่ากับการดำเนินการเอกลักษณ์บน $\mathsf{Y}$ ซึ่งแสดงด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ (ในที่นี้ ดัชนีล่าง $\mathsf{Y}$ บอกเราว่า $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ หมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์สอดคล้องกับชุดสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$) การดำเนินการบน $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่ได้เมื่อเราดำเนินการ $U$ บน $\mathsf{X}$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{Y}$ จึงแสดงด้วยเมทริกซ์ยูนิทารี

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

ตัวอย่างเช่น ถ้า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็น Qubit การดำเนินการ Hadamard บน $\mathsf{X}$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{Y}$ เทียบเท่ากับการดำเนินการ

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

บนระบบรวม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

ในทำนองเดียวกัน ถ้าใช้การดำเนินการที่แสดงด้วยเมทริกซ์ยูนิทารี $U$ กับ $\mathsf{Y}$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{X}$ การดำเนินการที่เกิดขึ้นบน $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ แสดงด้วยเมทริกซ์ยูนิทารี

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาสถานการณ์ที่ทั้ง $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็น Qubit และ $U$ เป็นการดำเนินการ Hadamard การดำเนินการที่เกิดขึ้นบน $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ แสดงด้วยเมทริกซ์

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

ไม่ใช่การดำเนินการยูนิทารีทุกอันบนชุดของระบบจะเขียนเป็นผลคูณเทนเซอร์ของการดำเนินการยูนิทารีแบบนี้ได้ เช่นเดียวกับที่ไม่ใช่เวกเตอร์สถานะควอนตัมทุกอันของระบบเหล่านี้จะเป็นสถานะผลคูณ ตัวอย่างเช่น ทั้งการดำเนินการ swap และการดำเนินการ controlled-NOT บน Qubit สองตัว ซึ่งอธิบายไว้ด้านล่าง ไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณเทนเซอร์ของการดำเนินการยูนิทารีได้

การดำเนินการ swap

ในการสรุปบทเรียน เรามาดูตัวอย่างสองประเภทของการดำเนินการยูนิทารีบนระบบหลายระบบ โดยเริ่มด้วย การดำเนินการ swap

สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิกเดียวกันคือ $\Sigma$ การดำเนินการ swap บนคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ คือการดำเนินการที่แลกเปลี่ยนเนื้อหาของ สองระบบ แต่นอกจากนั้นไม่ได้เปลี่ยนอะไรกับระบบ — ดังนั้น $\mathsf{X}$ ยังคงอยู่ทางซ้ายและ $\mathsf{Y}$ ยังคงอยู่ทางขวา เราจะแสดงการดำเนินการนี้เป็น $\operatorname{SWAP}$, และมันทำงานดังนี้สำหรับสถานะคลาสสิก $a,b\in\Sigma$ ทุกค่า:

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

วิธีหนึ่งในการเขียนเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการนี้โดยใช้สัญลักษณ์ Dirac มีดังนี้:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

อาจไม่ชัดเจนทันทีว่าเมทริกซ์นี้แสดงถึง $\operatorname{SWAP}$ แต่เราสามารถตรวจสอบว่ามันตอบสนองเงื่อนไข $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ สำหรับสถานะคลาสสิก $a,b\in\Sigma$ ทุกค่า ตัวอย่างง่าย ๆ เมื่อ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็น Qubit เราพบว่า

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

การดำเนินการ controlled-unitary

ตอนนี้สมมติว่า $\mathsf{Q}$ เป็น Qubit และ $\mathsf{R}$ เป็นระบบโดยพลการ ที่มีชุดสถานะคลาสสิก ตามที่เราต้องการ สำหรับการดำเนินการยูนิทารีทุกอัน $U$ ที่กระทำบนระบบ $\mathsf{R}$ การดำเนินการ controlled-$U$ คือการดำเนินการยูนิทารี บนคู่ $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ ที่นิยามดังนี้:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

ตัวอย่างเช่น ถ้า $\mathsf{R}$ เป็น Qubit ด้วย และเราพิจารณาการดำเนินการ Pauli $X$ บน $\mathrm{R}$, การดำเนินการ controlled-$X$ จะเป็น

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

เราเคยพบการดำเนินการนี้แล้วในบริบทของข้อมูลคลาสสิกและการดำเนินการความน่าจะเป็น ก่อนหน้านี้ในบทเรียน การแทนที่การดำเนินการ Pauli $X$ บน $\mathsf{R}$ ด้วยการดำเนินการ $Z$ ให้การดำเนินการนี้:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

ถ้าเราแทน $\mathsf{R}$ เป็น Qubit สองตัว และ $U$ เป็น การดำเนินการ swap ระหว่าง Qubit สองตัวนี้ เราจะได้การดำเนินการนี้:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

การดำเนินการนี้รู้จักกันในชื่อ การดำเนินการ Fredkin หรือที่นิยมเรียกว่า Fredkin gate การกระทำบนสถานะฐานมาตรฐานอธิบายได้ดังนี้:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

สุดท้าย การดำเนินการ controlled-controlled-NOT ซึ่งเราอาจแสดงเป็น $CCX$ เรียกว่า การดำเนินการ Toffoli หรือ Toffoli gate การแสดงเมทริกซ์มีลักษณะดังนี้:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

เราอาจแสดงมันโดยใช้สัญลักษณ์ Dirac ได้ดังนี้:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$