Circuit

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ circuit คือโมเดลการคำนวณที่ข้อมูลถูกพาผ่านสายโดยผ่านเครือข่ายของ gate ซึ่งแทนการดำเนินการบนข้อมูลที่พาอยู่ในสาย Quantum circuit คือโมเดลการคำนวณเฉพาะที่อิงกับแนวคิดทั่วไปนี้

แม้ว่าคำว่า "circuit" มักหมายถึงเส้นทางแบบวงกลม แต่เส้นทางแบบวงกลมนั้นไม่ได้รับอนุญาตในโมเดล circuit ของการคำนวณที่ศึกษากันโดยทั่วไป กล่าวคือ เราโดยปกติพิจารณา acyclic circuit เมื่อคิดถึง circuit ในฐานะโมเดลการคำนวณ Quantum circuit เป็นไปตามแบบแผนนี้ — quantum circuit แทนลำดับของการดำเนินการที่จำกัดซึ่งไม่สามารถมีวงวนย้อนกลับได้

Boolean circuit

ต่อไปนี้คือตัวอย่าง Boolean circuit (แบบคลาสสิก) ที่สายพาค่าไบนารีและ gate แทนการดำเนินการตรรกศาสตร์ Boolean:

การไหลของข้อมูลตามสายไปจากซ้ายไปขวา: สายทางด้านซ้ายที่มีป้ายกำกับ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ คือบิตอินพุต ซึ่งสามารถตั้งค่าเป็นค่าไบนารีใดก็ได้ที่เราต้องการ และสายทางด้านขวาคืออินพุต สายกลางรับค่าใดก็ตามที่กำหนดโดย gate ซึ่งถูกประเมินจากซ้ายไปขวา

Gate ประกอบด้วย AND gate (มีป้าย $\wedge$), OR gate (มีป้าย $\vee$), และ NOT gate (มีป้าย $\neg$) ฟังก์ชันที่คำนวณโดย gate เหล่านี้น่าจะคุ้นเคยสำหรับผู้อ่านหลายคน แต่ที่นี่แสดงโดยตารางค่า:

$$\begin{array}{c} \begin{array}{c|c} a & \neg a\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array}\\ \\ \\ \end{array} \qquad\quad \begin{array}{c|c} ab & a \wedge b\\ \hline 00 & 0\\ 01 & 0\\ 10 & 0\\ 11 & 1 \end{array} \qquad\quad \begin{array}{c|c} ab & a \vee b\\ \hline 00 & 0\\ 01 & 1\\ 10 & 1\\ 11 & 1 \end{array}$$

วงกลมเล็กๆ ทึบบนสายทางขวาของชื่อ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ แทนการดำเนินการ fan-out ซึ่งเพียงแค่สร้างสำเนาของค่าที่พาอยู่บนสายที่ปรากฏ ทำให้ค่านี้สามารถเป็นอินพุตให้กับหลาย gate ได้ การดำเนินการ fan-out ไม่ได้ถือว่าเป็น gate เสมอไปในบริบทคลาสสิก บางครั้งถือว่าเป็น "ฟรี" ในบางความหมาย อย่างไรก็ตาม เมื่อ Boolean circuit ถูกแปลงเป็น quantum circuit ที่เทียบเท่า เราจำเป็นต้องจัดประเภทการดำเนินการ fan-out อย่างชัดเจนในฐานะ gate เพื่อจัดการและคำนึงถึงมันอย่างถูกต้อง

ต่อไปนี้คือ circuit เดิมที่แสดงในสไตล์ที่พบบ่อยกว่าในวิศวกรรมไฟฟ้า ซึ่งใช้สัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับ AND, OR, และ NOT gate:

เราจะไม่ใช้สไตล์นี้หรือสัญลักษณ์ gate เหล่านี้ต่อไป แต่เราจะใช้สัญลักษณ์ต่างๆ เพื่อแทน gate ใน quantum circuit ซึ่งจะอธิบายเมื่อพบในระหว่างทาง

Circuit ในตัวอย่างนี้คำนวณ exclusive-OR (หรือ XOR ย่อ) ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ $\oplus$:

$$\begin{array}{c|c} ab & a \oplus b\\ \hline 00 & 0\\ 01 & 1\\ 10 & 1\\ 11 & 0 \end{array}$$

ในแผนภาพถัดไปเราพิจารณาแค่การเลือกอินพุตหนึ่งอย่าง: $\mathsf{X}=0$ และ $\mathsf{Y}=1$ สายแต่ละเส้นมีป้ายกำกับด้วยค่าที่พาเพื่อให้ติดตามการดำเนินการได้ ค่าอินพุตในกรณีนี้คือ $1$ ซึ่งเป็นค่าที่ถูกต้องสำหรับ XOR: $0 \oplus 1 = 1$

