Repetition code ทบทวนใหม่

ต่อมา เราจะมองดู 3-bit repetition code อีกครั้ง คราวนี้ในแง่ของ Pauli operations นี่จะเป็นตัวอย่างแรกของ stabilizer code

Pauli observables สำหรับ repetition code

จำไว้ว่าเมื่อเรานำ 3-bit repetition code ไปใช้กับ qubits state vector ของ qubit ที่กำหนด $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ จะถูก encode เป็น

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

state ใด ๆ $\vert\psi\rangle$ ในรูปแบบนี้คือ 3-qubit encoding ที่ถูกต้องของ qubit state — แต่ถ้ามี state ที่เราไม่แน่ใจ เราสามารถตรวจสอบว่ามี encoding ที่ถูกต้องโดยตรวจสอบสมการสองข้อต่อไปนี้

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

สมการแรกระบุว่าการนำ $Z$ operations ไปใช้กับ qubits สองตัวซ้ายสุดของ $\vert\psi\rangle$ ไม่มีผล ซึ่งก็คือ $\vert\psi\rangle$ เป็น eigenvector ของ $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ ที่มี eigenvalue $1$ สมการที่สองคล้ายกันยกเว้น $Z$ operations ถูกนำไปใช้กับ qubits สองตัวขวาสุด แนวคิดคือ ถ้าเราคิดถึง $\vert\psi\rangle$ ในฐานะ linear combination ของ standard basis states สมการแรกหมายความว่าเราสามารถมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะสำหรับ standard basis states ที่สอง bits ซ้ายสุดมี parity คู่ (หรือพูดอีกอย่างคือเท่ากัน) และสมการที่สองหมายความว่าเราสามารถมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะสำหรับ standard basis states ที่สอง bits ขวาสุดมี parity คู่

หรือถ้ามอง Pauli operations $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ และ $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ ในฐานะ observables และวัดทั้งสองด้วย circuits ที่แนะนำไว้ตอนท้ายของส่วนก่อนหน้า เราจะได้ผลการวัดที่สอดคล้องกับ $+1$ eigenvalues อย่างแน่นอน เพราะ $\vert\psi\rangle$ เป็น eigenvector ของทั้งสอง observables ที่มี eigenvalue $1$ แต่เวอร์ชันที่ลดรูปของ circuit (ที่รวมกัน) สำหรับวัด observables ทั้งสองอย่างเป็นอิสระต่อกัน ดังที่แสดงนี้ ก็คือ parity check circuit สำหรับ 3-bit repetition code นั่นเอง

สมการสองข้อด้านบนจึงหมายความว่า parity check circuit ให้ผล $00$ ซึ่งเป็น syndrome ที่บ่งบอกว่าไม่พบข้อผิดพลาด

3-qubit Pauli operations $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ และ $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ เรียกว่า stabilizer generators สำหรับโค้ดนี้ และ stabilizer ของโค้ดคือชุดที่สร้างจาก stabilizer generators

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Stabilizer เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอย่างยิ่งของโค้ดนี้ และเราจะพูดถึงบทบาทของมันในส่วนถัดไปของบทเรียน สำหรับตอนนี้ สังเกตว่าเราอาจเลือก generators และ parity checks ที่สอดคล้องต่างออกไปได้ โดยเฉพาะโดยนำ $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ แทน generators ใดตัวหนึ่งที่เราเลือก แต่ stabilizer และโค้ดเองจะไม่เปลี่ยนแปลง

การตรวจจับข้อผิดพลาด

ต่อมา เราจะพิจารณาการตรวจจับ bit-flip สำหรับ 3-bit repetition code โดยมุ่งเน้นที่การโต้ตอบและความสัมพันธ์ระหว่าง Pauli operations ที่เกี่ยวข้อง: stabilizer generators และข้อผิดพลาดเอง

สมมติว่าเราได้ encode qubit โดยใช้ 3-bit repetition code และเกิด bit-flip error บน qubit ซ้ายสุด สิ่งนี้ทำให้ state $\vert\psi\rangle$ ถูกแปลงตาม action ของ $X$ operation (หรือ $X$ error)

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

ข้อผิดพลาดนี้สามารถตรวจจับได้โดยดำเนินการ parity checks สำหรับ 3-bit repetition code ดังที่พูดถึงในบทก่อนหน้า ซึ่งเทียบเท่ากับการวัด stabilizer generators $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ และ $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ ในฐานะ observables แบบ nondestructive

