Purifications

นิยามของ purification

เริ่มต้นด้วยนิยามทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนของ purification

นิยาม

สมมติว่า $\mathsf{X}$ เป็นระบบในสถานะที่แทนด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ และ $\vert\psi\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมของคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่ให้ผล $\rho$ เมื่อเทรซ $\mathsf{Y}$ ออก:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

เวกเตอร์สถานะ $\vert\psi\rangle$ จะเรียกว่าเป็น purification ของ $\rho$

สถานะบริสุทธิ์ $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ ที่แสดงเป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นแทนที่จะเป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัม ก็มักถูกเรียกว่าเป็น purification ของ $\rho$ เช่นกัน เมื่อสมการในนิยามเป็นจริง แต่เราจะใช้คำนี้กับเวกเตอร์สถานะควอนตัมเป็นหลัก

คำว่า purification ยังใช้ในความหมายกว้างขึ้นด้วย เมื่อลำดับของระบบกลับกัน เมื่อชื่อของระบบและสถานะแตกต่างกัน (แน่นอน) และเมื่อมีระบบมากกว่าสอง ตัวอย่างเช่น ถ้า $\vert \psi \rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่แทนสถานะบริสุทธิ์ของระบบรวม $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$ และสมการ

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ ที่แทนสถานะของระบบ $(\mathsf{A},\mathsf{C})$ แล้ว $\vert\psi\rangle$ ก็ยังคงถูกเรียกว่าเป็น purification ของ $\rho$

อย่างไรก็ตาม เพื่อวัตถุประสงค์ของบทเรียนนี้ เราจะมุ่งเน้นที่รูปแบบเฉพาะที่อธิบายในนิยาม คุณสมบัติและข้อเท็จจริงเกี่ยวกับ purification ตามนิยามนี้ โดยทั่วไปสามารถขยายไปยังระบบมากกว่าสองโดยการจัดลำดับใหม่และแบ่งระบบออกเป็นระบบรวมสอง ระบบหนึ่งทำหน้าที่เป็น $\mathsf{X}$ และอีกระบบหนึ่งทำหน้าที่เป็น $\mathsf{Y}$

การมีอยู่ของ purification

สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบใดๆ สองระบบ และ $\rho$ เป็นสถานะที่กำหนดของ $\mathsf{X}$ เราจะพิสูจน์ว่ามีเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่ purify $\rho$ — ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งในการบอกว่า $\vert\psi\rangle$ เป็น purification ของ $\rho$ — ตราบที่ระบบ $\mathsf{Y}$ มีขนาดใหญ่พอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $\mathsf{Y}$ มีจำนวนสถานะคลาสสิกอย่างน้อยเท่ากับ $\mathsf{X}$ แล้ว purification ในรูปแบบนี้จะมีอยู่สำหรับทุกสถานะ $\rho$ บางสถานะ $\rho$ ต้องการจำนวนสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$ น้อยกว่า โดยทั่วไป จำเป็นต้องมีสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$ จำนวน $\operatorname{rank}(\rho)$ ตัวและก็เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของเวกเตอร์สถานะควอนตัมของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่ purify $\rho$

พิจารณาก่อนนิพจน์ใดๆ ของ $\rho$ ในรูปผลรวม convex ของสถานะบริสุทธิ์ $n$ ตัว สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

ในนิพจน์นี้ $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ เป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็น และ $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมของ $\mathsf{X}$

วิธีหนึ่งในการได้นิพจน์ดังกล่าวคือผ่านทฤษฎีบทสเปกตรัม ซึ่งในกรณีนั้น $n$ เป็นจำนวนสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ ส่วน $p_0,\ldots,p_{n-1}$ คือค่าเจาะจงของ $\rho$ และ $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ คือ eigenvector orthonormal ที่สอดคล้องกับค่าเจาะจงเหล่านั้น

