Pauli operations และ observables

Pauli matrices มีบทบาทสำคัญใน stabilizer formalism เราจะเริ่มบทด้วยการพูดถึง Pauli matrices รวมถึงคุณสมบัติเชิงพีชคณิตพื้นฐานบางอย่าง และเราจะพูดถึงด้วยว่า Pauli matrices (และ tensor products ของ Pauli matrices) สามารถอธิบาย measurements ได้อย่างไร

พื้นฐาน Pauli operations

นี่คือ Pauli matrices รวมถึง identity matrix $2\times 2$ และ Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity สามตัว

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

คุณสมบัติของ Pauli matrices

Pauli matrices ทั้งสี่ตัวเป็นทั้ง unitary และ Hermitian เราเคยใช้ชื่อ $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ และ $\sigma_z$ เพื่ออ้างถึง Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity ในบทก่อนหน้าของชุด แต่เป็นธรรมเนียมที่จะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ $X,$ $Y,$ และ $Z$ ในบริบทของการแก้ไขข้อผิดพลาดแทน ธรรมเนียมนี้ถูกใช้ในบทก่อนหน้าและเราจะทำเช่นนี้ต่อไปสำหรับบทที่เหลือ

Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity ต่างกัน anti-commute กัน

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

ความสัมพันธ์ anti-commutation เหล่านี้ง่ายและตรวจสอบได้ง่ายด้วยการคูณ แต่มีความสำคัญอย่างยิ่ง ทั้งใน stabilizer formalism และที่อื่น อย่างที่เราจะเห็น เครื่องหมายลบที่เกิดขึ้นเมื่อลำดับระหว่าง Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity สองตัวที่แตกต่างกันถูกสลับใน matrix product สอดคล้องกับการตรวจจับข้อผิดพลาดใน stabilizer formalism พอดี

เรายังมีกฎการคูณที่ระบุไว้ที่นี่

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

กล่าวคือ แต่ละ Pauli matrix เป็น inverse ของตัวมันเอง (ซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับ matrix ใด ๆ ที่เป็นทั้ง unitary และ Hermitian) และการคูณ Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity สองตัวที่ต่างกันเข้าด้วยกันมักเป็น $\pm i$ คูณกับ Pauli matrix ที่ไม่ใช่ identity ที่เหลือเสมอ โดยเฉพาะ ตาม phase factor $Y$ เทียบเท่ากับ $X Z$ ซึ่งอธิบายว่าทำไมเราจึงมุ่งเน้นที่ $X$ errors และ $Z$ errors และดูเหมือนไม่สนใจ $Y$ errors ในการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัม $X$ แทน bit-flip, $Z$ แทน phase-flip และ (ตาม global phase factor) $Y$ แทนทั้งสองข้อผิดพลาดเกิดขึ้นพร้อมกันบน qubit เดียวกัน

Pauli operations บน multiple qubits

Pauli matrices ทั้งสี่ตัวแทน operations (ซึ่งอาจเป็นข้อผิดพลาด) บน qubit เดียว — และการ tensor พวกมันเข้าด้วยกันทำให้ได้ operations บน multiple qubits เมื่อพูดถึง n-qubit Pauli operation เราหมายถึง tensor product ของ Pauli matrices จำนวน $n$ ตัวใด ๆ เช่นตัวอย่างที่แสดงที่นี่ ซึ่ง $n=9$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

บ่อยครั้ง คำว่า Pauli operation หมายถึง tensor product ของ Pauli matrices พร้อมกับ phase factor หรือบางครั้งเพียง phase factors บางตัวอย่างเช่น $\pm 1$ และ $\pm i$ มีเหตุผลดีในการอนุญาต phase factors แบบนี้จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ — แต่ เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายที่สุด เราจะใช้คำว่า Pauli operation ในคอร์สนี้เพื่ออ้างถึง tensor product ของ Pauli matrices โดยไม่มีความเป็นไปได้ของ phase factor ที่แตกต่างจาก 1

Weight ของ $n$-qubit Pauli operation คือจำนวน Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity ใน tensor product ตัวอย่างเช่น ตัวอย่างแรกด้านบนมี weight $0$ ตัวที่สองมี weight $2$ และตัวที่สามมี weight $6$ พูดอย่างสัญชาตญาณ weight ของ $n$-qubit Pauli operation คือจำนวน qubit ที่มันทำงานแบบ non-trivial เป็นเรื่องปกติที่โค้ดแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมถูกออกแบบมาเพื่อตรวจจับและแก้ไขข้อผิดพลาดที่แทนด้วย Pauli operations ตราบใดที่ weight ของมันไม่สูงเกินไป

Pauli operations ในฐานะ generators

บางครั้งมีประโยชน์ที่จะพิจารณาชุดของ Pauli operations ในฐานะ generators ของชุด (โดยเฉพาะ groups) ของ operations ในแง่พีชคณิตที่คุณอาจรู้จักหากคุ้นเคยกับ group theory ถ้าไม่คุ้นเคยกับ group theory ไม่เป็นไร — ไม่จำเป็นสำหรับบทนี้ อย่างไรก็ตาม ความคุ้นเคยกับพื้นฐาน group theory แนะนำอย่างยิ่งสำหรับผู้ที่สนใจสำรวจการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมในเชิงลึกยิ่งขึ้น

สมมติว่า $P_1, \ldots, P_r$ เป็น $n$-qubit Pauli operations เมื่อเราอ้างถึง ชุดที่สร้างจาก $P_1, \ldots, P_r$ เราหมายถึงชุดของ matrices ทั้งหมด ที่ได้จากการคูณ matrices เหล่านี้เข้าด้วยกัน ในลำดับหรือชุดค่าผสมใด ๆ ก็ได้ และนำแต่ละตัวมาใช้กี่ครั้งก็ได้ สัญกรณ์ที่ใช้อ้างถึงชุดนี้คือ $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle$

ตัวอย่างเช่น ชุดที่สร้างจาก Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity สามตัวมีดังนี้

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จากกฎการคูณที่ระบุไว้ก่อนหน้า มี matrices 16 ตัวที่แตกต่างกันในชุดนี้ ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่า Pauli group

สำหรับตัวอย่างที่สอง ถ้าลบ $Y$ ออก เราได้ครึ่งหนึ่งของ Pauli group

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

นี่คือตัวอย่างสุดท้าย (สำหรับตอนนี้) ซึ่งคราวนี้เรามี $n=2$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

ในกรณีนี้เราได้เพียงสี่ elements เนื่องจาก $X\otimes X$ และ $Z\otimes Z$ สับเปลี่ยนกันได้:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Pauli observables

Pauli matrices และ $n$-qubit Pauli operations โดยทั่วไปเป็น unitary และจึงอธิบาย unitary operations บน qubits แต่พวกมันยัง Hermitian matrices ด้วย และด้วยเหตุนี้จึงอธิบาย measurements ดังที่จะอธิบายต่อไป

Hermitian matrix observables

พิจารณา Hermitian matrix $A$ ใด ๆ ก่อน เมื่อเราอ้างถึง $A$ ในฐานะ observable เราเชื่อมโยงกับ $A$ ซึ่ง projective measurement ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนหนึ่งตัว พูดเป็นคำพูด ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ eigenvalues ที่แตกต่างกันของ $A$ และ projections ที่กำหนด measurement คือตัวที่ project ลงบน spaces ที่ span ด้วย eigenvectors ที่สอดคล้องของ $A$ ดังนั้น ผลลัพธ์สำหรับการวัดดังกล่าวจึงเป็นจำนวนจริง — แต่เนื่องจาก matrices มีเพียง eigenvalues จำนวนจำกัด จะมีเพียงผลลัพธ์การวัดที่แตกต่างกันจำนวนจำกัดสำหรับ $A$ ที่เลือก

โดยละเอียด จาก spectral theorem เป็นไปได้ที่จะเขียน

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

สำหรับ eigenvalues จำนวนจริงที่แตกต่าง $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ และ projections $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ ที่ตอบสนอง

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

expression ดังกล่าวของ matrix เป็น unique ตามลำดับของ eigenvalues อีกวิธีพูดคือ ถ้าเรายืนกรานว่า eigenvalues ถูกเรียงตามค่าที่ลดลง $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m$ ก็จะมีเพียงวิธีเดียวในการเขียน $A$ ในรูปแบบด้านบน

จากนิพจน์นี้ measurement ที่เราเชื่อมโยงกับ observable $A$ คือ projective measurement ที่อธิบายด้วย projections $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ และ eigenvalues $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ ถูกเข้าใจว่าเป็นผลลัพธ์การวัดที่สอดคล้องกับ projections เหล่านั้น

Measurements จาก Pauli operations

มาดูว่า measurements ประเภทที่พูดถึงมีลักษณะอย่างไรสำหรับ Pauli operations เริ่มด้วย Pauli matrices ที่ไม่ใช่ identity สามตัว Matrices เหล่านี้มี spectral decompositions ดังนี้

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

ดังนั้น measurements ที่กำหนดด้วย $X,$ $Y,$ และ $Z$ ที่มองเป็น observables คือ projective measurements ที่กำหนดด้วยชุด projections ต่อไปนี้ตามลำดับ

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

ในทุกสามกรณี ผลลัพธ์การวัดที่เป็นไปได้สองอย่างคือ eigenvalues $+1$ และ $-1$ measurements ดังกล่าวเรียกกันทั่วไปว่า $X$-measurements, $Y$-measurements และ $Z$-measurements เราพบ measurements เหล่านี้ในบท "General measurements" ของ "General formulation of quantum information" ซึ่งมันเกิดขึ้นในบริบทของ quantum state tomography

แน่นอน $Z$-measurement คือ standard basis measurement และ $X$ measurement คือ measurement เทียบกับ plus/minus basis ของ qubit — แต่ ตามที่ measurements เหล่านี้อธิบายที่นี่ เราถือว่า eigenvalues $+1$ และ $-1$ เป็นผลลัพธ์การวัดจริง

prescription เดียวกันสามารถทำตามสำหรับ Pauli operations บน $n\geq 2$ qubits แม้ว่าต้องเน้นว่ายังคงมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับ measurements ที่อธิบายด้วยวิธีนี้: $+1$ และ $-1$ ซึ่งเป็น eigenvalues ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่างของ Pauli operations สอง projections ที่สอดคล้องจะมี rank สูงกว่าหนึ่งในกรณีนี้ โดยละเอียดยิ่งขึ้น สำหรับ $n$-qubit Pauli operation ที่ไม่ใช่ identity ทุกตัว state space ขนาด $2^n$ มิติจะแบ่งเสมอเป็น subspaces ของ eigenvectors สองอันที่มีมิติเท่ากัน ดังนั้น projections สองอันที่กำหนด measurement ที่เชื่อมโยงจะมี rank $2^{n-1}$ ทั้งคู่

ดังนั้น measurement ที่อธิบายด้วย $n$-qubit Pauli operation ที่มองเป็น observable จึงไม่เหมือนกับการวัดเทียบกับ orthonormal basis ของ eigenvectors ของ operation นั้น และไม่เหมือนกับการวัด Pauli matrices ที่สอดคล้องแต่ละตัวแยกกัน ในฐานะ observables บน $n$ qubits ทั้งสองทางเลือกนั้นต้องการผลลัพธ์การวัด $2^n$ อย่าง แต่ที่นี่เรามีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ $+1$ และ $-1$

ตัวอย่างเช่น พิจารณา 2-qubit Pauli operation $Z\otimes Z$ ในฐานะ observable เราสามารถนำ tensor product ของ spectral decompositions มาใช้เพื่อได้ spectral decomposition ของ tensor product

