ผลคูณภายในและการฉาย

เพื่อเตรียมพร้อมสำรวจความสามารถและข้อจำกัดของ Circuit ควอนตัม เราจะแนะนำแนวคิดทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ได้แก่ ผลคูณภายใน ระหว่างเวกเตอร์ (และความเชื่อมโยงกับนอร์มแบบยุคลิด) แนวคิดเรื่อง ตั้งฉาก และ ออร์โธนอร์มอล สำหรับเซตของเวกเตอร์ และเมทริกซ์ การฉาย ซึ่งจะช่วยให้เราแนะนำการวัดในฐานมาตรฐานในแบบที่ทั่วไปและสะดวกยิ่งขึ้น

ผลคูณภายใน

ระลึกว่าเมื่อเราใช้สัญลักษณ์ Dirac เพื่ออ้างถึงเวกเตอร์คอลัมน์โดยพลการว่าเป็น ket เช่น

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

เวกเตอร์ bra ที่สอดคล้องกันคือ คอนจูเกต-ทรานสโพส ของเวกเตอร์นี้

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

หรืออีกทางหนึ่ง ถ้าเรามีเซตสถานะคลาสสิก $\Sigma$ และเขียนเวกเตอร์คอลัมน์เป็น ket ว่า

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

เวกเตอร์แถว (หรือ bra) ที่สอดคล้องกันคือคอนจูเกต-ทรานสโพส

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

นอกจากนี้ ผลคูณของเวกเตอร์ bra กับเวกเตอร์ ket ซึ่งมองว่าเป็นเมทริกซ์ที่มีแถวเดียวหรือคอลัมน์เดียว จะได้ค่าสเกลาร์ โดยเฉพาะ ถ้าเรามีเวกเตอร์คอลัมน์สองตัว

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

โดยที่เวกเตอร์แถว $\langle \psi \vert$ เป็นไปตามสมการ $(1)$ แล้ว

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

หรืออีกทางหนึ่ง ถ้าเรามีเวกเตอร์คอลัมน์สองตัวที่เขียนเป็น

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

โดยที่ $\langle \psi \vert$ คือเวกเตอร์แถว $(2)$ เราพบว่า

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

โดยความเท่ากันสุดท้ายมาจากการสังเกตว่า $\langle a \vert a \rangle = 1$ และ $\langle a \vert b \rangle = 0$ สำหรับสถานะคลาสสิก $a$ และ $b$ ที่ $a\neq b$

ค่า $\langle \psi \vert \phi \rangle$ เรียกว่า ผลคูณภายใน ระหว่างเวกเตอร์ $\vert \psi\rangle$ และ $\vert \phi \rangle$ ผลคูณภายในมีความสำคัญอย่างยิ่งในข้อมูลและการคำนวณเชิงควอนตัม เราไม่สามารถเข้าใจข้อมูลเชิงควอนตัมในระดับคณิตศาสตร์ได้ลึกซึ้งโดยปราศจากมัน

มาสรุปข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับผลคูณภายในของเวกเตอร์กัน

1. ความสัมพันธ์กับนอร์มแบบยุคลิด ผลคูณภายในของเวกเตอร์ใดๆ

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   กับตัวมันเองคือ

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   ดังนั้น นอร์มแบบยุคลิดของเวกเตอร์สามารถเขียนอีกรูปแบบหนึ่งได้ว่า

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   สังเกตว่านอร์มแบบยุคลิดของเวกเตอร์ต้องเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบเสมอ ยิ่งกว่านั้น นอร์มแบบยุคลิดของเวกเตอร์จะเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อทุกสมาชิกเป็นศูนย์ นั่นคือเวกเตอร์นั้นเป็นเวกเตอร์ศูนย์

   สรุปการสังเกตเหล่านี้ได้ว่า สำหรับทุกเวกเตอร์ $\vert \psi \rangle$ เรามี

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   โดย $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ ก็ต่อเมื่อ $\vert \psi \rangle = 0$ สมบัตินี้ของผลคูณภายในบางครั้งเรียกว่า ความเป็นนิยามบวก

