Fidelity

ในส่วนนี้ของบทเรียน เราจะพูดถึง fidelity ระหว่างสถานะควอนตัม ซึ่งเป็นการวัดความคล้ายคลึง — หรือระดับที่สถานะเหล่านั้น "ทับซ้อน" กัน

เมื่อกำหนดเวกเตอร์สถานะควอนตัมสองตัว fidelity ระหว่างสถานะบริสุทธิ์ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์เหล่านั้นจะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์สถานะควอนตัม ซึ่งเป็นวิธีพื้นฐานในการวัดความคล้ายคลึง โดยผลลัพธ์จะอยู่ระหว่าง $0$ ถึง $1$ ค่าที่มากขึ้นบ่งบอกความคล้ายคลึงมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าจะเป็นศูนย์สำหรับสถานะที่ตั้งฉากกัน (โดยนิยาม) ในขณะที่ค่าจะเป็น $1$ สำหรับสถานะที่เทียบเท่ากันโดยไม่คำนึงถึง global phase

ในเชิงสัญชาตญาณ fidelity สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายการวัดความคล้ายคลึงพื้นฐานนี้ จากเวกเตอร์สถานะควอนตัมไปสู่เมทริกซ์ความหนาแน่น

นิยามของ fidelity

เริ่มต้นด้วยนิยามของ fidelity ในตอนแรก นิยามที่ตามมาอาจดูผิดปกติหรือลึกลับ และอาจไม่ง่ายที่จะทำงานด้วย อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันที่มันนิยามกลับมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมายและมีการแสดงรูปแบบทางเลือกหลายอย่าง ทำให้ทำงานด้วยได้ดีกว่าที่ปรากฏในตอนแรก

นิยาม

ให้ $\rho$ และ $\sigma$ เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นที่แทนสถานะควอนตัมของระบบเดียวกัน fidelity ระหว่าง $\rho$ และ $\sigma$ นิยามโดยใช้ trace (Tr) เป็น

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

หมายเหตุ

แม้นี่จะเป็นนิยามที่ใช้กันทั่วไป แต่ก็เป็นเรื่องปกติที่ fidelity จะถูกนิยามเป็น กำลังสอง ของปริมาณที่นิยามที่นี่ ซึ่งจะเรียกว่า root-fidelity ไม่มีนิยามใดถูกหรือผิด — มันเป็นเรื่องของความชอบเป็นหลัก อย่างไรก็ตาม ต้องระมัดระวังเสมอที่จะเข้าใจหรือชี้แจงว่านิยามใดกำลังถูกใช้

เพื่อทำความเข้าใจสูตรในนิยาม ให้สังเกตก่อนว่า $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ เป็นเมทริกซ์กึ่งนิยามบวก:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

สำหรับ $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$. เช่นเดียวกับเมทริกซ์กึ่งนิยามบวกทั้งหมด เมทริกซ์กึ่งนิยามบวกนี้มีรากที่สองกึ่งนิยามบวกที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเทรซของมันคือ fidelity

สำหรับทุกเมทริกซ์จัตุรัส $M$ ค่าเจาะจงของเมทริกซ์กึ่งนิยามบวกสองตัว $M^{\dagger} M$ และ $M M^{\dagger}$ จะเหมือนกันเสมอ และดังนั้นสิ่งเดียวกันจะเป็นจริงสำหรับรากที่สองของเมทริกซ์เหล่านี้ เมื่อเลือก $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ และใช้ข้อเท็จจริงว่าเทรซของเมทริกซ์จัตุรัสเท่ากับผลรวมของค่าเจาะจง เราพบว่า

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

ดังนั้น แม้จะไม่ชัดเจนจากนิยาม แต่ fidelity มีสมมาตรในอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง

Fidelity ในรูปของ trace norm

อีกวิธีหนึ่งในการแสดง fidelity คือสูตรนี้:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

ที่นี่เราเห็น trace norm ซึ่งเราพบในบทเรียนก่อนหน้าในบริบทของการแยกแยะสถานะ trace norm ของเมทริกซ์ $M$ (ไม่จำเป็นต้องเป็นจัตุรัส) สามารถนิยามได้เป็น

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

และโดยการนำนิยามนี้ไปใช้กับเมทริกซ์ $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ เราจะได้สูตรในนิยาม

