รูปแบบทางคณิตศาสตร์ของการวัด

บทเรียนนี้เริ่มต้นด้วยคำอธิบายทางคณิตศาสตร์สองแบบที่เทียบเท่ากันของการวัด:

1. การวัดทั่วไปสามารถอธิบายได้ด้วย กลุ่มของเมทริกซ์ หนึ่งเมทริกซ์ต่อหนึ่งผลลัพธ์การวัด ในลักษณะที่ขยายขอบเขตจากคำอธิบายของการวัดแบบโปรเจกทีฟ

2. การวัดทั่วไปสามารถอธิบายได้ในฐานะ แชนแนล ที่ผลลัพธ์เป็นสถานะคลาสสิกเสมอ (แทนด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นแนวทแยง)

เราจะจำกัดความสนใจไว้กับการวัดที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดเท่านั้น แม้ว่าจะสามารถนิยามการวัดที่มีผลลัพธ์ไม่จำกัดจำนวนได้ แต่ในบริบทของการคำนวณและการประมวลผลสารสนเทศนั้นพบได้น้อยกว่ามาก และยังต้องใช้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม (นั่นคือทฤษฎีการวัด) เพื่อทำให้เป็นรูปแบบที่เข้มงวด

โดยเริ่มแรกเราจะมุ่งเน้นที่การวัดแบบ ทำลาย (destructive) ซึ่งผลลัพธ์ของการวัดคือผลลัพธ์คลาสสิกเพียงอย่างเดียว โดยไม่มีการระบุสถานะควอนตัมหลังการวัดของระบบที่ถูกวัด ในแง่สัญชาตญาณ เราอาจนึกภาพว่าการวัดนั้นทำลายระบบควอนตัมเองหรือระบบถูกทิ้งทันทีหลังจากการวัดเสร็จสิ้น ต่อไปในบทเรียนเราจะขยายมุมมองไปพิจารณาการวัดแบบ ไม่ทำลาย (non-destructive) ซึ่งมีทั้งผลลัพธ์คลาสสิกและสถานะควอนตัมหลังการวัดของระบบที่ถูกวัด

การวัดในฐานะกลุ่มของเมทริกซ์

สมมติว่า $\mathsf{X}$ คือระบบที่ต้องการวัด และเพื่อความง่าย สมมติว่าเซตสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ คือ $\{0,\ldots, n-1\}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ดังนั้นเมทริกซ์ความหนาแน่นที่แทนสถานะควอนตัมของ $\mathsf{X}$ จะเป็นเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ มากนัก แต่จะสะดวกในการอ้างอิงถึง $n$ ซึ่งคือจำนวนสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ นอกจากนี้สมมติว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดคือจำนวนเต็ม $0,\ldots,m-1$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$

ขอให้สังเกตว่าเราใช้ชื่อเหล่านี้เพื่อความเรียบง่าย เราสามารถขยายทุกอย่างต่อจากนี้ไปใช้กับเซตจำกัดอื่น ๆ ของสถานะคลาสสิกและผลลัพธ์การวัดได้อย่างตรงไปตรงมา โดยเปลี่ยนชื่อตามต้องการ

การวัดแบบโปรเจกทีฟ

ขอทบทวนว่า การวัดแบบโปรเจกทีฟ คือการวัดที่อธิบายด้วยกลุ่มของ เมทริกซ์โปรเจกชัน ที่รวมกันได้เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ในสัญลักษณ์คณิตศาสตร์

$$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$$

อธิบายการวัดแบบโปรเจกทีฟของ $\mathsf{X}$ ถ้าแต่ละ $\Pi_a$ เป็นเมทริกซ์โปรเจกชันขนาด $n\times n$ และเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

เมื่อทำการวัดดังกล่าวกับระบบ $\mathsf{X}$ ที่อยู่ในสถานะที่อธิบายด้วยเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ผลลัพธ์แต่ละค่า $a$ จะได้รับด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ $\|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2$ นอกจากนี้ สถานะหลังการวัดของ $\mathsf{X}$ ได้จากการนอร์มัลไลซ์เวกเตอร์ $\Pi_a\vert\psi\rangle$ แต่เราจะข้ามสถานะหลังการวัดไปก่อน