จริงๆ แล้วไม่จำเป็นต้องรวมพจน์ที่สอดคล้องกับค่าเจาะจงศูนย์ของ $\rho$ ในผลรวม ซึ่งช่วยให้เราเลือก $n = \operatorname{rank}(\rho)$ และ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ เป็นค่าเจาะจงที่ไม่เป็นศูนย์ของ $\rho$ ได้ นี่คือค่าน้อยสุดของ $n$ ที่มีนิพจน์ของ $\rho$ ในรูปแบบข้างต้น

เพื่อให้ชัดเจน มัน ไม่จำเป็น ที่นิพจน์ที่เลือกของ $\rho$ ในรูปผลรวม convex ของสถานะบริสุทธิ์จะต้องมาจากทฤษฎีบทสเปกตรัม — นี่เป็นเพียงวิธีหนึ่งในการได้นิพจน์ดังกล่าว โดยเฉพาะ $n$ สามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ เวกเตอร์หน่วย $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน และความน่าจะเป็น $p_0,\ldots,p_{n-1}$ ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าเจาะจงของ $\rho$

ตอนนี้เราสามารถระบุ purification ของ $\rho$ ได้ดังนี้

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

ที่นี่เราสมมติว่าสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Y}$ รวมถึง $0,\ldots,n-1$ ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น สามารถแทนที่ $0,\ldots,n-1$ ด้วยการเลือกสถานะคลาสสิก $n$ ตัวที่แตกต่างกันของ $\mathsf{Y}$ ตามต้องการ การตรวจสอบว่านี่เป็น purification ของ $\rho$ จริงๆ เป็นเพียงการคำนวณ partial trace ซึ่งทำได้สองวิธีที่เทียบเท่ากันดังนี้

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

โดยทั่วไปมากขึ้น สำหรับเวกเตอร์ orthonormal ชุดใดๆ $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$ เวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

เป็น purification ของ $\rho$

ตัวอย่าง

สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ ต่างเป็น Qubit และ

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นที่แทนสถานะของ $\mathsf{X}$

เราสามารถใช้ทฤษฎีบทสเปกตรัมเพื่อแสดง $\rho$ เป็น

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

โดยที่ $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle$ เวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

ซึ่งอธิบายสถานะบริสุทธิ์ของคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ จึงเป็น purification ของ $\rho$

หรืออีกทางหนึ่ง เราสามารถเขียนว่า

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

นี่เป็นผลรวม convex ของสถานะบริสุทธิ์ แต่ไม่ใช่การสลายตัวเชิงสเปกตรัม เพราะ $\vert 0\rangle$ และ $\vert +\rangle$ ไม่ตั้งฉากกัน และ $1/2$ ไม่ใช่ค่าเจาะจงของ $\rho$ อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

เป็น purification ของ $\rho$

การสลายตัวแบบ Schmidt

ต่อไป เราจะพูดถึง การสลายตัวแบบ Schmidt ซึ่งเป็นนิพจน์ของเวกเตอร์สถานะควอนตัมของ คู่ ระบบที่อยู่ในรูปแบบหนึ่ง การสลายตัวแบบ Schmidt เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ purification และมีประโยชน์ในตัวเองมาก จริงๆ แล้ว เมื่อให้เหตุผลเกี่ยวกับเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ที่กำหนดของคู่ระบบ ขั้นตอนแรกมักจะเป็นการระบุหรือพิจารณาการสลายตัวแบบ Schmidt ของสถานะนี้

นิยาม

ให้ $\vert \psi\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่กำหนดของคู่ระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ การสลายตัวแบบ Schmidt ของ $\vert\psi\rangle$ คือนิพจน์ในรูป

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

โดยที่ $p_0,\ldots,p_{r-1}$ เป็นจำนวนจริงบวกที่รวมกันได้ $1$ และ ทั้งสอง ชุด $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ และ $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ เป็น orthonormal

