ทฤษฎีบท Naimark

ทฤษฎีบท Naimark เป็นข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับการวัด มันระบุว่าการวัดทั่วไปทุกอย่างสามารถนำไปใช้ได้ในลักษณะง่ายๆ ที่ชวนให้นึกถึง Stinespring representations ของช่องสัญญาณ:

1. ระบบที่จะวัดถูกรวมเข้ากับระบบพื้นที่ทำงานที่ถูกกำหนดค่าเริ่มต้นไว้ก่อน เพื่อสร้างระบบรวม
2. จากนั้นทำการดำเนินการ unitary บนระบบรวม
3. สุดท้าย ระบบพื้นที่ทำงาน ถูกวัด ด้วย standard basis measurement ให้ผลลัพธ์ของการวัดทั่วไปดั้งเดิม

ข้อความทฤษฎีบทและการพิสูจน์

ให้ $\mathsf{X}$ เป็นระบบและให้ $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ เป็นคอลเลกชันของเมทริกซ์ positive semidefinite ที่สอบสนอง

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

ซึ่งหมายความว่าพวกมันอธิบายการวัดของ $\mathsf{X}$ นอกจากนี้ให้ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\{0,\ldots,m-1\}$ ซึ่งเป็นชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดนี้

ทฤษฎีบท Naimark ระบุว่ามีการดำเนินการ unitary $U$ บนระบบรวม $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ที่การนำไปใช้ตามที่ภาพต่อไปนี้แนะนำให้ผลลัพธ์การวัดที่สอดคล้องกับการวัดที่กำหนด $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ หมายความว่าความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์การวัดที่เป็นไปได้ต่างๆ ตรงกันพอดี

เพื่อความชัดเจน ระบบ $\mathsf{X}$ เริ่มต้นในสถานะ $\rho$ ที่กำหนดโดยอิสระ ในขณะที่ $\mathsf{Y}$ ถูกกำหนดค่าเริ่มต้นเป็นสถานะ $\vert 0\rangle$ การดำเนินการ unitary $U$ ถูกใช้กับ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ แล้วระบบ $\mathsf{Y}$ ถูกวัดด้วย standard basis measurement ให้ผลลัพธ์ $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ บางค่า

ระบบ $\mathsf{X}$ ถูกแสดงเป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์ของ Circuit แต่ตอนนี้เราจะไม่สนใจสถานะของ $\mathsf{X}$ หลังจากทำ $U$ และสามารถจินตนาการว่ามันถูก trace out แต่เราจะสนใจสถานะของ $\mathsf{X}$ หลังจากทำ $U$ ในภายหลังในบทเรียน

การนำไปใช้การวัดในลักษณะนี้ชัดเจนว่าชวนให้นึกถึง Stinespring representation ของช่องสัญญาณ และฐานทางคณิตศาสตร์ก็คล้ายกัน ความแตกต่างที่นี่คือระบบพื้นที่ทำงานถูกวัดแทนที่จะถูก trace out เหมือนในกรณีของ Stinespring representation

ข้อเท็จจริงที่ว่าการวัดทุกอย่างสามารถนำไปใช้ในลักษณะนี้ค่อนข้างง่ายในการพิสูจน์ แต่เราต้องการข้อเท็จจริงเกี่ยวกับเมทริกซ์ positive semidefinite ก่อน

ข้อเท็จจริง

สมมติว่า $P$ เป็นเมทริกซ์ positive semidefinite ขนาด $n \times n$ มีเมทริกซ์ positive semidefinite ขนาด $n\times n$ ที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งตัว $Q$ ที่ $Q^2 = P$ เมทริกซ์ positive semidefinite ที่ไม่ซ้ำกันนี้เรียกว่า square root ของ $P$ และแทนด้วย $\sqrt{P}$

วิธีหนึ่งในการหา square root ของเมทริกซ์ positive semidefinite คือการคำนวณ spectral decomposition ก่อน

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

เนื่องจาก $P$ เป็น positive semidefinite ค่าเฉพาะของมันต้องเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ และโดยการแทนที่ด้วย square roots ของมัน เราได้นิพจน์สำหรับ square root ของ $P$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

ด้วยแนวคิดนี้ เราพร้อมที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบท Naimark ภายใต้สมมติฐานที่ว่า $\mathsf{X}$ มี $n$ สถานะคลาสสิก การดำเนินการ unitary $U$ บนคู่ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ สามารถแสดงด้วยเมทริกซ์ขนาด $nm\times nm$ ซึ่งมองได้เป็น block matrix ขนาด $m\times m$ ที่ block มีขนาด $n\times n$ กุญแจสำคัญของการพิสูจน์คือให้ $U$ เป็นเมทริกซ์ unitary ใดก็ตามที่ตรงกับรูปแบบต่อไปนี้

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

เพื่อให้สามารถเติม blocks ที่มีเครื่องหมายคำถามได้ในลักษณะที่ $U$ เป็น unitary จำเป็นและเพียงพอที่ $n$ คอลัมน์แรก ซึ่งสร้างจาก blocks $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}}$ เป็น orthonormal จากนั้นเราสามารถใช้กระบวนการ Gram-Schmidt orthogonalization เพื่อเติมคอลัมน์ที่เหลือ เหมือนที่เราพบในบทเรียนก่อนหน้า