มาเริ่มด้วย stabilizer generator ตัวแรก State $\vert\psi\rangle$ ได้รับผลจาก $X$ error บน qubit ซ้ายสุด และเป้าหมายของเราคือเข้าใจว่า measurement ของ stabilizer generator นี้ในฐานะ observable ได้รับอิทธิพลจากข้อผิดพลาดนี้อย่างไร เนื่องจาก $X$ และ $Z$ anti-commute ในขณะที่ matrix ทุกตัว commute กับ identity matrix จึงตามมาว่า $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ anti-commutes กับ $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}$ ในขณะเดียวกัน เนื่องจาก $\vert\psi\rangle$ เป็น encoding ที่ถูกต้องของ qubit $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ ทำงาน trivially บน $\vert\psi\rangle$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

ดังนั้น $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ เป็น eigenvector ของ $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ ที่มี eigenvalue $-1$ เมื่อดำเนิน measurement ที่เชื่อมโยงกับ observable $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ บน state $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ ผลลัพธ์จึงแน่นอนว่าเป็นอันที่เชื่อมโยงกับ eigenvalue $-1$

การอนุมานที่คล้ายกันสามารถนำไปใช้กับ stabilizer generator ตัวที่สองได้ แต่คราวนี้ข้อผิดพลาด commute กับ stabilizer generator แทนที่จะ anti-commute ดังนั้นผลลัพธ์สำหรับ measurement นี้คืออันที่เชื่อมโยงกับ eigenvalue $+1$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

สิ่งที่เราพบเมื่อพิจารณาสมการเหล่านี้คือ ไม่ว่า state เดิม $\vert\psi\rangle$ จะเป็นอะไร state ที่เสียหายเป็น eigenvector ของทั้งสอง stabilizer generators และว่า eigenvalue เป็น $+1$ หรือ $-1$ ถูกกำหนดโดยว่า ข้อผิดพลาด commute หรือ anti-commute กับ stabilizer generator แต่ละตัว สำหรับข้อผิดพลาดที่แทนด้วย Pauli operations มันจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งเสมอ เพราะ Pauli operations สองตัวใด ๆ commute หรือ anti-commute กัน ในขณะเดียวกัน state จริง $\vert\psi\rangle$ ไม่มีบทบาทสำคัญ ยกเว้นข้อเท็จจริงที่ว่า stabilizer generators ทำงาน trivially บน state นี้

ด้วยเหตุนี้ เราไม่จำเป็นต้องกังวลโดยทั่วไปเกี่ยวกับ encoded state เฉพาะที่เราทำงานด้วย สิ่งที่สำคัญคือว่าข้อผิดพลาด commute หรือ anti-commute กับ stabilizer generator แต่ละตัว โดยเฉพาะ นี่คือสมการที่เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดเฉพาะนี้สำหรับโค้ดนี้

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

นี่คือตารางที่มีหนึ่งแถวต่อ stabilizer generator หนึ่งตัวและหนึ่งคอลัมน์ต่อข้อผิดพลาดหนึ่งอย่าง entry ในตารางเป็น $+1$ หรือ $-1$ ขึ้นอยู่กับว่าข้อผิดพลาดและ stabilizer generator commute หรือ anti-commute กัน ตารางรวมเฉพาะคอลัมน์สำหรับข้อผิดพลาดที่สอดคล้องกับ bit-flip เดียว รวมถึงกรณีที่ไม่มีข้อผิดพลาดเลย ซึ่งอธิบายด้วย identity tensor กับตัวมันเองสามครั้ง เราอาจเพิ่มคอลัมน์สำหรับข้อผิดพลาดอื่น ๆ ได้ แต่ตอนนี้เราจะมุ่งเน้นที่ข้อผิดพลาดเหล่านี้เท่านั้น

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

สำหรับข้อผิดพลาดแต่ละอย่างในตาราง คอลัมน์ที่สอดคล้องจึงเปิดเผยว่าข้อผิดพลาดนั้นแปลง encoding ใด ๆ ให้เป็น eigenvector $+1$ หรือ $-1$ ของ stabilizer generator แต่ละตัวอย่างไร หรือพูดอีกอย่างคือ คอลัมน์อธิบาย syndrome ที่เราจะได้จาก parity checks ซึ่งเทียบเท่ากับการวัด stabilizer generators ในฐานะ observables แบบ nondestructive แน่นอน ตารางมี entries $+1$ และ $-1$ แทน $0$ และ $1$ — และเป็นเรื่องปกติที่จะคิดถึง syndrome ในฐานะ binary string แทนที่จะเป็น vector ของ entries $+1$ และ $-1$ — แต่เราสามารถมอง vectors ที่มี entries $+1$ และ $-1$ เหล่านี้เป็น syndromes เช่นกันเพื่อเชื่อมต่อพวกมันโดยตรงกับ eigenvalues ของ stabilizer generators โดยทั่วไป syndromes บอกบางอย่างเกี่ยวกับข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น และถ้าเรารู้ว่าข้อผิดพลาดหนึ่งในสี่อย่างที่ระบุในตารางเกิดขึ้น syndrome บอกว่าอันไหน