ค่า

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

ในการสลายตัวแบบ Schmidt ของ $\vert\psi\rangle$ เรียกว่า Schmidt coefficients ซึ่งถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน (จนถึงลำดับ) — มันเป็นจำนวนจริงบวกเพียงชุดเดียวที่สามารถปรากฏในนิพจน์ดังกล่าวของ $\vert\psi\rangle$ ชุด

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{และ}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

ในทางกลับกัน ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน และความอิสระในการเลือกชุดเวกเตอร์เหล่านี้จะถูกชี้แจงในคำอธิบายที่ตามมา

ตอนนี้เราจะตรวจสอบว่าเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ที่กำหนดมีการสลายตัวแบบ Schmidt จริงๆ และในกระบวนการนั้น เราจะเรียนรู้วิธีหาการสลายตัวนั้น

พิจารณาก่อนฐาน (ไม่จำเป็นต้อง orthogonal) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ ที่กำหนดของปริภูมิเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับระบบ $\mathsf{X}$ เพราะนี่เป็นฐาน จะมีการเลือกเวกเตอร์ $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ ที่ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันเสมอ ซึ่งสมการต่อไปนี้เป็นจริง

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ เป็นฐานมาตรฐานที่เกี่ยวข้องกับ $\mathsf{X}$ สมมติว่าชุดสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ คือ $\{0,\ldots,n-1\}$ หมายความว่า $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ สำหรับแต่ละ $a\in\{0,\ldots,n-1\}$ และเราพบว่า

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

เมื่อ

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

สำหรับแต่ละ $a\in\{0,\ldots,n-1\}$ เรามักพิจารณานิพจน์แบบนี้เมื่อคิดถึงการวัดฐานมาตรฐานของ $\mathsf{X}$

สิ่งสำคัญที่ต้องสังเกตคือสูตร

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

สำหรับเวกเตอร์ $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ ในตัวอย่างนี้ใช้ได้เพราะ $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ เป็นฐาน orthonormal โดยทั่วไป ถ้า $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ เป็นฐานที่ไม่จำเป็นต้อง orthonormal แล้วเวกเตอร์ $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ ก็ยังคงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยสมการ $(1)$ แต่ต้องการสูตรที่แตกต่างออกไป วิธีหนึ่งในการหาพวกมันคือก่อนอื่นระบุเวกเตอร์ $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ เพื่อให้สมการ

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

เป็นจริงสำหรับทุก $a,b\in\{0,\ldots,n-1\}$ ซึ่งจากนั้นเรามี

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

สำหรับฐาน $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ที่กำหนดของปริภูมิเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับ $\mathsf{X}$ เวกเตอร์ที่ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ ที่ทำให้สมการ $(1)$ เป็นจริงจะไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติพิเศษใดๆ แม้ว่า $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ จะเป็นฐาน orthonormal ก็ตาม อย่างไรก็ตาม ถ้าเราเลือก $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ ให้เป็นฐาน orthonormal ของ eigenvector ของ reduced state

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

จะมีสิ่งที่น่าสนใจเกิดขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับกลุ่มที่ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ ที่ทำให้สมการ $(1)$ เป็นจริง เราพบว่ากลุ่มนี้จะต้อง ตั้งฉากกัน

ในรายละเอียดเพิ่มเติม พิจารณาการสลายตัวเชิงสเปกตรัมของ $\rho$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

ที่นี่เราแทนค่าเจาะจงของ $\rho$ ด้วย $p_0,\ldots,p_{n-1}$ เพื่อรับรู้ว่า $\rho$ เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่น — ดังนั้นเวกเตอร์ของค่าเจาะจง $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ จึงเป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็น — ในขณะที่ $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ คือฐาน orthonormal ของ eigenvector ที่สอดคล้องกับค่าเจาะจงเหล่านั้น เพื่อดูว่ากลุ่มที่ไม่ซ้ำกัน $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ ที่ทำให้สมการ $(1)$ เป็นจริงตั้งฉากกันอย่างจำเป็น เราสามารถเริ่มต้นด้วยการคำนวณ partial trace