การตั้งค่าอินพุตที่เป็นไปได้อีกสามแบบสามารถตรวจสอบได้ในทำนองเดียวกัน

Circuit ประเภทอื่นๆ

ดังที่แนะนำข้างต้น แนวคิดของ circuit ในวิทยาการคอมพิวเตอร์นั้นกว้างมาก ตัวอย่างเช่น บางครั้งมีการวิเคราะห์ circuit ที่สายพาค่าอื่นๆ นอกจาก $0$ และ $1$ รวมถึง gate ที่แทนการเลือกการดำเนินการต่างๆ

ใน arithmetic circuit เป็นต้น สายอาจพาค่าจำนวนเต็มในขณะที่ gate แทนการดำเนินการเลขคณิต เช่น การบวกและการคูณ รูปต่อไปนี้แสดง arithmetic circuit ที่รับค่าอินพุตตัวแปรสองค่า ($x$ และ $y$) รวมถึงอินพุตที่สามที่ตั้งค่าเป็น $1$ ค่าที่พาโดยสาย เป็นฟังก์ชันของค่า $x$ และ $y$ แสดงอยู่ในรูป

เรายังสามารถพิจารณา circuit ที่รวมความสุ่ม เช่น circuit ที่ gate แทนการดำเนินการแบบความน่าจะเป็นได้

Quantum circuit

ในโมเดล quantum circuit สายแทน qubit และ gate แทนการดำเนินการบน qubit เหล่านี้ ตอนนี้เราจะมุ่งเน้นไปที่การดำเนินการที่เราพบมาจนถึงขณะนี้ คือ การดำเนินการ unitary และ การวัดฐานมาตรฐาน เมื่อเราเรียนรู้เกี่ยวกับการดำเนินการและการวัดเชิงควอนตัมประเภทอื่นๆ เราสามารถขยายโมเดลของเราตามนั้นได้

ต่อไปนี้คือตัวอย่างง่ายๆ ของ quantum circuit:

ใน circuit นี้ เรามี qubit เดียวชื่อ $\mathsf{X}$ ซึ่งแทนด้วยเส้นแนวนอน และลำดับของ gate ที่แทนการดำเนินการ unitary บน qubit นี้ เหมือนกับตัวอย่างข้างต้น การไหลของข้อมูลไปจากซ้ายไปขวา — ดังนั้นการดำเนินการแรกที่ทำคือ Hadamard การดำเนินการที่สองคือ $S$ การดำเนินการที่สามคือ Hadamard อีกครั้ง และการดำเนินการสุดท้ายคือ $T$ การใช้ circuit ทั้งหมดจึงใช้ composition ของการดำเนินการเหล่านี้ $T H S H$ กับ qubit $\mathsf{X}$

บางครั้งเราอาจต้องการระบุสถานะอินพุตหรืออินพุตของ circuit อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใช้การดำเนินการ $T H S H$ กับสถานะ $\vert 0\rangle$ เราจะได้สถานะ $\frac{1+i}{2}\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle.$ สามารถระบุได้ดังนี้:

Quantum circuit มักเริ่มต้นด้วย qubit ทั้งหมดที่ถูก initialize เป็น $\vert 0\rangle$ ดังที่เรามีในกรณีนี้ แต่ก็มีสถานการณ์ที่ qubit อินพุตถูกตั้งค่าเป็นสถานะที่แตกต่างกันในตอนแรก ต่อไปนี้เป็นอีกตัวอย่างของ quantum circuit คราวนี้มีสอง qubit:

ดังเสมอ Gate ที่มีป้าย $H$ หมายถึงการดำเนินการ Hadamard ในขณะที่ Gate ที่สองคือการดำเนินการ controlled-NOT: วงกลมเล็กๆ ทึบแทน qubit ควบคุม และวงกลมที่คล้ายสัญลักษณ์ $\oplus$ แสดง qubit เป้าหมาย

ก่อนที่จะตรวจสอบ circuit นี้อย่างละเอียดและอธิบายว่ามันทำอะไร เป็นสิ่งจำเป็นที่เราต้องชี้แจงก่อนว่า qubit ถูกจัดลำดับอย่างไรใน quantum circuit สิ่งนี้เชื่อมโยงกับ convention ที่ Qiskit ใช้สำหรับการตั้งชื่อและจัดลำดับระบบที่กล่าวถึงสั้นๆ ในบทเรียนก่อนหน้า

