Threshold theorem

หัวข้อสุดท้ายของบทเรียนนี้คือทฤษฎีบทสำคัญมากที่รู้จักกันในชื่อ threshold theorem นี่คือการกล่าวถึงทฤษฎีบทนี้แบบไม่เป็นทางการนัก

ทฤษฎีบท

Threshold theorem: quantum circuit ที่มีขนาด $N$ สามารถ implement ได้อย่างแม่นยำสูงโดย noisy quantum circuit โดยมีเงื่อนไขว่าความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดที่แต่ละตำแหน่งใน noisy circuit ต้องต่ำกว่า threshold value ที่จำกัดและไม่เป็นศูนย์ $p_{\text{th}} > 0.$ ขนาดของ noisy circuit เพิ่มขึ้นเป็น $O(N \log^c(N))$ สำหรับค่าคงที่ $c$ ที่เป็นบวก

ในคำง่าย ๆ มันบอกว่าถ้าเรามี quantum circuit ใด ๆ ที่มี $N$ gates โดย $N$ สามารถใหญ่ได้เท่าที่ต้องการ ก็เป็นไปได้ที่จะ implement circuit นั้นอย่างแม่นยำสูงโดยใช้ noisy quantum circuit โดยมีเงื่อนไขว่าระดับสัญญาณรบกวนต่ำกว่า threshold value ที่กำหนดซึ่งเป็นอิสระจาก N ยิ่งไปกว่านั้น การทำสิ่งนี้ไม่แพงเกินไป ในแง่ที่ว่าขนาดของ noisy circuit ที่จำเป็นอยู่ในลำดับ $N$ คูณกับกำลังคงที่บางอย่างของ logarithm ของ $N$

การระบุทฤษฎีบทอย่างเป็นทางการกว่านี้ต้องการความเฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับ noise model ซึ่งจะไม่ทำในบทเรียนนี้ ตัวอย่างเช่น สามารถพิสูจน์สำหรับ independent stochastic noise model ที่กล่าวถึงก่อนหน้า ซึ่งข้อผิดพลาดเกิดขึ้นอย่างอิสระที่แต่ละตำแหน่งที่เป็นไปได้ใน circuit ด้วยความน่าจะเป็นที่น้อยกว่า threshold value อย่างเคร่งครัด แต่ยังพิสูจน์ได้สำหรับ noise models ที่ทั่วไปกว่าที่อาจมีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาด

นี่คือผลทางทฤษฎี และวิธีทั่วไปที่สุดในการพิสูจน์ไม่จำเป็นต้องนำไปสู่แนวทางปฏิบัติ แต่ก็มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากอย่างไรก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันสร้างว่าไม่มีอุปสรรคพื้นฐานในการดำเนินการคำนวณเชิงควอนตัมโดยใช้ส่วนประกอบที่มีสัญญาณรบกวน; ตราบใดที่อัตราข้อผิดพลาดสำหรับส่วนประกอบเหล่านี้ต่ำกว่า threshold value สามารถนำมาใช้สร้าง quantum circuits ที่น่าเชื่อถือของขนาดใด ๆ ได้ วิธีอื่นในการระบุความสำคัญของมันคือสังเกตว่า ถ้าทฤษฎีบทไม่เป็นความจริง คงยากที่จะจินตนาการว่าการคำนวณเชิงควอนตัมขนาดใหญ่จะกลายเป็นความจริงได้

มีรายละเอียดทางเทคนิคมากมายในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการของ (การกล่าวถึงอย่างเป็นทางการของ) ทฤษฎีบทนี้ และรายละเอียดเหล่านั้นจะไม่ถูกถ่ายทอดที่นี่ — แต่แนวคิดสำคัญยังสามารถอธิบายได้ในระดับ intuitive เพื่อให้การอธิบายนี้ง่ายที่สุด ลองจินตนาการว่าเราใช้ $7$-qubit Steane code สำหรับ error correction นี่จะเป็นทางเลือกที่ไม่ปฏิบัติสำหรับการ implement ทางกายภาพจริง — ดังที่จะสะท้อนด้วย threshold value $p_{\text{th}}$ ที่เล็กมาก — แต่ทำงานได้ดีในการถ่ายทอดแนวคิดหลัก การอธิบายนี้ยังจะค่อนข้างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับ noise model โดยสมมติว่าข้อผิดพลาดโจมตีแต่ละตำแหน่งใน fault-tolerant implementation อย่างอิสระด้วยความน่าจะเป็น $p$

ตอนนี้ ถ้าความน่าจะเป็น $p$ มากกว่าส่วนกลับของ $N$ ขนาดของ circuit ที่เราต้องการ implement โอกาสดีมากที่ข้อผิดพลาดจะโจมตีที่ไหนสักแห่ง ดังนั้น เราสามารถพยายามรัน fault-tolerant implementation ของ circuit นี้ตามที่กำหนดไว้ในบทเรียน จากนั้นเราอาจถามตัวเองคำถามที่แนะนำก่อนหน้า: สิ่งนี้ทำให้ดีขึ้นหรือแย่ลง?

ถ้าความน่าจะเป็น $p$ ของข้อผิดพลาดที่แต่ละตำแหน่งใหญ่เกินไป ความพยายามของเราจะไม่ช่วยและอาจทำให้แย่ลงด้วย เช่นเดียวกับ $9$-qubit Shor code ที่ไม่ช่วยถ้าความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดอยู่เหนือ 3.23% หรือประมาณนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง fault-tolerant implementation ใหญ่กว่า circuit เดิมของเราอย่างมาก ดังนั้นมีตำแหน่งที่ข้อผิดพลาดอาจโจมตีได้มากกว่ามาก

อย่างไรก็ตาม ถ้า $p$ เล็กพอ เราจะประสบความสำเร็จในการลดความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดสำหรับการคำนวณ logical ที่เราดำเนินการ (ในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ เราต้องระวังอย่างมากตรงนี้: ข้อผิดพลาดในการคำนวณ logical จะไม่จำเป็นต้องอธิบายได้อย่างแม่นยำด้วย noise model เดิม สิ่งนี้จริง ๆ แล้วเป็นแรงจูงใจสำหรับ noise models ที่อ่อนโยนน้อยกว่าที่ข้อผิดพลาดอาจไม่เป็นอิสระ — แต่เราจะกวาดรายละเอียดนี้ไว้ใต้พรมเพื่อการอธิบายนี้)

ในรายละเอียดมากขึ้น เพื่อให้เกิด logical error ใน circuit เดิม อย่างน้อยสองข้อผิดพลาดต้องอยู่ใน code block เดียวกันใน fault-tolerant implementation เนื่องจาก Steane code สามารถแก้ข้อผิดพลาดเดี่ยวใด ๆ ใน code block โดยคำนึงว่ามีวิธีต่าง ๆ มากมายที่จะมีสองข้อผิดพลาดขึ้นไปใน code block เดียวกัน เป็นไปได้ที่จะโต้แย้งว่าความน่าจะเป็น logical error ที่แต่ละตำแหน่งใน circuit เดิมอยู่ที่มากที่สุด $C p^2$ สำหรับจำนวนจริงบวกคงที่ $C$ ที่ขึ้นอยู่กับ code และ gadgets ที่เราใช้ แต่สำคัญคือไม่ขึ้นอยู่กับ $N$ ขนาดของ circuit เดิม ถ้า $p$ น้อยกว่า $1/C$ ซึ่งเป็นตัวเลขที่เราสามารถใช้เป็น threshold value $p_{\text{th}}$ สิ่งนี้แปลเป็นการลดข้อผิดพลาด

อย่างไรก็ตาม อัตราข้อผิดพลาดใหม่นี้อาจยังสูงเกินไปที่จะให้ circuit ทั้งหมดทำงานได้ถูกต้อง สิ่งที่เป็นธรรมชาติที่จะทำ ณ จุดนี้คือเลือก code และ gadgets ที่ดีกว่าเพื่อลดอัตราข้อผิดพลาดให้ถึงจุดที่การ implement น่าจะทำงานได้ ในทางทฤษฎี วิธีง่าย ๆ ในการโต้แย้งว่าสิ่งนี้เป็นไปได้คือการ concatenate กล่าวคือ เราสามารถคิดถึง fault-tolerant implementation ของ circuit เดิมราวกับเป็น quantum circuit อื่น ๆ แล้ว implement circuit ใหม่นี้แบบ fault-tolerant โดยใช้ scheme เดิม จากนั้นเราสามารถทำสิ่งนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่าตามจำนวนครั้งที่ต้องการเพื่อลดอัตราข้อผิดพลาดให้ถึงระดับที่ช่วยให้การคำนวณเดิมทำงานได้

เพื่อให้ได้แนวคิดคร่าว ๆ ว่าอัตราข้อผิดพลาดลดลงอย่างไรผ่านวิธีนี้ ลองพิจารณาการทำงานสำหรับสองสามรอบ สังเกตว่าการวิเคราะห์อย่างเข้มงวดต้องคำนึงถึงรายละเอียดทางเทคนิคต่าง ๆ ที่เราละเว้น

เราเริ่มต้นด้วยความน่าจะเป็นข้อผิดพลาด $p$ สำหรับตำแหน่งใน circuit เดิม สมมติว่า $p < p_{\text{th}} = 1/C$ อัตราข้อผิดพลาด logical สามารถ bound ได้ด้วย $Cp^2 = (Cp) p$ หลังจากรอบแรก โดยการปฏิบัติ fault-tolerant implementation เหมือน circuit อื่น ๆ และ implement มันแบบ fault-tolerant เราได้ bound บนอัตราข้อผิดพลาด logical ของ

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

รอบอีกครั้งจะลด error bound ลงอีก เป็น

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

การดำเนินการต่อในลักษณะนี้รวมทั้งหมด $k$ รอบจะให้อัตราข้อผิดพลาด logical (สำหรับ circuit เดิม) ที่ bound ด้วย

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

ซึ่งเป็น doubly exponential ใน $k$

ซึ่งหมายความว่าเราไม่ต้องการรอบมากเพื่อทำให้อัตราข้อผิดพลาดเล็กอย่างมาก ในขณะเดียวกัน circuits มีขนาดใหญ่ขึ้นในแต่ละระดับของ concatenation แต่ขนาดเพิ่มขึ้นเพียง singly exponential ในจำนวนระดับ $k$ เพราะในแต่ละระดับของ fault-tolerance ขนาดจะเพิ่มขึ้นมากที่สุดด้วยตัวคูณที่กำหนดโดยขนาดสูงสุดของ gadgets ที่ใช้ เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน และทำการเลือกที่เหมาะสมสำหรับจำนวนระดับ concatenation เราจะได้ threshold theorem

แล้ว threshold value นี้ในความเป็นจริงคือเท่าไร? คำตอบขึ้นอยู่กับ code และ gadgets ที่ใช้ สำหรับ Steane code ร่วมกับ magic state distillation มันเล็กมากและน่าจะไม่สามารถทำได้ในทางปฏิบัติ แต่ โดยใช้ surface codes และ gadgets ที่ทันสมัยที่สุด threshold ได้รับการประมาณว่าอยู่ในลำดับ 0.1% ถึง 1%

เมื่อ codes และวิธีการใหม่ ๆ ถูกค้นพบ เป็นเหตุผลที่จะคาดหวังว่า threshold value จะเพิ่มขึ้น ในขณะเดียวกัน ระดับสัญญาณรบกวนในส่วนประกอบทางกายภาพจริงจะลดลง การถึงจุดที่การคำนวณเชิงควอนตัมขนาดใหญ่สามารถ implement แบบ fault-tolerant ได้จะไม่ง่าย และจะไม่เกิดขึ้นในชั่วข้ามคืน แต่ทฤษฎีบทนี้ ร่วมกับความก้าวหน้าใน quantum codes และ quantum hardware ให้ความมองโลกในแง่ดีแก่เราขณะที่เรามุ่งมั่นเดินหน้าเพื่อบรรลุเป้าหมายสูงสุดในการสร้างคอมพิวเตอร์ควอนตัม fault-tolerant ขนาดใหญ่

แบบสำรวจหลังเรียน

ยินดีด้วยที่จบคอร์สนี้! กรุณาสละเวลาสักครู่เพื่อช่วยพัฒนาคอร์สโดยตอบแบบสำรวจสั้น ๆ ต่อไปนี้ ข้อมูลของคุณจะถูกนำไปใช้เพื่อปรับปรุงเนื้อหาและประสบการณ์การใช้งาน ขอบคุณ!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.