ถ้าสถานะของ $\mathsf{X}$ อธิบายด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ แทนที่จะเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ $a$ สามารถเขียนได้อีกแบบว่า $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$

ถ้า $\rho = \vert \psi\rangle\langle\psi\vert$ เป็นสถานะบริสุทธิ์ ทั้งสองนิพจน์จะเท่ากัน:

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi\rangle\langle\psi \vert) = \langle \psi \vert \Pi_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Pi_a \Pi_a \vert \psi \rangle = \|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$$

ที่นี่เราใช้สมบัติวัฏจักรของเทรซสำหรับความเท่ากันที่สอง และสำหรับความเท่ากันที่สามเราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าแต่ละ $\Pi_a$ เป็นเมทริกซ์โปรเจกชัน ดังนั้นจึงเป็นไปตาม $\Pi_a^2 = \Pi_a$

โดยทั่วไป ถ้า $\rho$ คือการรวมแบบคอนเวกซ์

$$\rho = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k \vert$$

ของสถานะบริสุทธิ์ นิพจน์ $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$ จะตรงกับความน่าจะเป็นเฉลี่ยของผลลัพธ์ $a$ เนื่องจากนิพจน์นี้เป็นเชิงเส้นใน $\rho$

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k\vert) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \|\Pi_a\vert\psi_k\rangle\|^2$$

การวัดทั่วไป

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์สำหรับการวัดทั่วไปได้มาจากการผ่อนคลายนิยามของการวัดแบบโปรเจกทีฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราอนุญาตให้เมทริกซ์ในกลุ่มที่อธิบายการวัดเป็นเมทริกซ์ กึ่งบวกแน่นอน (positive semidefinite) โดยทั่วไป แทนที่จะเป็นโปรเจกชัน (โปรเจกชันเป็นกึ่งบวกแน่นอนเสมอ สามารถนิยามอีกแบบได้ว่าเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอนที่มีค่าไอเกนทั้งหมดเป็น 0 หรือ 1 เท่านั้น)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวัดทั่วไปของระบบ $\mathsf{X}$ ที่มีผลลัพธ์ $0,\ldots,m-1$ ระบุด้วยกลุ่มของเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอน $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ซึ่งแถวและคอลัมน์สอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ และเป็นไปตามเงื่อนไข

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

ถ้าระบบ $\mathsf{X}$ ถูกวัดในขณะที่อยู่ในสถานะที่อธิบายด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ แต่ละผลลัพธ์ $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ จะปรากฏด้วยความน่าจะเป็น $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$

ตามที่เราต้องการโดยธรรมชาติ เวกเตอร์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์

$$\bigl(\operatorname{Tr}(P_0 \rho),\ldots,\operatorname{Tr}(P_{m-1} \rho)\bigr)$$

ของการวัดทั่วไปจะเป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็นเสมอ สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ ใด ๆ ข้อสังเกตสองข้อต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นเช่นนั้น

1. ค่าแต่ละค่า $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ ต้องไม่ติดลบ เนื่องจากเทรซของผลคูณของเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอนสองตัวนั้นไม่ติดลบเสมอ:

   $$Q, R \geq 0 \; \Rightarrow \: \operatorname{Tr}(QR) \geq 0.$$

   วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้คือใช้การสลายแบบสเปกตรัมของ $Q$ และ $R$ ร่วมกับสมบัติวัฏจักรของเทรซเพื่อแสดงเทรซของผลคูณ $QR$ ในรูปผลรวมของจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ ซึ่งต้องไม่ติดลบ

2. เงื่อนไข $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ ร่วมกับสมบัติเชิงเส้นของเทรซทำให้ความน่าจะเป็นรวมกันได้ 1

   $$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) = \operatorname{Tr}\Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \rho\Biggr) = \operatorname{Tr}(\mathbb{I}\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

ตัวอย่างที่ 1: การวัดแบบโปรเจกทีฟใด ๆ

โปรเจกชันเป็นกึ่งบวกแน่นอนเสมอ ดังนั้นการวัดแบบโปรเจกทีฟทุกแบบเป็นตัวอย่างของการวัดทั่วไป

ตัวอย่างเช่น การวัดเบสมาตรฐานของ Qubit สามารถแทนด้วย $\{P_0,P_1\}$ ที่

$$P_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad P_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