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

นิพจน์นี้ต้องตรงกับการสลายตัวเชิงสเปกตรัมของ $\rho$ เพราะ $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ เป็นฐาน เราสรุปว่าชุดเมทริกซ์

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

เป็น linearly independent และดังนั้นจึงตามมาว่า

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

แสดงให้เห็นว่า $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ ตั้งฉากกัน

เราได้ใกล้กับการสลายตัวแบบ Schmidt ของ $\vert\psi\rangle$ แล้ว ยังคงต้องตัดพจน์ใน $(1)$ ที่ $p_a = 0$ ออก แล้วเขียน $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ สำหรับเวกเตอร์หน่วย $\vert y_a\rangle$ สำหรับแต่ละพจน์ที่เหลือ

วิธีที่สะดวกในการทำเช่นนี้เริ่มต้นจากการสังเกตว่าเราสามารถกำหนดหมายเลขคู่ค่าเจาะจง/eigenvector ในการสลายตัวเชิงสเปกตรัมของ reduced state $\rho$ ตามต้องการ — ดังนั้นเราสามารถสมมติว่าค่าเจาะจงเรียงลำดับจากมากไปน้อย:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

ให้ $r = \operatorname{rank}(\rho)$ เราพบว่า $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ และ $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0$ ดังนั้นเรามี

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

และเราสามารถเขียนเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert \psi \rangle$ เป็น

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

เมื่อ

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

สำหรับ $a=0,\ldots,r-1$ เราสามารถนิยามเวกเตอร์หน่วย $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ เป็น

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

เพื่อให้ $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ สำหรับแต่ละ $a\in\{0,\ldots,r-1\}$ เพราะเวกเตอร์ $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ ตั้งฉากกันและไม่เป็นศูนย์ ตามมาว่า $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ เป็นชุด orthonormal และดังนั้นเราได้การสลายตัวแบบ Schmidt ของ $\vert\psi\rangle$

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

เกี่ยวกับการเลือกเวกเตอร์ $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ และ $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$ เราสามารถเลือก $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ ให้เป็นชุด orthonormal ของ eigenvector ที่สอดคล้องกับค่าเจาะจงที่ไม่เป็นศูนย์ของ reduced state $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (ดังที่เราทำด้านบน) ซึ่งในกรณีนั้นเวกเตอร์ $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ จะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน

สถานการณ์มีความสมมาตรระหว่างระบบทั้งสอง ดังนั้นเราสามารถเลือกอีกทางหนึ่งได้ว่า $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ เป็นชุด orthonormal ของ eigenvector ที่สอดคล้องกับค่าเจาะจงที่ไม่เป็นศูนย์ของ reduced state $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ ซึ่งในกรณีนั้นเวกเตอร์ $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ จะถูกกำหนด

สังเกตว่าเมื่อเลือกชุดหนึ่งแล้ว ในฐานะ eigenvector ของ reduced state ที่สอดคล้องตามที่อธิบาย อีกชุดหนึ่งจะถูกกำหนด — ดังนั้นจึงไม่สามารถเลือกได้อย่างอิสระ

แม้จะไม่ปรากฏขึ้นอีกในชุดนี้ แต่น่าสังเกตว่าค่าเจาะจงที่ไม่เป็นศูนย์ $p_0,\ldots,p_{r-1}$ ของ reduced state $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ จะต้องตรงกับค่าเจาะจงที่ไม่เป็นศูนย์ของ reduced state $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ เสมอ สำหรับสถานะบริสุทธิ์ $\vert\psi\rangle$ ของคู่ระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ใดๆ

ในเชิงสัญชาตญาณ reduced state ของ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ มีความสุ่มในปริมาณเท่ากันพอดี เมื่อคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ อยู่ในสถานะบริสุทธิ์ ข้อเท็จจริงนี้ถูกเปิดเผยโดยการสลายตัวแบบ Schmidt: ในทั้งสองกรณี ค่าเจาะจงของ reduced state จะต้องตรงกับกำลังสองของ Schmidt coefficients ของสถานะบริสุทธิ์