อีกวิธีหนึ่งในการแสดง trace norm ของเมทริกซ์ (จัตุรัส) $M$ คือผ่านสูตรนี้

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

ที่นี่ค่าสูงสุดอยู่เหนือเมทริกซ์ unitary $U$ ทั้งหมดที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากับ $M$ การนำสูตรนี้ไปใช้ในสถานการณ์นี้เผยให้เห็นนิพจน์อีกอย่างของ fidelity

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelity สำหรับสถานะบริสุทธิ์

ประเด็นสุดท้ายเกี่ยวกับนิยามของ fidelity คือทุกสถานะบริสุทธิ์ (ในรูปเมทริกซ์ความหนาแน่น) เท่ากับรากที่สองของตัวเอง ซึ่งช่วยให้สูตร fidelity ลดรูปลงอย่างมากเมื่อสถานะหนึ่งหรือทั้งสองเป็นสถานะบริสุทธิ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าสถานะหนึ่งในสองสถานะเป็นสถานะบริสุทธิ์ เราจะมีสูตรต่อไปนี้

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

ถ้าทั้งสองสถานะเป็นสถานะบริสุทธิ์ สูตรจะลดรูปลงเหลือค่าสัมบูรณ์ของผลคูณภายในของเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่สอดคล้องกัน ดังที่กล่าวไว้ในตอนต้นของส่วนนี้

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

คุณสมบัติพื้นฐานของ fidelity

fidelity มีคุณสมบัติที่น่าทึ่งมากมายและมีการแสดงทางเลือกหลายอย่าง ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติพื้นฐานบางส่วนที่แสดงโดยไม่มีการพิสูจน์

1. สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ และ $\sigma$ ใดๆ ที่มีขนาดเดียวกัน fidelity $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ อยู่ระหว่างศูนย์กับหนึ่ง: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ กรณี $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $\rho$ และ $\sigma$ มี image ที่ตั้งฉากกัน (จึงสามารถแยกแยะได้โดยไม่มีข้อผิดพลาด) และ $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $\rho = \sigma$

2. fidelity มีสมบัติ multiplicative หมายความว่า fidelity ระหว่างสองสถานะ product เท่ากับผลคูณของ fidelity แต่ละตัว:

   $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$

3. fidelity ระหว่างสถานะไม่ลดลงภายใต้การกระทำของ channel ใดๆ นั่นคือ ถ้า $\rho$ และ $\sigma$ เป็น density matrices และ $\Phi$ เป็น channel ที่สามารถรับสถานะทั้งสองนี้เป็นอินพุตได้ ก็จำเป็นต้องเป็นกรณี ที่

   $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$

4. อสมการ Fuchs-van de Graaf กำหนดความสัมพันธ์ที่ใกล้เคียง (แม้จะไม่แน่นอน) ระหว่าง fidelity และ trace distance: สำหรับสถานะสองสถานะใดๆ $\rho$ และ $\sigma$ เรามี

   $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

คุณสมบัติสุดท้ายสามารถแสดงในรูปของภาพ:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสถานะ $\rho$ และ $\sigma$ ของระบบเดียวกัน เส้นแนวนอนที่ตัดแกน $y$ ที่ $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ และเส้นแนวตั้งที่ตัดแกน $x$ ที่ $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ จะต้องตัดกันในบริเวณสีเทาที่ขอบล่างคือเส้น $y = 1-x$ และขอบบนคือวงกลมหนึ่งหน่วย บริเวณที่น่าสนใจที่สุดในทางปฏิบัติคือมุมซ้ายบนของบริเวณสีเทา: ถ้า fidelity ระหว่างสองสถานะใกล้เคียงหนึ่ง แสดงว่า trace distance ของพวกมันใกล้เคียงศูนย์ และ ในทางกลับกัน

บทแทรกการวัดอ่อนโยน

ต่อไปเราจะดูข้อเท็จจริงที่เรียบง่ายแต่สำคัญ ซึ่งรู้จักกันในชื่อ gentle measurement lemma ที่เชื่อม fidelity กับการวัดแบบไม่ทำลาย มันเป็น lemma ที่มีประโยชน์มากที่ปรากฏขึ้นเป็นครั้งคราว และน่าสังเกตด้วยว่านิยาม fidelity ที่ดูยุ่งยากนั้นจริงๆ แล้วทำให้การพิสูจน์ lemma นี้ง่ายมาก