การวัด Qubit ในสถานะ $\rho$ ให้ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ดังนี้

$$\begin{aligned} \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 0) & = \operatorname{Tr}(P_0 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho\bigr) = \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle \\[1mm] \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 1) & = \operatorname{Tr}(P_1 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\rho\bigr) = \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

ตัวอย่างที่ 2: การวัด Qubit แบบไม่โปรเจกทีฟ

สมมติว่า $\mathsf{X}$ คือ Qubit และนิยามเมทริกซ์สองตัวดังนี้

$$P_0 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \qquad P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

ทั้งสองเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอน: เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน และในทั้งสองกรณีค่าไอเกนคือ $1/2 \pm \sqrt{5}/6$ ซึ่งเป็นบวกทั้งคู่ นอกจากนี้ $P_0 + P_1 = \mathbb{I}$ ดังนั้น $\{P_0,P_1\}$ อธิบายการวัดหนึ่ง

ถ้าสถานะของ $\mathsf{X}$ อธิบายด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ และเราทำการวัดนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ $0$ คือ $\operatorname{Tr}(P_0 \rho)$ และความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ $1$ คือ $\operatorname{Tr}(P_1 \rho)$ ตัวอย่างเช่น ถ้า $\rho = \vert + \rangle \langle + \vert$ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ $0$ และ $1$ มีดังนี้

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}(P_0 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\\[4mm] \operatorname{Tr}(P_1 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

ตัวอย่างที่ 3: การวัดแบบทรงสี่หน้า

นิยามเวกเตอร์สถานะควอนตัม Qubit เดี่ยวสี่ตัวดังนี้

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert\phi_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_2\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_3\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1\rangle \end{aligned}$$

สถานะทั้งสี่นี้บางครั้งเรียกว่า สถานะทรงสี่หน้า (tetrahedral states) เพราะเป็นจุดยอดของ ทรงสี่หน้าปกติ (regular tetrahedron) ที่แนบในทรงกลมบลอค

พิกัดคาร์ทีเซียนของสถานะทั้งสี่นี้บนทรงกลมบลอคคือ

$$(0,0,1),\\[2mm] \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} , 0 , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , \sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , -\sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),$$

ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการแสดงเมทริกซ์ความหนาแน่นของสถานะเหล่านี้ในรูปการรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์เพาลี

$$\vert \phi_0 \rangle\langle \phi_0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_1 \rangle\langle \phi_1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_2 \rangle\langle \phi_2 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x + \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_3 \rangle\langle \phi_3 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$

สถานะทั้งสี่นี้กระจายตัวอย่างสมบูรณ์แบบบนทรงกลมบลอค โดยแต่ละสถานะอยู่ห่างจากสามสถานะที่เหลือเท่ากัน และมุมระหว่างสถานะสองสถานะใด ๆ จะเท่ากันเสมอ

ตอนนี้ให้นิยามการวัด $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ ของ Qubit โดยกำหนด $P_a$ ดังนี้สำหรับแต่ละ $a=0,\ldots,3$

$$P_a = \frac{\vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert}{2}$$

เราสามารถตรวจสอบว่านี่เป็นการวัดที่ถูกต้องดังนี้

1. แต่ละ $P_a$ เป็นกึ่งบวกแน่นอนอย่างชัดเจน เนื่องจากเป็นสถานะบริสุทธิ์หารด้วยหนึ่งในสอง กล่าวคือ แต่ละตัวเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและมีค่าไอเกนหนึ่งค่าเท่ากับ $1/2$ และค่าไอเกนอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์

2. ผลรวมของเมทริกซ์เหล่านี้คือเมทริกซ์เอกลักษณ์: $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = \mathbb{I}$ การแสดงเมทริกซ์เหล่านี้ในรูปการรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์เพาลีทำให้การตรวจสอบนี้เป็นเรื่องง่าย

การวัดในฐานะแชนแนล

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายการวัดในเชิงคณิตศาสตร์คือในฐานะแชนแนล

สารสนเทศคลาสสิกสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของสารสนเทศควอนตัม เนื่องจากเราสามารถระบุสถานะความน่าจะเป็นด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นแนวทแยงได้ ดังนั้น ในแง่ของการปฏิบัติ เราสามารถมองการวัดเป็นแชนแนลที่รับอินพุตเป็นเมทริกซ์ที่อธิบายสถานะของระบบที่กำลังวัด และผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นแนวทแยง ที่อธิบายการแจกแจงของผลลัพธ์การวัด

เราจะเห็นในไม่ช้าว่าแชนแนลใด ๆ ที่มีคุณสมบัตินี้สามารถเขียนในรูปแบบแคโนนิกาลที่เรียบง่ายซึ่งเชื่อมโยงโดยตรงกับคำอธิบายของการวัดในฐานะกลุ่มของเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอน ในทางกลับกัน สำหรับการวัดทั่วไปที่กำหนดเป็นกลุ่มของเมทริกซ์ มีแชนแนลที่ถูกต้องเสมอซึ่งมีคุณสมบัติเอาต์พุตแนวทแยงที่อธิบายการวัดที่กำหนดตามที่แนะนำในย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อนำข้อสังเกตเหล่านี้มารวมกัน เราพบว่าการอธิบายสองแบบของการวัดทั่วไปนั้นเทียบเท่ากัน

ก่อนดำเนินการต่อ ให้เราระบุอย่างแม่นยำมากขึ้นเกี่ยวกับการวัด วิธีที่เรามองว่าเป็นแชนแนล และสมมติฐานที่เราใช้

เช่นเดิม เราสมมติว่า $\mathsf{X}$ คือระบบที่จะวัด และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดคือจำนวนเต็ม $0,\ldots,m-1$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ เราให้ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่เก็บผลลัพธ์การวัด ดังนั้นเซตสถานะคลาสสิกของมันคือ $\{0,\ldots,m-1\}$ และเราแทนการวัดเป็นแชนแนลชื่อ $\Phi$ จาก $\mathsf{X}$ ไปยัง $\mathsf{Y}$ สมมติฐานของเราคือ $\mathsf{Y}$ เป็น คลาสสิก — กล่าวคือไม่ว่าจะเริ่มต้นด้วยสถานะใดสำหรับ $\mathsf{X}$ สถานะของ $\mathsf{Y}$ ที่ได้จะแทนด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นแนวทแยงเสมอ

เราสามารถแสดงในเชิงคณิตศาสตร์ว่าเอาต์พุตของ $\Phi$ เป็นแนวทแยงเสมอได้ดังนี้ ก่อนอื่นนิยามแชนแนลดีเฟสโดยสมบูรณ์ $\Delta_m$ บน $\mathsf{Y}$

$$\Delta_m(\sigma) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \sigma \vert a\rangle \,\vert a\rangle\langle a\vert$$

แชนแนลนี้คล้ายกับแชนแนลดีเฟส Qubit โดยสมบูรณ์ $\Delta$ จากบทเรียนก่อนหน้า ในฐานะการแมปเชิงเส้น มันจะทำให้รายการนอกแนวทแยงทั้งหมดของเมทริกซ์อินพุตกลายเป็นศูนย์และปล่อยให้แนวทแยงอยู่ตามเดิม

และตอนนี้ วิธีง่าย ๆ ในการแสดงว่าเมทริกซ์ความหนาแน่น $\sigma$ ที่กำหนดเป็นแนวทแยงคือสมการ $\sigma = \Delta_m(\sigma)$ พูดอีกแบบคือ การทำให้รายการนอกแนวทแยงทั้งหมดของเมทริกซ์ความหนาแน่นกลายเป็นศูนย์ไม่มีผลก็ต่อเมื่อรายการนอกแนวทแยงทั้งหมดเป็นศูนย์อยู่แล้ว ดังนั้นแชนแนล $\Phi$ จึงเป็นไปตามสมมติฐานของเรา — ว่า $\mathsf{Y}$ เป็นคลาสสิก — ก็ต่อเมื่อ

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ ทุกตัวที่แทนสถานะของ $\mathsf{X}$

ความเทียบเท่าของรูปแบบทั้งสอง

จากแชนแนลสู่เมทริกซ์

สมมติว่าเรามีแชนแนลจาก $\mathsf{X}$ ไปยัง $\mathsf{Y}$ ที่มีคุณสมบัติว่า

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ ทุกตัว ซึ่งสามารถแสดงอีกแบบได้ดังนี้

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle\, \vert a\rangle\langle a \vert \tag{1}$$

เช่นเดียวกับแชนแนลทั้งหมด เราสามารถแสดง $\Phi$ ในรูปแบบเคราส์สำหรับการเลือกเมทริกซ์เคราส์ $A_0,\ldots,A_{N-1}$ บางวิธี

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

ซึ่งให้นิพจน์ทางเลือกสำหรับรายการแนวทแยงของ $\Phi(\rho)\!:$

$$\begin{aligned} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle & = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle a \vert A_k \rho A_k^{\dagger} \vert a\rangle \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl( A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \rho\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}\bigl(P_a\rho\bigr) \end{aligned}$$

สำหรับ

$$P_a = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k.$$

ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ $P_0,\ldots,P_{m-1}$ เดียวกันนี้ เราสามารถแสดงแชนแนล $\Phi$ ได้ดังนี้

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a\rangle\langle a\vert$$

นิพจน์นี้สอดคล้องกับคำอธิบายของการวัดทั่วไปในเชิงเมทริกซ์ เนื่องจากเราเห็นแต่ละผลลัพธ์การวัดปรากฏด้วยความน่าจะเป็น $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$

ตอนนี้ให้สังเกตว่าคุณสมบัติสองประการที่กำหนดให้กลุ่มของเมทริกซ์ $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ต้องมีเพื่ออธิบายการวัดทั่วไปนั้นเป็นจริงแน่นอน คุณสมบัติแรกคือพวกมันทั้งหมดเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอน วิธีหนึ่งในการเห็นสิ่งนี้คือสังเกตว่า สำหรับเวกเตอร์ $\vert \psi\rangle$ ทุกตัวที่มีรายการสอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ เรามี

$$\langle \psi \vert P_a \vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle \psi \vert A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \bigl\vert\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle\bigr\vert^2 \geq 0.$$

คุณสมบัติที่สองคือถ้าเราบวกเมทริกซ์เหล่านี้เราจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\begin{aligned} \sum_{a = 0}^{m-1} P_a & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert\Biggr) A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \end{aligned}$$

ความเท่ากันสุดท้ายมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า $\Phi$ เป็นแชนแนล ดังนั้นเมทริกซ์เคราส์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขนี้

จากเมทริกซ์สู่แชนแนล

ตอนนี้ให้ตรวจสอบว่าสำหรับกลุ่มของเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอน $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ใด ๆ ที่เป็นไปตาม $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ การแมปที่นิยามโดย

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a \rangle\langle a\vert$$

เป็นแชนแนลที่ถูกต้องจาก $\mathsf{X}$ ไปยัง $\mathsf{Y}$ จริง ๆ

วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือคำนวณการแทนแบบ Choi ของการแมปนี้

$$\begin{aligned} J(\Phi) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \Phi(\vert b \rangle \langle c \vert)\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \operatorname{Tr}(P_a \vert b \rangle \langle c \vert) \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle b \vert P_a^T \vert c \rangle \langle c \vert \otimes \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T \otimes \vert a \rangle\langle a\vert \end{aligned}$$

ทรานสโพสของแต่ละ $P_a$ ถูกนำมาใช้ในความเท่ากันที่สามเนื่องจาก

$$\langle c \vert P_a \vert b\rangle = \langle b \vert P_a^T \vert c\rangle.$$

ซึ่งทำให้นิพจน์ $\vert b \rangle \langle b \vert$ และ $\vert c \rangle \langle c \vert$ ปรากฏขึ้น ซึ่งลดรูปเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์เมื่อรวมทุกค่าของ $b$ และ $c$ ตามลำดับ

จากสมมติฐานที่ว่า $P_0,\ldots,P_{m-1}$ เป็นกึ่งบวกแน่นอน $P_0^{T},\ldots,P_{m-1}^{T}$ ก็เป็นกึ่งบวกแน่นอนเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทรานสโพสเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนจะให้เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนอีกตัวหนึ่ง และค่าไอเกนของเมทริกซ์จัตุรัสใด ๆ กับทรานสโพสของมันจะเหมือนกันเสมอ ได้ว่า $J(\Phi)$ เป็นกึ่งบวกแน่นอน การเทรซเอาต์ระบบเอาต์พุต $\mathsf{Y}$ (ซึ่งคือระบบทางขวา) ให้