Unitary equivalence ของ purification

เราสามารถใช้การสลายตัวแบบ Schmidt เพื่อยืนยันข้อเท็จจริงพื้นฐานที่สำคัญเกี่ยวกับ purification ที่รู้จักกันในชื่อ unitary equivalence of purifications

ทฤษฎีบท

Unitary equivalence of purifications: สมมติว่า $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบ และ $\vert\psi\rangle$ กับ $\vert\phi\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่ purify สถานะเดียวกันของ $\mathsf{X}$ ในสัญลักษณ์คือ

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ ที่แทนสถานะของ $\mathsf{X}$ จะต้องมี unitary operation $U$ บน $\mathsf{Y}$ เพียงลำพังที่แปลง purification แรกเป็น purification ที่สอง:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

เราจะพูดถึงผลสืบเนื่องสองสามอย่างจากทฤษฎีบทนี้เมื่อบทเรียนดำเนินต่อไป แต่ก่อนอื่นมาดูว่ามันตามมาจากการพูดถึงการสลายตัวแบบ Schmidt ก่อนหน้าได้อย่างไร

สมมติฐานของเราคือ $\vert\psi\rangle$ และ $\vert\phi\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัม ของคู่ระบบ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ที่ตอบสนองสมการ

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ ที่แทนสถานะของ $\mathsf{X}$

พิจารณาการสลายตัวเชิงสเปกตรัมของ $\rho$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

ที่นี่ $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ คือฐาน orthonormal ของ eigenvector ของ $\rho$ โดยทำตามขั้นตอนที่อธิบายก่อนหน้า เราสามารถได้การสลายตัวแบบ Schmidt สำหรับทั้ง $\vert\psi\rangle$ และ $\vert\phi\rangle$ ในรูปแบบต่อไปนี้

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

ในนิพจน์เหล่านี้ $r$ คือ rank ของ $\rho$ และ $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ กับ $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ คือชุด orthonormal ของเวกเตอร์ในปริภูมิที่สอดคล้องกับ $\mathsf{Y}$

สำหรับชุด orthonormal สองชุดในปริภูมิเดียวกันที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน จะมีเมทริกซ์ unitary ที่แปลงชุดแรกเป็นชุดที่สองเสมอ ดังนั้นเราสามารถเลือกเมทริกซ์ unitary $U$ เพื่อให้ $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ สำหรับ $a = 0,\ldots,r-1$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพื่อหาเมทริกซ์ $U$ ดังกล่าว เราสามารถใช้กระบวนการ Gram-Schmidt orthogonalization เพื่อขยายชุด orthonormal ของเราไปเป็นฐาน orthonormal $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ และ $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\}$ โดยที่ $m$ คือมิติของปริภูมิที่สอดคล้องกับ $\mathsf{Y}$ แล้วนำ

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

ตอนนี้เราพบว่า

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

ซึ่งทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างและผลสืบเนื่องที่น่าสนใจไม่กี่อย่างจากมากมายที่เชื่อมโยงกับ unitary equivalence of purifications เราจะเห็นผลสืบเนื่องที่สำคัญอีกหนึ่งต่อมาในบทเรียน ในบริบทของ fidelity ที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทของ Uhlmann

Superdense coding

ในโปรโตคอล superdense coding อลิซและบ็อบแชร์ e-bit หมายความว่าอลิซถือ Qubit $\mathsf{A}$ บ็อบถือ Qubit $\mathsf{B}$ และคู่ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ รวมกันอยู่ในสถานะ Bell $\vert\phi^{+}\rangle$ โปรโตคอลอธิบายว่าอลิซสามารถแปลงสถานะที่แชร์นี้ไปเป็นหนึ่งในสี่สถานะ Bell ได้อย่างไร ได้แก่ $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ และ $\vert\psi^-\rangle,$ โดยการกระทำ unitary operation บน Qubit $\mathsf{A}$ ของเธอ เมื่อทำเสร็จแล้ว เธอส่ง $\mathsf{A}$ ให้บ็อบ จากนั้นบ็อบทำการวัดบนคู่ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ เพื่อดูว่าเขาถือสถานะ Bell ใด