2. ความสมมาตรเชิงคอนจูเกต สำหรับเวกเตอร์สองตัวใดๆ

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   เรามี

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   และดังนั้น

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. ความเป็นเชิงเส้นในอาร์กิวเมนต์ที่สอง (และความเป็นเชิงเส้นเชิงคอนจูเกตในอาร์กิวเมนต์แรก) สมมติว่า $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ และ $\vert \phi_2 \rangle$ เป็นเวกเตอร์ และ $\alpha_1$ กับ $\alpha_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ถ้าเรานิยามเวกเตอร์ใหม่

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   แล้ว

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   กล่าวคือ ผลคูณภายในเป็น เชิงเส้น ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง สิ่งนี้ยืนยันได้ทั้งจากสูตรข้างต้นหรือเพียงแค่สังเกตว่าการคูณเมทริกซ์เป็นเชิงเส้นในแต่ละอาร์กิวเมนต์ (โดยเฉพาะในอาร์กิวเมนต์ที่สอง)

   การรวมข้อเท็จจริงนี้กับความสมมาตรเชิงคอนจูเกตแสดงให้เห็นว่าผลคูณภายินเป็น เชิงเส้นเชิงคอนจูเกต ในอาร์กิวเมนต์แรก นั่นคือ ถ้า $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ และ $\vert \phi \rangle$ เป็นเวกเตอร์ และ $\alpha_1$ กับ $\alpha_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน และเรานิยาม

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   แล้ว

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. อสมการ Cauchy–Schwarz สำหรับทุกเวกเตอร์ $\vert \phi \rangle$ และ $\vert \psi \rangle$ ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน เรามี

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   นี่คืออสมการที่มีประโยชน์อย่างมากและถูกใช้อย่างกว้างขวางในข้อมูลเชิงควอนตัม (และในหัวข้ออื่นๆ อีกมาก)

เซตออร์โธโกนอลและออร์โธนอร์มอล

เวกเตอร์สองตัว $\vert \phi \rangle$ และ $\vert \psi \rangle$ เรียกว่า ตั้งฉาก กันถ้าผลคูณภายในของพวกมันเป็นศูนย์

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

ในเชิงเรขาคณิต เราสามารถมองเวกเตอร์ตั้งฉากว่าเป็นเวกเตอร์ที่ทำมุมฉากต่อกัน

เซตของเวกเตอร์ $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ เรียกว่า เซตออร์โธโกนอล ถ้าทุกเวกเตอร์ในเซตตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์อื่นในเซต นั่นคือ เซตนี้เป็นออร์โธโกนอลถ้า

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

สำหรับทุก $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ ที่ $j\neq k$

เซตของเวกเตอร์ $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ เรียกว่า ออร์โธนอร์มอล ถ้าเป็นเซตออร์โธโกนอลและทุกเวกเตอร์ในเซตเป็นเวกเตอร์หน่วย หรืออีกทางหนึ่ง เซตนี้เป็นออร์โธนอร์มอลถ้า

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

สำหรับทุก $j,k\in\{1,\ldots,m\}$

สุดท้าย เซต $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ เป็น ฐานออร์โธนอร์มอล ถ้านอกจากจะเป็นเซตออร์โธนอร์มอลแล้ว ยังเป็นฐานด้วย สิ่งนี้เทียบเท่ากับการที่ $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ เป็นเซตออร์โธนอร์มอลและ $m$ เท่ากับมิติของปริภูมิที่ $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ อยู่

ตัวอย่างเช่น สำหรับเซตสถานะคลาสสิก $\Sigma$ ใดก็ตาม เซตของเวกเตอร์ฐานมาตรฐานทั้งหมด

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

เป็นฐานออร์โธนอร์มอล เซต $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ เป็นฐานออร์โธนอร์มอลสำหรับปริภูมิ $2$ มิติที่สอดคล้องกับ Qubit เดี่ยว และฐาน Bell $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ เป็นฐานออร์โธนอร์มอลสำหรับปริภูมิ $4$ มิติที่สอดคล้องกับ Qubit สองตัว

การขยายเซตออร์โธนอร์มอลเป็นฐานออร์โธนอร์มอล

สมมติว่า $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ เป็นเวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิ $n$ มิติ และ $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ เป็นเซตออร์โธนอร์มอล เซตออร์โธนอร์มอลเป็นเซตอิสระเชิงเส้นเสมอ ดังนั้นเวกเตอร์เหล่านี้จึงกางออกเป็นปริภูมิย่อยที่มีมิติ $m$ เสมอ จากนี้เราสรุปได้ว่า $m\leq n$ เพราะมิติของปริภูมิย่อยที่กางโดยเวกเตอร์เหล่านี้ไม่สามารถใหญ่กว่ามิติของปริภูมิทั้งหมดที่พวกมันอยู่

ถ้า $m<n$ เป็นไปได้เสมอที่จะเลือกเวกเตอร์เพิ่มเติมอีก $n-m$ ตัว $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ เพื่อให้ $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ เป็นฐานออร์โธนอร์มอล กระบวนการที่เรียกว่า กระบวนการออร์โธโกนัลไลเซชันของ Gram–Schmidt สามารถใช้สร้างเวกเตอร์เหล่านี้ได้

เซตออร์โธนอร์มอลและเมทริกซ์ยูนิทารี

เซตออร์โธนอร์มอลของเวกเตอร์มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับเมทริกซ์ยูนิทารี วิธีหนึ่งในการแสดงความเชื่อมโยงนี้คือการบอกว่าประโยคสามข้อต่อไปนี้มีความเทียบเท่ากันในตรรกะ (หมายความว่าทั้งหมดเป็นจริงหรือเป็นเท็จพร้อมกัน) สำหรับทุกเมทริกซ์จัตุรัส $U$

1. เมทริกซ์ $U$ เป็นยูนิทารี (นั่นคือ $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$)
2. แถวของ $U$ ประกอบเป็นเซตออร์โธนอร์มอล
3. คอลัมน์ของ $U$ ประกอบเป็นเซตออร์โธนอร์มอล

ความเทียบเท่านี้ค่อนข้างตรงไปตรงมาเมื่อเราคิดถึงการทำงานของการคูณเมทริกซ์และคอนจูเกต-ทรานสโพส สมมติว่าเรามีเมทริกซ์ $3\times 3$ ดังนี้

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

คอนจูเกต-ทรานสโพสของ $U$ มีลักษณะดังนี้

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

การคูณเมทริกซ์ทั้งสอง โดยให้คอนจูเกต-ทรานสโพสอยู่ทางซ้าย ให้เมทริกซ์นี้

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

ถ้าเราสร้างเวกเตอร์สามตัวจากคอลัมน์ของ $U$

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

เราสามารถเขียนผลคูณข้างต้นในรูปแบบอื่นได้ว่า

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

โดยอ้างอิงสมการ $(3)$ เราเห็นได้ว่าเงื่อนไขที่เมทริกซ์นี้เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์เทียบเท่ากับความเป็นออร์โธนอร์มอลของเซต $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$

การโต้แย้งนี้ขยายได้กับเมทริกซ์ยูนิทารีทุกขนาด ข้อเท็จจริงที่ว่าแถวของเมทริกซ์ประกอบเป็นฐานออร์โธนอร์มอลก็ต่อเมื่อเมทริกซ์เป็นยูนิทารี มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์เป็นยูนิทารีก็ต่อเมื่อทรานสโพสของมันเป็นยูนิทารี

จากความเทียบเท่าที่อธิบายไว้ข้างต้น ร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าเซตออร์โธนอร์มอลทุกเซตสามารถขยายเป็นฐานออร์โธนอร์มอลได้ เราสรุปข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์ดังนี้ สำหรับเซตออร์โธนอร์มอลใดๆ ของเวกเตอร์ $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ ที่อยู่ในปริภูมิ $n$ มิติ มีเมทริกซ์ยูนิทารี $U$ ที่ $m$ คอลัมน์แรกคือเวกเตอร์ $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ อยู่เสมอ ในรูปภาพ เราสามารถหาเมทริกซ์ยูนิทารีที่มีรูปแบบนี้ได้เสมอ

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

ที่นี่ $n-m$ คอลัมน์สุดท้ายเติมด้วยเวกเตอร์ $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ ที่เลือกให้ $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ เป็นฐานออร์โธนอร์มอล

การฉายและการวัดแบบโปรเจกทีฟ

เมทริกซ์การฉาย

เมทริกซ์จัตุรัส $\Pi$ เรียกว่า การฉาย ถ้าเป็นไปตามสองสมบัติ

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}.$
2. $\Pi^2 = \Pi.$

เมทริกซ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขแรก — คือเท่ากับคอนจูเกต-ทรานสโพสของตัวเอง — เรียกว่า เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน และเมทริกซ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่สอง — คือการยกกำลังสองแล้วไม่เปลี่ยน — เรียกว่า เมทริกซ์อิเดมโพเทนต์