$n$ คอลัมน์แรกของ $U$ สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้ดังนี้ โดย $c = 0,\ldots,n-1$ อ้างถึงหมายเลขคอลัมน์เริ่มต้นจาก $0$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

เราสามารถคำนวณผลคูณภายในระหว่างสองในนั้นได้ดังนี้

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

แสดงให้เห็นว่าคอลัมน์เหล่านี้เป็น orthonormal จริงๆ ดังนั้นเราสามารถเติมคอลัมน์ที่เหลือของ $U$ ในลักษณะที่รับประกันว่าเมทริกซ์ทั้งหมดเป็น unitary

ยังคงต้องตรวจสอบว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์การวัดสำหรับการจำลองสอดคล้องกับการวัดดั้งเดิม สำหรับสถานะเริ่มต้น $\rho$ ของ $\mathsf{X}$ ที่กำหนด การวัดที่อธิบายด้วยคอลเลกชัน $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ให้ผลลัพธ์แต่ละ $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ ด้วยความน่าจะเป็น $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$

เพื่อหาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์สำหรับการจำลอง ให้ตั้งชื่อ $\sigma$ เป็นสถานะของ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ หลังจากทำ $U$ แล้ว สถานะนี้สามารถแสดงได้ดังนี้

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

หรือในรูปแบบ block matrix เราได้สมการต่อไปนี้

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

สังเกตว่ารายการของ $U$ ที่อยู่ใน blocks ที่มีเครื่องหมายคำถามไม่มีผลต่อผลลัพธ์ เนื่องจากเรากำลัง conjugate เมทริกซ์ในรูปแบบ $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — ดังนั้นรายการเครื่องหมายคำถามจะถูกคูณด้วยรายการศูนย์ของ $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ เสมอเมื่อคำนวณผลคูณเมทริกซ์

ทีนี้เราสามารถวิเคราะห์สิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อทำ standard basis measurement บน $\mathsf{Y}$ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ให้โดยรายการแนวทแยงของ reduced state $\sigma_{\mathsf{Y}}$ ของ $\mathsf{Y}$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

โดยเฉพาะ โดยใช้คุณสมบัติ cyclic ของ trace เราเห็นว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ ที่กำหนดมีดังนี้

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

ตรงกับการวัดดั้งเดิม พิสูจน์ความถูกต้องของการจำลอง

การวัดแบบไม่ทำลาย

จนถึงตอนนี้ในบทเรียน เราสนใจการวัดแบบ ทำลาย ซึ่งผลลัพธ์ประกอบด้วยผลการวัดคลาสสิกเท่านั้น และไม่มีข้อกำหนดของสถานะควอนตัมหลังการวัดของระบบที่วัด

การวัดแบบ ไม่ทำลาย ในทางกลับกัน ทำสิ่งนี้พอดี โดยเฉพาะ การวัดแบบไม่ทำลายอธิบายไม่เพียงแต่ความน่าจะเป็นของผลการวัดคลาสสิก แต่ยังรวมถึงสถานะของระบบที่วัดขึ้นอยู่กับผลการวัดที่เป็นไปได้แต่ละอย่างด้วย สังเกตว่าคำว่า ไม่ทำลาย อ้างถึง ระบบ ที่วัด แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นสถานะของมัน ซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญเนื่องจากการวัด

โดยทั่วไป สำหรับการวัดแบบทำลายที่กำหนด จะมีการวัดแบบไม่ทำลายหลายอย่าง (จริงๆ แล้วอนันต์) ที่ สอดคล้อง กับการวัดแบบทำลายที่กำหนด หมายความว่าความน่าจะเป็นของผลการวัดคลาสสิกตรงกันพอดีกับการวัดแบบทำลาย ดังนั้น จึงไม่มีวิธีที่ไม่ซ้ำกันในการนิยามสถานะควอนตัมหลังการวัดของระบบสำหรับการวัดที่กำหนด

จริงๆ แล้ว สามารถขยายการวัดแบบไม่ทำลายออกไปอีกได้ เพื่อให้มันสร้างผลการวัดคลาสสิกพร้อมกับผลลัพธ์สถานะควอนตัมของระบบที่ไม่จำเป็นต้องเหมือนกับระบบอินพุต

แนวคิดของการวัดแบบไม่ทำลายเป็นนามธรรมที่น่าสนใจและมีประโยชน์ แต่ต้องตระหนักว่าการวัดแบบไม่ทำลายสามารถอธิบายได้เสมอในรูปของการประกอบ compositions ของช่องสัญญาณและการวัดแบบทำลาย — ดังนั้นในแง่หนึ่ง แนวคิดของการวัดแบบทำลายเป็นแนวคิดพื้นฐานกว่า