Convention การจัดลำดับ qubit ของ Qiskit สำหรับ circuit

ใน Qiskit qubit บนสุด ใน circuit diagram มีดัชนี $0$ และสอดคล้องกับตำแหน่ง ขวาสุด ใน tuple ของ qubit (หรือใน string, Cartesian product, หรือ tensor product ที่สอดคล้องกับ tuple นี้) qubit ที่สองจากบน มีดัชนี $1$ และสอดคล้องกับตำแหน่ง ที่สองจากขวา ใน tuple และเช่นนั้นต่อไป qubit ล่างสุด ซึ่งมีดัชนีสูงสุด จึงสอดคล้องกับตำแหน่ง ซ้ายสุด ใน tuple โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ชื่อเริ่มต้นของ Qiskit สำหรับ qubit ใน circuit แบบ $n$-qubit แทนด้วย $n$-tuple $(\mathsf{q_{n-1}},\ldots,\mathsf{q_{0}})$ โดย $\mathsf{q_{0}}$ อยู่บนสุดและ $\mathsf{q_{n-1}}$ อยู่ล่างสุดใน quantum circuit diagram

สังเกตว่านี่เป็นการกลับ convention ทั่วไปมากขึ้นสำหรับการจัดลำดับ qubit ใน circuit และเป็นแหล่งของความสับสนบ่อยครั้ง ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ convention การจัดลำดับนี้สามารถพบได้ในหน้าเอกสาร Bit-ordering in Qiskit

แม้ว่าบางครั้งเราจะออกจากชื่อเริ่มต้นเฉพาะ $\mathsf{q_{0}},\ldots,\mathsf{q_{n-1}}$ ที่ Qiskit ใช้สำหรับ qubit เราจะยึดตาม convention การจัดลำดับที่อธิบายข้างต้นเสมอเมื่อตีความ circuit diagram ตลอดคอร์สนี้ ดังนั้น การตีความ circuit ข้างต้นของเราคือมันอธิบายการดำเนินการบนคู่ qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ถ้าอินพุตของ circuit เป็นสถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle \otimes \vert\phi\rangle$ ตัวอย่างเช่น นั่นหมายความว่า qubit ล่าง $\mathsf{X}$ เริ่มต้นในสถานะ $\vert\psi\rangle$ และ qubit บน $\mathsf{Y}$ เริ่มต้นในสถานะ $\vert\phi\rangle$

เพื่อทำความเข้าใจว่า circuit ทำอะไร เราสามารถดำเนินการจากซ้ายไปขวาผ่านการดำเนินการของมัน

1. การดำเนินการแรกคือ Hadamard บน $\mathsf{Y}$:

   

   เมื่อใช้ gate กับ qubit เดียวเช่นนี้ ไม่มีอะไรเกิดขึ้นกับ qubit อื่นๆ (ซึ่งเป็นอีก qubit หนึ่งในกรณีนี้) ไม่มีอะไรเกิดขึ้นเทียบเท่ากับการดำเนินการ identity สี่เหลี่ยมผืนผ้าประในรูปข้างต้นจึงแทนการดำเนินการนี้:

   $$\mathbb{I}\otimes H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

   สังเกตว่า identity matrix อยู่ทางซ้ายของผลคูณ tensor และ $H$ อยู่ทางขวา ซึ่งสอดคล้องกับ convention การจัดลำดับของ Qiskit

2. การดำเนินการที่สองคือ controlled-NOT โดยมี $\mathsf{Y}$ เป็นตัวควบคุมและ $\mathsf{X}$ เป็นเป้าหมาย:

   

   การกระทำของ controlled-NOT gate บนสถานะฐานมาตรฐานเป็นดังนี้:

   

   เมื่อเราจัดลำดับ qubit เป็น $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ โดย $\mathsf{X}$ อยู่ล่างและ $\mathsf{Y}$ อยู่บนของ circuit การแทนเมทริกซ์ของ controlled-NOT gate คือ:

   $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

การดำเนินการ unitary ที่สร้างโดย circuit ทั้งหมด ซึ่งเราจะตั้งชื่อว่า $U$ คือ composition ของการดำเนินการ:

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อนึกถึง notation สำหรับสถานะ Bell

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 1 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 1 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 1 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 0 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 1 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 0 \rangle, \end{aligned}$$

เราพบว่า

$$\begin{aligned} U \vert 00\rangle & = \vert \phi^+\rangle\\ U \vert 01\rangle & = \vert \phi^-\rangle\\ U \vert 10\rangle & = \vert \psi^+\rangle\\ U \vert 11\rangle & = -\vert \psi^-\rangle. \end{aligned}$$