ควรระวังว่าคำว่า การฉาย บางครั้งใช้เพื่ออ้างถึงเมทริกซ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่สองเท่านั้นแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขแรก และในกรณีนั้นมักใช้คำว่า การฉายตั้งฉาก สำหรับเมทริกซ์ที่เป็นไปตามทั้งสองเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม ในบริบทของข้อมูลและการคำนวณเชิงควอนตัม คำว่า การฉาย และ เมทริกซ์การฉาย มักหมายถึงเมทริกซ์ที่เป็นไปตามทั้งสองเงื่อนไข

ตัวอย่างของการฉายคือเมทริกซ์

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

สำหรับเวกเตอร์หน่วย $\vert \psi\rangle$ ใดก็ตาม เราเห็นว่าเมทริกซ์นี้เป็นเฮอร์มิเชียนดังนี้

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

ที่นี่ เพื่อให้ได้ความเท่ากันที่สอง เราใช้สูตร

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

ซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับเมทริกซ์ $A$ และ $B$ ใดๆ ที่ผลคูณ $AB$ มีความหมาย

เพื่อแสดงว่าเมทริกซ์ $\Pi$ ใน $(4)$ เป็นอิเดมโพเทนต์ เราใช้สมมติฐานว่า $\vert\psi\rangle$ เป็นเวกเตอร์หน่วย ดังนั้นจึงเป็นไปตาม $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$ ดังนั้น

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

โดยทั่วไป ถ้า $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ เป็นเซตออร์โธนอร์มอลใดๆ ของเวกเตอร์ เมทริกซ์

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

เป็นการฉาย โดยเฉพาะ เรามี

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

และ

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

โดยความเป็นออร์โธนอร์มอลของ $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ ทำให้ความเท่ากันสองขั้นก่อนสุดท้ายเป็นจริง

ที่จริงแล้ว นี่ครอบคลุมทุกกรณีได้: ทุก การฉาย $\Pi$ สามารถเขียนในรูปแบบ $(5)$ สำหรับเซตออร์โธนอร์มอล $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ บางชุด (ในทางเทคนิค เมทริกซ์ศูนย์ $\Pi=0$ ซึ่งเป็นการฉาย เป็นกรณีพิเศษ เพื่อให้พอดีกับรูปแบบทั่วไป $(5)$ เราต้องอนุญาตให้ผลรวมว่างเปล่า ซึ่งได้เมทริกซ์ศูนย์)

การวัดแบบโปรเจกทีฟ

แนวคิดของการวัดระบบควอนตัมมีความทั่วไปมากกว่าแค่การวัดในฐานมาตรฐาน การวัดแบบโปรเจกทีฟ คือการวัดที่อธิบายโดยกลุ่มของการฉายที่รวมกันเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ในสัญลักษณ์ กลุ่ม $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ของเมทริกซ์การฉายอธิบายการวัดแบบโปรเจกทีฟถ้า

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

เมื่อทำการวัดแบบนี้บนระบบ $\mathsf{X}$ ขณะอยู่ในสถานะ $\vert\psi\rangle$ สองสิ่งเกิดขึ้น

1. สำหรับแต่ละ $k\in\{0,\ldots,m-1\},$ ผลการวัดเป็น $k$ ด้วยความน่าจะเป็น

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. ไม่ว่าจะได้ผล $k$ ใด สถานะของ $\mathsf{X}$ จะกลายเป็น

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

เราสามารถเลือกผลลัพธ์อื่นที่ไม่ใช่ $\{0,\ldots,m-1\}$ สำหรับการวัดแบบโปรเจกทีฟได้ โดยทั่วไป สำหรับเซตที่มีจำนวนจำกัดและไม่ว่างเปล่า $\Sigma$ ใดก็ตาม ถ้าเรามีกลุ่มของเมทริกซ์การฉาย

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

ที่เป็นไปตามเงื่อนไข

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

กลุ่มนี้อธิบายการวัดแบบโปรเจกทีฟที่มีผลที่เป็นไปได้ตรงกับเซต $\Sigma$ โดยกฎเหมือนเดิม