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $\Phi$ เป็นแชนแนล

การวัดบางส่วน

สมมติว่าเรามีหลายระบบที่อยู่ในสถานะควอนตัมร่วมกัน และมีการทำการวัดทั่วไปกับระบบหนึ่งในนั้น ผลที่ได้คือหนึ่งในผลลัพธ์การวัด ซึ่งถูกเลือกแบบสุ่มตามความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยการวัดและสถานะของระบบก่อนการวัด สถานะที่เกิดขึ้นของระบบที่เหลือจะขึ้นอยู่กับผลลัพธ์การวัดที่ได้รับโดยทั่วไป

ให้เราตรวจสอบว่านี่ทำงานอย่างไรสำหรับคู่ระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ เมื่อระบบ $\mathsf{X}$ ถูกวัด (เราตั้งชื่อระบบทางขวาว่า $\mathsf{Z}$ เพราะเราจะให้ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่แทนเอาต์พุตคลาสสิกของการวัดเมื่อมองในฐานะแชนแนล) จากนั้นเราสามารถขยายไปยังสถานการณ์ที่ลำดับของระบบสลับกันรวมถึงสามระบบขึ้นไปได้อย่างง่ายดาย

สมมติว่าสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ ก่อนการวัดอธิบายด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ ซึ่งเราสามารถเขียนได้ดังนี้

$$\rho = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b\rangle\langle c\vert \otimes \rho_{b,c}$$

ในนิพจน์นี้เราสมมติว่าสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ คือ $0,\ldots,n-1$

เราสมมติว่าการวัดนั้นอธิบายด้วยกลุ่มของเมทริกซ์ $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ การวัดนี้อาจอธิบายได้อีกแบบในฐานะแชนแนล $\Phi$ จาก $\mathsf{X}$ ไปยัง $\mathsf{Y}$ ที่ $\mathsf{Y}$ คือระบบใหม่ที่มีเซตสถานะคลาสสิก $\{0,\ldots,m-1\}$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระทำของแชนแนลนี้สามารถแสดงได้ดังนี้

$$\Phi(\xi) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \xi)\, \vert a \rangle \langle a \vert$$

ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์

เราพิจารณาการวัดระบบ $\mathsf{X}$ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์การวัดต่าง ๆ จึงขึ้นอยู่กับ $\rho_{\mathsf{X}}$ เท่านั้น ซึ่งคือสถานะรีดิวซ์ของ $\mathsf{X}$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์ $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ สามารถแสดงได้สามวิธีที่เทียบเท่ากัน

$$\operatorname{Tr}\bigl( P_a \rho_{\mathsf{X}}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( P_a \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( (P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho \bigr)$$

นิพจน์แรกแทนความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ $a$ ตามที่เราทราบเกี่ยวกับการวัดระบบเดี่ยวอยู่แล้ว นิพจน์ที่สองได้มาจากการใช้นิยาม $\rho_{\mathsf{X}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)$ โดยตรง

การได้นิพจน์ที่สามต้องคิดมากขึ้น — ผู้เรียนควรลองพิสูจน์ด้วยตัวเองว่าเป็นจริง ต่อไปนี้คือคำใบ้: ความเทียบเท่าระหว่างนิพจน์ที่สองและที่สามไม่ขึ้นอยู่กับว่า $\rho$ เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นหรือแต่ละ $P_a$ เป็นกึ่งบวกแน่นอน ลองพิสูจน์ก่อนสำหรับผลคูณเทนเซอร์ในรูป $\rho = M\otimes N$ แล้วสรุปว่าต้องเป็นจริงโดยทั่วไปด้วยความเป็นเชิงเส้น

แม้ว่าความเทียบเท่าของนิพจน์แรกและที่สามในสมการก่อนหน้าอาจไม่ชัดเจนในทันที แต่ก็สมเหตุสมผล จากการวัดบน $\mathsf{X}$ เรากำลังนิยามการวัดของ $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ โดยเพียงแค่ทิ้ง $\mathsf{Z}$ และวัด $\mathsf{X}$ เช่นเดียวกับการวัดทั้งหมด การวัดใหม่นี้สามารถอธิบายด้วยกลุ่มของเมทริกซ์ได้ และไม่น่าแปลกใจที่การวัดนี้อธิบายด้วยกลุ่ม

$$\{P_0\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}, \ldots, P_{m-1}\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}\}.$$

สถานะเมื่อกำหนดผลลัพธ์การวัด

ถ้าเราต้องการกำหนดไม่เพียงแค่ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ต่าง ๆ แต่ยังรวมถึงสถานะที่เกิดขึ้นของ $\mathsf{Z}$ เมื่อกำหนดผลลัพธ์การวัดแต่ละค่า เราสามารถดูจากคำอธิบายแชนแนลของการวัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้เราตรวจสอบสถานะที่ได้เมื่อเราใช้ $\Phi$ กับ $\mathsf{X}$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{Z}$

$$\begin{aligned} (\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}})(\rho) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \Phi(\vert b\rangle\langle c\vert) \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \,\vert a\rangle \langle a \vert \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) (\vert b\rangle\langle c\vert\otimes\rho_{b,c})\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho\bigr) \end{aligned}$$

ขอสังเกตว่านี่คือเมทริกซ์ความหนาแน่นโดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า $\Phi$ เป็นแชนแนล ดังนั้นแต่ละเมทริกซ์ $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$ จึงเป็นกึ่งบวกแน่นอนอย่างจำเป็น

ขั้นตอนสุดท้ายหนึ่งขั้นจะแปลงนิพจน์นี้ให้กลายเป็นนิพจน์ที่เปิดเผยสิ่งที่เราต้องการ

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}$$

นี่คือตัวอย่างของ สถานะคลาสสิก-ควอนตัม (classical-quantum state)

$$\sum_{a = 0}^{m-1} p(a)\, \vert a\rangle\langle a\vert \otimes \sigma_a,$$

เช่นเดียวกับที่เราเห็นในบทเรียน เมทริกซ์ความหนาแน่น สำหรับแต่ละผลลัพธ์การวัด $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ เรามีด้วยความน่าจะเป็น

$$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

ว่า $\mathsf{Y}$ อยู่ในสถานะคลาสสิก $\vert a \rangle \langle a \vert$ และ $\mathsf{Z}$ อยู่ในสถานะ

$$\sigma_a = \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}. \tag{2}$$

นั่นคือ นี่คือเมทริกซ์ความหนาแน่นที่ได้จากการนอร์มัลไลซ์

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

โดยการหารด้วยเทรซของมัน (พูดอย่างเป็นทางการ สถานะ $\sigma_a$ นิยามได้ก็ต่อเมื่อความน่าจะเป็น $p(a)$ ไม่เป็นศูนย์ เมื่อ $p(a) = 0$ สถานะนี้ไม่มีความเกี่ยวข้อง เนื่องจากหมายถึงเหตุการณ์ไม่ต่อเนื่องที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นศูนย์)

โดยธรรมชาติ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์สอดคล้องกับข้อสังเกตก่อนหน้าของเรา

โดยสรุป นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อทำการวัด $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ บน $\mathsf{X}$ เมื่อ $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ อยู่ในสถานะ $\rho$

1. แต่ละผลลัพธ์ $a$ ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น $p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$

2. เมื่อได้ผลลัพธ์ $a$ แล้ว สถานะของ $\mathsf{Z}$ จะแทนด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น $\sigma_a$ ที่แสดงในสมการ $(2)$ ซึ่งได้จากการนอร์มัลไลซ์ $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$

การขยายทั่วไป

เราสามารถปรับคำอธิบายนี้ให้เข้ากับสถานการณ์อื่น ๆ เช่น เมื่อลำดับของระบบสลับกันหรือเมื่อมีสามระบบขึ้นไป แนวคิดนั้นตรงไปตรงมา แม้ว่าการเขียนสูตรอาจยุ่งยากขึ้น

โดยทั่วไป ถ้าเรามี $r$ ระบบ $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r$ สถานะของระบบประกอบ $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r)$ คือ $\rho$ และทำการวัด $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ บน $\mathsf{X}_k$ สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น

1. แต่ละผลลัพธ์ $a$ ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น

   $$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr).$$

2. เมื่อได้ผลลัพธ์ $a$ แล้ว สถานะของ $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_{k-1},\mathsf{X}_{k+1},\ldots,\mathsf{X}_r)$ จะแทนด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นต่อไปนี้

   $$\frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}_k}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}{\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}$$