สำหรับสถานะ Bell ทั้งสี่ reduced state ของ Qubit $\mathsf{B}$ ของบ็อบคือสถานะผสมอย่างสมบูรณ์

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

โดย unitary equivalence of purifications เราสรุปได้ทันทีว่าสำหรับสถานะ Bell แต่ละตัว จะต้องมี unitary operation บน Qubit $\mathsf{A}$ ของอลิซเพียงลำพังที่แปลง $\vert\phi^+\rangle$ ไปเป็นสถานะ Bell ที่เลือก แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่เปิดเผยรายละเอียดที่แน่นอนของโปรโตคอล แต่ unitary equivalence of purifications ก็หมายความทันทีว่า superdense coding เป็นไปได้

เราสามารถสรุปได้ด้วยว่าการขยาย superdense coding ไปยังระบบที่ใหญ่กว่านั้นเป็นไปได้เสมอ ตราบที่เราแทนที่สถานะ Bell ด้วยฐาน orthonormal ของ purification ของสถานะผสมอย่างสมบูรณ์

ผลสืบเนื่องเชิงการเข้ารหัส

unitary equivalence of purifications มีผลสืบเนื่องเกี่ยวกับการนำ cryptographic primitive ไปใช้โดยใช้สารสนเทศเชิงควอนตัม ตัวอย่างเช่น unitary equivalence of purifications เปิดเผยว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะนำ bit commitment ในรูปแบบในอุดมคติไปใช้โดยใช้สารสนเทศเชิงควอนตัม

bit commitment primitive เกี่ยวข้องกับผู้เข้าร่วมสองคนคืออลิซและบ็อบ (ซึ่งไม่ไว้ใจกัน) และมีสองระยะ

• ระยะแรกคือ commit phase ซึ่งอลิซ commit กับค่าไบนารี $b\in\{0,1\}$ การ commit นี้ต้อง binding หมายความว่าอลิซไม่สามารถเปลี่ยนใจได้ รวมทั้งต้อง concealing หมายความว่าบ็อบไม่สามารถบอกได้ว่าอลิซ commit กับค่าใด
• ระยะที่สองคือ reveal phase ซึ่ง bit ที่อลิซ commit จะกลายเป็นที่รู้จักของบ็อบ ซึ่งควรมั่นใจว่าเป็นค่าที่ commit จริงๆ ที่ถูกเปิดเผย

ในเชิงปฏิบัติที่เข้าใจง่าย ระยะแรกของ bit commitment ควรทำงานราวกับว่าอลิซเขียนค่าไบนารีบนกระดาษ ล็อกกระดาษไว้ในตู้เซฟ และมอบตู้เซฟให้บ็อบในขณะที่เก็บกุญแจไว้กับตัวเอง อลิซได้ commit กับค่าไบนารีที่เขียนบนกระดาษเพราะตู้เซฟอยู่ในครอบครองของบ็อบ (จึง binding) แต่เพราะบ็อบไม่สามารถเปิดตู้เซฟได้ เขาจึงไม่สามารถบอกได้ว่าอลิซ commit กับค่าใด (จึง concealing) ระยะที่สองควรทำงานราวกับว่าอลิซมอบกุญแจตู้เซฟให้บ็อบ เพื่อให้เขาสามารถเปิดตู้เซฟเพื่อเปิดเผยค่าที่อลิซ commit

ปรากฏว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะนำโปรโตคอล bit commitment ที่สมบูรณ์แบบไปใช้โดยใช้สารสนเทศเชิงควอนตัมเพียงอย่างเดียว เพราะนั่นขัดแย้งกับ unitary equivalence of purifications นี่คือสรุประดับสูงของข้อโต้แย้งที่ยืนยันเรื่องนี้