การตั้งค่ามีดังนี้ ให้ $\mathsf{X}$ เป็นระบบในสถานะ $\rho$ และ $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ เป็นกลุ่มเมทริกซ์กึ่งนิยามบวกที่แทนการวัดทั่วไปของ $\mathsf{X}$ สมมติต่อไปว่าถ้าทำการวัดนี้บนระบบ $\mathsf{X}$ ขณะที่อยู่ในสถานะ $\rho$ ผลลัพธ์หนึ่งมีความน่าจะเป็นสูง เพื่อความชัดเจน สมมติว่าผลลัพธ์การวัดที่มีแนวโน้มสูงคือ $0$ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสมมติว่า

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

สำหรับจำนวนจริงบวกขนาดเล็ก $\varepsilon > 0$

สิ่งที่ gentle measurement lemma ระบุคือภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ การวัดแบบไม่ทำลายที่ได้จาก $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ผ่านทฤษฎีบทของ Naimark ทำให้เกิดการรบกวน $\rho$ เพียงเล็กน้อย ในกรณีที่สังเกตผลลัพธ์การวัดที่มีแนวโน้มสูง $0$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง lemma ระบุว่ากำลังสองของ fidelity ระหว่าง $\rho$ กับสถานะที่ได้จากการวัดแบบไม่ทำลาย โดยมีเงื่อนไขว่าผลลัพธ์คือ $0$ มากกว่า $1-\varepsilon$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

เราต้องการข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับการวัดเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เมทริกซ์การวัด $P_0, \ldots, P_{m-1}$ เป็นกึ่งนิยามบวกและรวมกันได้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งช่วยให้เราสรุปได้ว่าค่าเจาะจงทั้งหมดของ $P_0$ เป็นจำนวนจริงระหว่าง $0$ กับ $1$ สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับเวกเตอร์หน่วยใดๆ $\vert\psi\rangle$ ค่า $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบสำหรับแต่ละ $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (เพราะแต่ละ $P_a$ เป็นกึ่งนิยามบวก) รวมกับค่าเหล่านี้รวมกันได้หนึ่ง

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

ดังนั้น $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ จะเป็นจำนวนจริงระหว่าง $0$ กับ $1$ เสมอ และสิ่งนี้หมายความว่าค่าเจาะจงทุกตัวของ $P_0$ เป็นจำนวนจริงระหว่าง $0$ กับ $1$ เพราะเราสามารถเลือก $\vert\psi\rangle$ ให้เป็นเวกเตอร์ eigenvector หน่วยที่สอดคล้องกับค่าเจาะจงใดๆ ที่สนใจ

จากการสังเกตนี้เราสามารถสรุปอสมการต่อไปนี้สำหรับทุกเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

ในรายละเอียดเพิ่มเติม เริ่มจากการสลายตัวเชิงสเปกตรัม

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

เราสรุปว่า

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

จากข้อเท็จจริงที่ว่า $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ และ $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ สำหรับแต่ละ $k = 0,\ldots,n-1$ (การยกกำลังสองของตัวเลขระหว่าง $0$ กับ $1$ ไม่ทำให้ใหญ่ขึ้น)

ตอนนี้เราสามารถพิสูจน์ gentle measurement lemma ได้โดยการหาค่า fidelity แล้วใช้อสมการของเรา ก่อนอื่น ลดรูปนิพจน์ที่เราสนใจ

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

สังเกตว่านี่ล้วนเป็นสมการเท่ากัน — เรายังไม่ได้ใช้อสมการ (หรืออสมการใดๆ) ณ จุดนี้ ดังนั้นเราจึงมีนิพจน์ที่แน่นอนสำหรับ fidelity ตอนนี้เราสามารถใช้อสมการของเราเพื่อสรุปว่า

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

และดังนั้น โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

ทฤษฎีบทของ Uhlmann

เพื่อสรุปบทเรียน เราจะดู ทฤษฎีบทของ Uhlmann ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับ fidelity ที่เชื่อมมันกับแนวคิดของ purification สิ่งที่ทฤษฎีบทกล่าวอย่างง่ายๆ คือ fidelity ระหว่างสถานะควอนตัมสองสถานะเท่ากับผลคูณภายใน สูงสุด (ในค่าสัมบูรณ์) ระหว่าง purification สองตัวของสถานะเหล่านั้น

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทของ Uhlmann: ให้ $\rho$ และ $\sigma$ เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นที่แทนสถานะของระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบที่มีจำนวนสถานะคลาสสิกอย่างน้อยเท่ากับ $\mathsf{X}$ fidelity ระหว่าง $\rho$ และ $\sigma$ คือ

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

โดยค่าสูงสุดนั้นเทียบเหนือเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\phi\rangle$ และ $\vert\psi\rangle$ ทั้งหมดของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยใช้ unitary equivalence of purifications — แต่มันไม่ตรงไปตรงมาทั้งหมด และเราจะใช้เทคนิคหนึ่งระหว่างทาง

เพื่อเริ่มต้น พิจารณาการสลายตัวเชิงสเปกตรัมของเมทริกซ์ความหนาแน่นสอง $\rho$ และ $\sigma$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

กลุ่มทั้งสอง $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ และ $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ เป็นฐาน orthonormal ของ eigenvector ของ $\rho$ และ $\sigma$ ตามลำดับ และ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ กับ $q_0,\ldots,q_{n-1}$ เป็นค่าเจาะจงที่สอดคล้องกัน

เราจะนิยาม $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ และ $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ ให้เป็นเวกเตอร์ที่ได้จากการนำ conjugate เชิงซ้อนของแต่ละ entry ของ $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ และ $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle$ นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ $\vert w\rangle$ ที่กำหนด เราสามารถนิยาม $\vert\overline{w}\rangle$ ตามสมการต่อไปนี้สำหรับแต่ละ $c\in\{0,\ldots,n-1\}$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

สังเกตว่าสำหรับเวกเตอร์สองตัว $\vert u\rangle$ และ $\vert v\rangle$ เรามี $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle$ โดยทั่วไปมากขึ้น สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส $M$ ใดๆ เรามีสูตรต่อไปนี้

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

ตามมาว่า $\vert u\rangle$ และ $\vert v\rangle$ ตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ $\vert \overline{u}\rangle$ และ $\vert \overline{v}\rangle$ ตั้งฉากกัน และดังนั้น $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ และ $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ ล้วนเป็นฐาน orthonormal

ตอนนี้พิจารณาเวกเตอร์สองตัวต่อไปนี้ $\vert\phi\rangle$ และ $\vert\psi\rangle$ ซึ่งเป็น purification ของ $\rho$ และ $\sigma$ ตามลำดับ

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

นี่คือเทคนิคที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ ไม่มีสิ่งใดบ่งชี้อย่างชัดเจน ณ จุดนี้ว่าเป็นความคิดที่ดีที่จะเลือก purification ของ $\rho$ และ $\sigma$ แบบนี้ แต่มันเป็น purification ที่ถูกต้อง และการ conjugate เชิงซ้อนจะช่วยให้พีชคณิตทำงานออกมาในแบบที่เราต้องการ

โดย unitary equivalence of purifications เรารู้ว่า purification ทุกตัวของ $\rho$ สำหรับคู่ระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะต้องอยู่ในรูป $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ สำหรับเมทริกซ์ unitary $U$ บางตัว และในทำนองเดียวกัน purification ทุกตัวของ $\sigma$ สำหรับคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จะต้องอยู่ในรูป $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ สำหรับเมทริกซ์ unitary $V$ บางตัว ผลคูณภายในของ purification สองตัวดังกล่าวสามารถลดรูปได้ดังนี้

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

เมื่อ $U$ และ $V$ วิ่งผ่านเมทริกซ์ unitary ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมทริกซ์ $(U^{\dagger} V)^T$ ก็วิ่งผ่านเมทริกซ์ unitary ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเช่นกัน ดังนั้น การทำให้ค่าสัมบูรณ์ของผลคูณภายในของ purification สองตัวของ $\rho$ และ $\sigma$ สูงสุดจะให้สมการต่อไปนี้

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

แบบสำรวจหลังจบคอร์ส

ยินดีด้วยที่คุณเรียนจบคอร์สนี้แล้ว! กรุณาสละเวลาสักครู่เพื่อช่วยให้เราปรับปรุงคอร์สด้วยการตอบ แบบสำรวจสั้นๆ นี้ ความคิดเห็นของคุณจะถูกนำไปใช้ปรับปรุงเนื้อหาและประสบการณ์การใช้งาน ขอบคุณ!