1. สำหรับแต่ละ $a\in\Sigma,$ ผลการวัดเป็น $a$ ด้วยความน่าจะเป็น

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. ไม่ว่าจะได้ผล $a$ ใด สถานะของ $\mathsf{X}$ จะกลายเป็น

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

ตัวอย่างเช่น การวัดในฐานมาตรฐานเทียบเท่ากับการวัดแบบโปรเจกทีฟ โดย $\Sigma$ คือเซตสถานะคลาสสิกของระบบ $\mathsf{X}$ ที่เราพูดถึง และกลุ่มเมทริกซ์การฉายของเราคือ $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$

อีกตัวอย่างของการวัดแบบโปรเจกทีฟ คราวนี้บน Qubit สองตัว $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ คือเซต $\{\Pi_0,\Pi_1\},$ โดย

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

ถ้าเรามีหลายระบบที่ร่วมกันอยู่ในสถานะควอนตัมใดสถานะหนึ่ง และทำการวัดแบบโปรเจกทีฟบนระบบเดียว ผลที่ได้คล้ายกับกรณีการวัดในฐานมาตรฐาน — และที่จริงเราสามารถอธิบายผลนี้ได้ง่ายกว่าที่เคยทำได้

พูดให้แม่นยำ สมมติว่าเรามีสองระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ในสถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle$ และทำการวัดแบบโปรเจกทีฟที่อธิบายโดยกลุ่ม $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ บนระบบ $\mathsf{X}$ โดยไม่กระทำอะไรกับ $\mathsf{Y}$ การทำเช่นนี้เทียบเท่ากับการทำการวัดแบบโปรเจกทีฟที่อธิบายโดยกลุ่ม

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

บนระบบร่วม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ แต่ละผลการวัด $a$ เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

และเมื่อได้ผล $a$ สถานะของระบบร่วม $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะกลายเป็น

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

การนำการวัดแบบโปรเจกทีฟไปใช้งาน

การวัดแบบโปรเจกทีฟโดยพลการสามารถนำไปใช้ได้โดยใช้การดำเนินการยูนิทารี การวัดในฐานมาตรฐาน และระบบพื้นที่ทำงานเพิ่มเติม ดังที่จะอธิบายต่อไป

สมมติว่า $\mathsf{X}$ เป็นระบบและ $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ เป็นการวัดแบบโปรเจกทีฟบน $\mathsf{X}$ เราสามารถขยายการอภิปรายนี้ให้ครอบคลุมการวัดแบบโปรเจกทีฟที่มีเซตผลลัพธ์ต่างกันได้ แต่เพื่อความสะดวกเราจะสมมติว่าเซตผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับการวัดของเราคือ $\{0,\ldots,m-1\}$

ควรระบุชัดเจนว่า $m$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับจำนวนสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ — เราจะให้ $n$ เป็นจำนวนสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ ซึ่งหมายความว่าแต่ละเมทริกซ์ $\Pi_k$ เป็นเมทริกซ์การฉายขนาด $n\times n$

เนื่องจากเราสมมติว่า $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ แทนการวัดแบบโปรเจกทีฟ จำเป็นต้องเป็นไปว่า

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

เป้าหมายของเราคือการทำกระบวนการที่มีผลเหมือนกับการทำการวัดแบบโปรเจกทีฟนี้บน $\mathsf{X}$ แต่ทำโดยใช้แค่การดำเนินการยูนิทารีและการวัดในฐานมาตรฐาน

เราจะใช้ระบบพื้นที่ทำงานเพิ่มเติม $\mathsf{Y}$ เพื่อทำสิ่งนี้ โดยเฉพาะเราจะให้เซตสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$ เป็น $\{0,\ldots,m-1\}$ ซึ่งเหมือนกับเซตผลลัพธ์ของการวัดแบบโปรเจกทีฟ ความคิดคือเราจะทำการวัดในฐานมาตรฐานบน $\mathsf{Y}$ และตีความผลการวัดนี้ว่าเทียบเท่ากับผลของการวัดแบบโปรเจกทีฟบน $\mathsf{X}$ เราต้องสมมติว่า $\mathsf{Y}$ ถูกเริ่มต้นในสถานะคงที่ใดสถานะหนึ่ง ซึ่งเราจะเลือกเป็น $\vert 0\rangle$ (การเลือกสถานะควอนตัมคงที่อื่นก็ทำให้ได้ผลเช่นกัน แต่การเลือก $\vert 0\rangle$ ทำให้อธิบายได้ง่ายกว่า)

แน่นอนว่าเพื่อให้การวัดในฐานมาตรฐานของ $\mathsf{Y}$ บอกอะไรเกี่ยวกับ $\mathsf{X}$ ได้ เราต้องให้ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ มีปฏิสัมพันธ์กันก่อนวัด $\mathsf{Y}$ โดยทำการดำเนินการยูนิทารีบนระบบ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ก่อนอื่นพิจารณาเมทริกซ์นี้

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

เขียนอย่างชัดเจนในรูปแบบ เมทริกซ์บล็อก ซึ่งเป็นเมทริกซ์ของเมทริกซ์ที่เราตีความว่าเป็นเมทริกซ์ขนาดใหญ่เดี่ยว $M$ มีลักษณะดังนี้

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

ที่นี่ แต่ละ $0$ แทนเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ที่เต็มไปด้วยศูนย์ทั้งหมด ดังนั้นเมทริกซ์ $M$ ทั้งหมดจึงมีขนาด $nm\times nm$

$M$ ไม่ใช่เมทริกซ์ยูนิทารี (ยกเว้นกรณี $m=1$ ซึ่ง $\Pi_0 = \mathbb{I}$ ทำให้ $M = \mathbb{I}$ ในกรณีเล็กน้อยนี้) เพราะเมทริกซ์ยูนิทารีจะมีคอลัมน์ (หรือแถว) ที่เป็นศูนย์ทั้งหมดไม่ได้ เมทริกซ์ยูนิทารีมีคอลัมน์ที่ประกอบเป็นฐานออร์โธนอร์มอล และเวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย

อย่างไรก็ตาม $n$ คอลัมน์แรกของ $M$ เป็นออร์โธนอร์มอล และเราได้สิ่งนี้จากสมมติฐานว่า $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ เป็นการวัด เพื่อยืนยันข้ออ้างนี้ สังเกตว่าสำหรับแต่ละ $j\in\{0,\ldots,n-1\},$ เวกเตอร์ที่เกิดจากคอลัมน์ที่ $j$ ของ $M$ มีดังนี้

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

สังเกตว่าเราเริ่มนับคอลัมน์จาก $0$ การหาผลคูณภายในของคอลัมน์ $i$ กับคอลัมน์ $j$ เมื่อ $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ ให้

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

ซึ่งคือสิ่งที่เราต้องการแสดง

ดังนั้น เนื่องจาก $n$ คอลัมน์แรกของเมทริกซ์ $M$ เป็นออร์โธนอร์มอล เราสามารถแทนที่สมาชิกศูนย์ที่เหลือด้วยจำนวนเชิงซ้อนอื่นเพื่อให้เมทริกซ์ทั้งหมดเป็นยูนิทารี

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

ถ้าเราได้รับเมทริกซ์ $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$ เราสามารถคำนวณเมทริกซ์ที่เหมาะสมเพื่อเติมในช่อง $\fbox{?}$ ในสมการได้โดยใช้กระบวนการ Gram–Schmidt แต่ไม่สำคัญว่าเมทริกซ์เหล่านี้จะเป็นอะไรสำหรับการอภิปรายนี้

สุดท้ายเราสามารถอธิบายกระบวนการวัดได้ เราทำ $U$ บนระบบร่วม $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ก่อน แล้ววัด $\mathsf{Y}$ ด้วยการวัดในฐานมาตรฐาน สำหรับสถานะ $\vert \phi \rangle$ โดยพลการของ $\mathsf{X}$ เราได้สถานะ

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

โดยความเท่ากันแรกมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า $U$ และ $M$ ตรงกันที่ $n$ คอลัมน์แรก เมื่อเราทำการวัดแบบโปรเจกทีฟบน $\mathsf{Y}$ เราได้แต่ละผล $k$ ด้วยความน่าจะเป็น

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

และเมื่อได้ผล $k$ สถานะของ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ จะกลายเป็น

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

ดังนั้น $\mathsf{Y}$ จัดเก็บสำเนาของผลการวัด และ $\mathsf{X}$ เปลี่ยนแปลงแน่นอนตามที่มันจะเปลี่ยนถ้าการวัดแบบโปรเจกทีฟที่อธิบายโดย $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ถูกทำโดยตรงบน $\mathsf{X}$