เพื่อเริ่มต้น เราสามารถสมมติว่าอลิซและบ็อบดำเนินการ unitary เท่านั้น หรือนำระบบที่กำหนดค่าเริ่มต้นใหม่เข้ามาขณะที่โปรโตคอลดำเนินการ ข้อเท็จจริงที่ว่าทุกช่องสัญญาณมี Stinespring representation อนุญาตให้เราทำสมมติฐานนี้ได้

ในตอนท้ายของ commit phase ของโปรโตคอล บ็อบถือในครอบครองระบบรวมบางอย่างที่จะต้องอยู่ในหนึ่งในสองสถานะควอนตัม: $\rho_0$ ถ้าอลิซ commit กับค่า $0$ และ $\rho_1$ ถ้าอลิซ commit กับค่า $1$ เพื่อให้โปรโตคอล concealing อย่างสมบูรณ์ บ็อบไม่ควรสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองสถานะนี้ได้ — ดังนั้นจะต้องเป็นกรณีที่ $\rho_0 = \rho_1$ (ไม่เช่นนั้นจะมีการวัดที่สามารถแยกแยะสถานะเหล่านี้ได้โดยความน่าจะเป็น)

อย่างไรก็ตาม เพราะอลิซและบ็อบใช้เฉพาะ unitary operation สถานะของทุกระบบที่เกี่ยวข้องในโปรโตคอลรวมกันหลังจาก commit phase จะต้องอยู่ในสถานะบริสุทธิ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่า $\vert\psi_0\rangle$ คือสถานะบริสุทธิ์ของทุกระบบที่เกี่ยวข้องในโปรโตคอลเมื่ออลิซ commit กับ $0$ และ $\vert\psi_1\rangle$ คือสถานะบริสุทธิ์เมื่ออลิซ commit กับ $1$ ถ้าเราเขียน $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ เพื่อแทนระบบ (ที่อาจเป็นรวม) ของอลิซและบ็อบ แล้ว

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

เมื่อให้เงื่อนไขที่ว่า $\rho_0 = \rho_1$ สำหรับโปรโตคอล concealing อย่างสมบูรณ์ เราพบว่า $\vert\psi_0\rangle$ และ $\vert\psi_1\rangle$ เป็น purification ของสถานะเดียวกัน — ดังนั้น โดย unitary equivalence of purifications จะต้องมี unitary operation $U$ บน $\mathsf{A}$ เพียงลำพังที่ทำให้

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

ดังนั้น อลิซจึงอิสระที่จะเปลี่ยนการ commit จาก $0$ เป็น $1$ โดยการใช้ $U$ กับ $\mathsf{A}$, หรือจาก $1$ เป็น $0$ โดยการใช้ $U^{\dagger}$ และโปรโตคอลสมมติที่กำลังพิจารณาจะล้มเหลวอย่างสิ้นเชิงในการเป็น binding

ทฤษฎีบท Hughston-Jozsa-Wootters

ผลสืบเนื่องสุดท้ายของ unitary equivalence of purifications ที่เราจะพูดถึงในส่วนนี้ของบทเรียนคือทฤษฎีบทต่อไปนี้ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Hughston-Jozsa-Wootters (นี่เป็นคำกล่าวที่ง่ายขึ้นเล็กน้อยของทฤษฎีบทที่รู้จักกันในชื่อนี้)

ทฤษฎีบท

Hughston-Jozsa-Wootters: ให้ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบ และ $\vert\phi\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมของคู่ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ยังให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่กำหนดเอง ให้ $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ เป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็น และให้ $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ เป็นเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่แทนสถานะของ $\mathsf{X}$ ที่ทำให้

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

มีการวัด (ทั่วไป) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ บน $\mathsf{Y}$ ที่ทำให้คำกล่าวสองข้อต่อไปนี้เป็นจริงเมื่อทำการวัดนี้บน $\mathsf{Y}$ เมื่อ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ อยู่ในสถานะ $\vert\phi\rangle$:

1. ผลลัพธ์การวัดแต่ละตัว $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น $p_a$
2. เมื่อมีเงื่อนไขว่าได้รับผลลัพธ์การวัด $a$ สถานะของ $\mathsf{X}$ จะกลายเป็น $\vert\psi_a\rangle$

ในเชิงสัญชาตญาณ ทฤษฎีบทนี้บอกว่าตราบที่เรามีสถานะบริสุทธิ์ของระบบสองระบบ แล้วสำหรับ ทุก วิธีในการคิดเกี่ยวกับ reduced state ของระบบแรกในรูปผลรวม convex ของสถานะบริสุทธิ์ จะมีการวัดของระบบที่สองที่ทำให้วิธีคิดเกี่ยวกับระบบแรกนี้เป็นความจริงได้อย่างมีประสิทธิผล สังเกตว่า $N$ ไม่จำเป็นต้องถูกจำกัดด้วยจำนวนสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ หรือ $\mathsf{Y}$ ตัวอย่างเช่น อาจเป็นไปได้ที่ $N = 1,000,000$ ในขณะที่ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Y}$ เป็น Qubit

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยใช้ unitary equivalence of purifications โดยเริ่มต้นด้วยการแนะนำระบบใหม่ $\mathsf{Z}$ ที่มีชุดสถานะคลาสสิก $\{0,\ldots,N-1\}$ พิจารณาเวกเตอร์สถานะควอนตัมสองตัวต่อไปนี้ของสาม $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

เวกเตอร์แรก $\vert\gamma_0\rangle$ เป็นเพียงเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\phi\rangle$ ที่กำหนด tensor กับ $\vert 0\rangle$ สำหรับระบบใหม่ $\mathsf{Z}$ สำหรับเวกเตอร์ที่สอง $\vert\gamma_1\rangle$ เราโดยหลักแล้วมีเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่จะทำให้ทฤษฎีบทชัดเจน — อย่างน้อยถ้า $\mathsf{Y}$ ถูกแทนที่ด้วย $\mathsf{Z}$ — เพราะการวัดฐานมาตรฐานที่ทำบน $\mathsf{Z}$ ชัดเจนว่าให้ผลลัพธ์แต่ละตัว $a$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_a$ และเมื่อมีเงื่อนไขว่าได้ผลลัพธ์นี้ สถานะของ $\mathsf{X}$ จะกลายเป็น $\vert\psi_a\rangle$

โดยคิดถึงคู่ $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ ในฐานะระบบรวมเดี่ยวที่สามารถเทรซออกเพื่อเหลือ $\mathsf{X}$ เราพบว่าเราได้ระบุ purification สองตัวที่แตกต่างกันของสถานะ

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

โดยเฉพาะ สำหรับอันแรกเรามี

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

และสำหรับอันที่สองเรามี

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

ดังนั้นจะต้องมี unitary operation $U$ บน $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ ที่ตอบสนอง

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

โดย unitary equivalence of purifications

โดยใช้ unitary operation $U$ นี้ เราสามารถนำการวัดที่ตอบสนองข้อกำหนดของทฤษฎีบทไปใช้ได้ตามที่ไดอะแกรมต่อไปนี้แสดง กล่าวเป็นคำพูด เราแนะนำระบบใหม่ $\mathsf{Z}$ ที่กำหนดค่าเริ่มต้นเป็นสถานะ $\vert 0\rangle$ ใช้ $U$ กับ $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ ซึ่งแปลงสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ จาก $\vert\gamma_0\rangle$ ไปเป็น $\vert\gamma_1\rangle$ จากนั้นวัด $\mathsf{Z}$ ด้วยการวัดฐานมาตรฐาน ซึ่งเราสังเกตแล้วว่าให้พฤติกรรมที่ต้องการ

สี่เหลี่ยมจุดในรูปแทนการนำการวัดนี้ไปใช้ ซึ่งสามารถอธิบายเป็นกลุ่มเมทริกซ์กึ่งนิยวบวก $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ ได้ดังนี้

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$