จากทฤษฎีบท Naimark

พิจารณาการจำลองการวัดทั่วไปเหมือนที่เรามีในทฤษฎีบท Naimark วิธีง่ายๆ ในการได้การวัดแบบไม่ทำลายจากการจำลองนี้เผยให้เห็นจากภาพก่อนหน้า ซึ่งระบบ $\mathsf{X}$ ไม่ถูก trace out แต่เป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์ ซึ่งให้ทั้งผลการวัดคลาสสิก $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ และสถานะควอนตัมหลังการวัดของ $\mathsf{X}$

ให้อธิบายสถานะเหล่านี้ในแง่คณิตศาสตร์ สมมติว่าสถานะเริ่มต้นของ $\mathsf{X}$ คือ $\rho$ ดังนั้นหลังจากระบบ $\mathsf{Y}$ ที่ถูกกำหนดค่าเริ่มต้นถูกแนะนำและทำ $U$ แล้ว เราได้ว่า $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ อยู่ในสถานะ

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

ความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์คลาสสิกต่างๆ ที่จะปรากฏเหมือนกับก่อนหน้า — มันไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้เนื่องจากเราตัดสินใจจะละเว้นหรือไม่ละเว้น $\mathsf{X}$ นั่นคือ เราได้แต่ละ $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ ด้วยความน่าจะเป็น $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$

ขึ้นอยู่กับการได้ผลการวัดเฉพาะ $a$ สถานะที่เกิดขึ้นของ $\mathsf{X}$ ให้โดยนิพจน์นี้

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

วิธีหนึ่งในการเห็นสิ่งนี้คือแสดง standard basis measurement ของ $\mathsf{Y}$ โดย completely dephasing channel $\Delta_m$ โดยผลลัพธ์ของช่องสัญญาณอธิบายผลการวัดคลาสสิกในรูป (diagonal) density matrices นิพจน์ของสถานะที่เราได้มีดังนี้

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

จากนั้นเราสามารถเขียนสถานะนี้เป็น convex combination ของ product states

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

ซึ่งสอดคล้องกับนิพจน์ที่เราได้สำหรับสถานะของ $\mathsf{X}$ ขึ้นอยู่กับผลการวัดที่เป็นไปได้แต่ละอย่าง

จาก Kraus representation

มีการเลือก $U$ ทางเลือกในบริบทของทฤษฎีบท Naimark ที่ให้ความน่าจะเป็นของผลการวัดเหมือนกัน แต่ให้สถานะผลลัพธ์ของ $\mathsf{X}$ ที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง

ตัวอย่างเช่น ตัวเลือกหนึ่งคือแทน $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ แทน $U$ โดยที่ $V$ เป็นการดำเนินการ unitary ใดๆ บน $\mathsf{X}$ การใช้ $V$ กับ $\mathsf{X}$ สับเปลี่ยนได้กับการวัด $\mathsf{Y}$ ดังนั้นความน่าจะเป็นของผลลัพธ์คลาสสิกไม่เปลี่ยนแปลง แต่ตอนนี้สถานะของ $\mathsf{X}$ ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ $a$ กลายเป็น

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

โดยทั่วไปกว่านั้น เราสามารถแทน $U$ ด้วยเมทริกซ์ unitary

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

สำหรับการเลือกการดำเนินการ unitary $V_0,\ldots,V_{m-1}$ บน $\mathsf{X}$ ใดๆ อีกครั้ง ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์คลาสสิกไม่เปลี่ยนแปลง แต่ตอนนี้สถานะของ $\mathsf{X}$ ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ $a$ กลายเป็น

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

วิธีเทียบเท่าในการแสดงความอิสระนี้เชื่อมโยงกับ Kraus representations นั่นคือ เราสามารถอธิบายการวัดแบบไม่ทำลาย $m$ ผลลัพธ์ของระบบที่มี $n$ สถานะคลาสสิก โดยการเลือกเมทริกซ์ Kraus ขนาด $n\times n$ $A_0,\ldots,A_{m-1}$ ที่สอบสนองเงื่อนไขทั่วไปสำหรับเมทริกซ์ Kraus

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

สมมติว่าสถานะเริ่มต้นของ $\mathsf{X}$ คือ $\rho$ ผลการวัดคลาสสิกคือ $a$ ด้วยความน่าจะเป็น

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

และขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ $a$ สถานะของ $\mathsf{X}$ กลายเป็น

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

สังเกตว่านี่เทียบเท่ากับการเลือกการดำเนินการ unitary $U$ ในทฤษฎีบท Naimark ดังนี้

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

ในบทเรียนก่อนหน้า เราสังเกตว่าคอลัมน์ที่สร้างจาก blocks $A_0,\ldots,A_{m-1}$ จำเป็นต้องตั้งฉากกัน เนื่องจาก เงื่อนไข $(1)$

การขยายทั่วไป

มีวิธีทั่วไปยิ่งกว่าในการกำหนดการวัดแบบไม่ทำลายมากกว่าวิธีที่เราได้พูดถึง แนวคิดของ quantum instrument (ซึ่งจะไม่อธิบายที่นี่) เป็นหนึ่งในวิธีที่จะทำเช่นนั้น