Syndromes

Encodings สำหรับ 3-bit repetition code เป็น 3-qubit states ดังนั้นเป็น unit vectors ใน complex vector space 8 มิติ สี่ syndromes ที่เป็นไปได้แบ่ง space 8 มิตินี้ออกเป็น 4 subspaces ขนาด 2 มิติ โดยที่ quantum state vectors ใน subspace แต่ละอันให้ syndrome เดียวกันเสมอ แผนภาพต่อไปนี้แสดงโดยเฉพาะว่า space 8 มิติถูกแบ่งโดย stabilizer generators สองตัวอย่างไร

Stabilizer generator แต่ละตัวแบ่ง space เป็น subspaces ขนาดเท่ากันสองอัน คือ space ของ $+1$ eigenvectors และ space ของ $-1$ eigenvectors สำหรับ observable นั้น ตัวอย่างเช่น $+1$ eigenvectors ของ $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ เป็น linear combinations ของ standard basis states ที่สอง bits ซ้ายสุดมี parity คู่ และ $-1$ eigenvectors เป็น linear combinations ของ standard basis states ที่สอง bits ซ้ายสุดมี parity คี่ สถานการณ์คล้ายกันสำหรับ stabilizer generator ตัวอื่น ยกเว้นว่าสำหรับตัวนี้เป็นสอง bits ขวาสุดแทนที่จะเป็นสอง bits ซ้ายสุด

สี่ subspaces 2 มิติที่สอดคล้องกับสี่ syndromes ที่เป็นไปได้อธิบายได้ง่ายในกรณีนี้ เนื่องจากโค้ดนี้เรียบง่ายมาก โดยเฉพาะ subspace ที่สอดคล้องกับ syndrome $(+1,+1)$ คือ space ที่ span ด้วย $\vert 000\rangle$ และ $\vert 111\rangle$ ซึ่งคือ space ของ valid encodings (หรือที่รู้จักกันในชื่อ code space) และโดยทั่วไป spaces ถูก span ด้วย standard basis ที่แสดงในช่องสี่เหลี่ยมที่สอดคล้อง

Syndromes ยังแบ่ง Pauli operations 3-qubit ทั้งหมดออกเป็น 4 ชุดขนาดเท่ากัน ขึ้นอยู่กับ syndrome ที่ operation นั้น (ในฐานะ error) จะก่อให้เกิด ตัวอย่างเช่น Pauli operation ใด ๆ ที่ commute กับทั้งสอง stabilizer generators ให้ syndrome $(+1,+1)$ และในจำนวน 64 3-qubit Pauli operations ที่เป็นไปได้ มีอยู่พอดี 16 ตัวในหมวดนี้ (รวมถึง $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z,$ และ $X\otimes X\otimes X$ เป็นต้น) และเช่นเดียวกันสำหรับอีกสาม syndromes

คุณสมบัติทั้งสองนี้ — ที่ syndromes แบ่งทั้ง state space ที่ encodings อาศัยอยู่และ Pauli operations ทั้งหมดบน space นั้นออกเป็นชุดขนาดเท่ากัน — เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับ stabilizer codes ซึ่งเราจะนิยามอย่างแม่นยำในส่วนถัดไป

แม้ว่าจะเป็นเรื่องข้าง ๆ ในจุดนี้ แต่ควรกล่าวถึงว่า Pauli operations ที่ commute กับ ทั้งสอง stabilizer generators หรือพูดอีกอย่างคือ Pauli operations ที่ให้ syndrome $(+1,+1)$ แต่ตัวมันเองไม่ proportional กับ elements ของ stabilizer กลายเป็นว่าทำตัวเหมือน single-qubit Pauli operations บน encoded qubit (กล่าวคือ logical qubit) สำหรับโค้ดนี้ ตัวอย่างเช่น $X\otimes X \otimes X$ commute กับทั้งสอง stabilizer generators แต่ตัวมันเองไม่ proportional กับ element ใดใน stabilizer และอันที่จริงผลของ operation นี้บน encoding เทียบเท่ากับ $X$ gate บน logical qubit ที่ถูก encode

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

อีกครั้ง นี่คือปรากฏการณ์ที่ขยายไปสู่ stabilizer codes ทั้งหมด