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

กล่าวคือ เรามี $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ สำหรับ

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

ดังนั้นนี่คือ projections สองอันที่กำหนด measurement ตัวอย่างเช่น ถ้าเราวัด $\vert\phi^+\rangle$ Bell state อย่าง nondestructive โดยใช้ measurement นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ $+1$ อย่างแน่นอน และ state จะไม่เปลี่ยนแปลงจาก measurement นั้น โดยเฉพาะ state จะไม่ collapse เป็น $\vert 00\rangle$ หรือ $\vert 11\rangle$

การ implement แบบ nondestructive ผ่าน phase estimation

สำหรับ $n$-qubit Pauli operation ใด ๆ เราสามารถ perform measurement ที่เชื่อมโยงกับ observable นั้นแบบ nondestructive โดยใช้ phase estimation

นี่คือ Circuit ที่อาศัย phase estimation ที่ใช้ได้กับ Pauli matrix $P$ ใด ๆ โดยที่ measurement ถูกดำเนินการบน qubit บน ผลลัพธ์ $0$ และ $1$ ของ standard basis measurement ใน Circuit สอดคล้องกับ eigenvalues $+1$ และ $-1$ เหมือนที่เรามักมีสำหรับ phase estimation ที่มี control qubit หนึ่งตัว (สังเกตว่า control qubit อยู่ที่ด้านล่างในแผนภาพนี้ ในขณะที่ใน "Phase estimation and factoring" ของ "Fundamentals of quantum algorithms" control qubits ถูกวาดอยู่ด้านบน)

วิธีที่คล้ายกันใช้ได้กับ Pauli operations บน multiple qubits ตัวอย่างเช่น แผนภาพ Circuit ต่อไปนี้แสดง nondestructive measurement ของ $3$-qubit Pauli observable $P_2\otimes P_1\otimes P_0$ สำหรับ $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}$ ใด ๆ

วิธีนี้ขยายไปยัง $n$-qubit Pauli observables สำหรับ $n$ ใด ๆ ในทิศทางธรรมชาติ แน่นอน เราต้องรวม controlled-unitary gates สำหรับ tensor factors ของ Pauli observables ที่ ไม่ใช่ identity เท่านั้นเมื่อ implement measurements ดังกล่าวผ่านวิธีนี้ controlled-identity gates เป็นเพียง identity gates และจึงสามารถละไว้ได้ หมายความว่า Pauli observables ที่มี weight ต่ำกว่าต้องการ circuits ขนาดเล็กกว่าในการ implement ผ่านวิธีนี้

สังเกตว่า ไม่ว่า $n$ จะเป็นเท่าใด phase-estimation circuits เหล่านี้มีเพียง control qubit เดียว ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่ามีเพียงสองผลลัพธ์การวัดที่เป็นไปได้สำหรับ measurements เหล่านี้ การใช้ control qubits เพิ่มเติมจะไม่เปิดเผยข้อมูลเพิ่มเติมเพราะ measurements เหล่านี้สมบูรณ์แบบอยู่แล้วด้วย control qubit เดียว (วิธีหนึ่งที่จะเห็นสิ่งนี้โดยตรงจากขั้นตอนทั่วไปสำหรับ phase estimation: สมมติฐาน $U^2 = \mathbb{I}$ ทำให้ control qubits เพิ่มเติมใด ๆ ที่เกินตัวแรกไม่มีประโยชน์)

นี่คือตัวอย่างเฉพาะของ nondestructive implementation ของ $Z\otimes Z$ measurement ซึ่งเกี่ยวข้องกับคำอธิบาย 3-bit repetition code ในฐานะ stabilizer code ที่เราจะเห็นในไม่ช้า

ในกรณีนี้ และสำหรับ tensor products ของ $Z$ observables มากกว่าสองตัวโดยทั่วไป Circuit สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้

ดังนั้น measurement นี้เทียบเท่ากับการวัด parity (หรือ XOR) ของ standard basis states ของ qubit สองตัวแบบ nondestructive