Circuit นี้จึงให้วิธีสร้างสถานะ $\vert\phi^+\rangle$ ถ้าเรารันมันบนสอง qubit ที่ initialize เป็น $\vert 00\rangle$ โดยทั่วไป มันให้วิธีแปลงฐานมาตรฐานไปเป็น Bell basis (สังเกตว่า แม้ว่ามันจะไม่สำคัญสำหรับตัวอย่างนี้ ปัจจัย $-1$ ของเฟสในสถานะสุดท้าย $-\vert \psi^-\rangle$ สามารถขจัดได้ถ้าต้องการโดยการเพิ่มเล็กน้อยใน circuit ตัวอย่างเช่น เราสามารถเพิ่ม controlled-$Z$ gate ที่จุดเริ่มต้น ซึ่งคล้ายกับ controlled-NOT gate ยกเว้นว่าการดำเนินการ $Z$ ถูกใช้กับ qubit เป้าหมายแทนที่จะเป็นการดำเนินการ NOT เมื่อตัวควบคุมถูกตั้งเป็น $1$ หรืออีกทางเลือกคือเพิ่ม swap gate ที่ท้าย ทั้งสองทางเลือกขจัดเครื่องหมายลบโดยไม่กระทบต่อการกระทำของ circuit บนสถานะฐานมาตรฐานอีกสามแบบ)

โดยทั่วไป quantum circuit สามารถมีสายควอนตัมจำนวนเท่าใดก็ได้ เรายังสามารถรวม สายบิตแบบคลาสสิก ด้วย ซึ่งแสดงด้วยเส้นคู่ เช่นในตัวอย่างนี้:

ที่นี่เรามี Hadamard gate และ controlled-NOT gate บนสอง qubit $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้า เรายังมีบิตแบบ คลาสสิก สองบิต $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ รวมถึง measurement gate สองอัน Measurement gate แทนการวัดฐานมาตรฐาน: qubit ถูกเปลี่ยนเป็นสถานะหลังการวัด ในขณะที่ผลการวัดถูก เขียนทับ ลงบนบิตแบบคลาสสิกที่ลูกศรชี้ไป

มักสะดวกที่จะแสดงการวัดเป็น gate ที่รับ qubit เป็นอินพุตและให้บิตแบบคลาสสิกเป็นอินพุต (แทนที่จะให้ qubit ในสถานะหลังการวัดเป็นอินพุตและเขียนผลลัพธ์ลงในบิตแบบคลาสสิกแยกต่างหาก) ซึ่งหมายความว่า qubit ที่วัดแล้วถูกละทิ้งและสามารถถูกละเลยได้อย่างปลอดภัยหลังจากนั้น โดยสถานะของมันเปลี่ยนเป็น $\vert 0\rangle$ หรือ $\vert 1\rangle$ ขึ้นอยู่กับผลการวัด

ตัวอย่างเช่น circuit diagram ต่อไปนี้แทนกระบวนการเดิมกับในแผนภาพก่อนหน้า แต่ที่เราไม่สนใจ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ หลังจากวัดพวกมัน:

เมื่อคอร์สดำเนินต่อไป เราจะเห็นตัวอย่างเพิ่มเติมของ quantum circuit ซึ่งโดยปกติซับซ้อนกว่าตัวอย่างง่ายๆ ข้างต้น ต่อไปนี้คือตัวอย่างสัญลักษณ์ที่ใช้แทน gate ที่ปรากฏบ่อยใน circuit diagram:

• Single-qubit gate โดยทั่วไปแสดงเป็นสี่เหลี่ยมพร้อมตัวอักษรระบุว่าเป็นการดำเนินการอะไร เช่นนี้:

  

  NOT gate (หรือ $X$ gate เทียบเท่า) ยังบางครั้งแสดงด้วยวงกลมรอบเครื่องหมายบวก:

  

• Swap gate แสดงดังนี้:

  

• Controlled-gate หมายถึง gate ที่อธิบายการดำเนินการ controlled-unitary แสดงด้วยวงกลมทึบ (ระบุตัวควบคุม) เชื่อมต่อด้วยเส้นแนวตั้งกับการดำเนินการที่ถูกควบคุม ตัวอย่างเช่น controlled-NOT gate, controlled-controlled-NOT (หรือ Toffoli) gate, และ controlled-swap (Fredkin) gate แสดงดังนี้:

  

• การดำเนินการ unitary ตามอำเภอใจบน qubit หลายตัวสามารถมองว่าเป็น gate แสดงด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีป้ายชื่อของการดำเนินการ unitary ตัวอย่างเช่น ต่อไปนี้คือการแสดงการดำเนินการ unitary $U$ (ที่ไม่ระบุ) เป็น gate พร้อมกับเวอร์ชัน controlled ของ gate นี้: