พื้นฐานของ quantum channel

ในเชิงคณิตศาสตร์ channel คือการแมปเชิงเส้นจาก density matrix ไปยัง density matrix ที่ต้องตรงตามเงื่อนไขบางอย่าง ตลอดบทเรียนนี้เราจะใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ รวมถึง $\Phi$ และ $\Psi$ รวมถึงตัวอักษรอื่น ๆ ในบางกรณีเฉพาะ เพื่ออ้างถึง channel

ทุก channel $\Phi$ มีระบบอินพุตและระบบเอาต์พุต โดยทั่วไปเราจะใช้ชื่อ $\mathsf{X}$ สำหรับระบบอินพุตและ $\mathsf{Y}$ สำหรับระบบเอาต์พุต เป็นเรื่องปกติที่ระบบเอาต์พุตของ channel จะเป็นระบบเดียวกับอินพุต ในกรณีนี้เราสามารถใช้ตัวอักษรเดิม $\mathsf{X}$ เพื่ออ้างถึงทั้งสอง

Channel คือการแมปเชิงเส้น

Channel อธิบายด้วยการแมป เชิงเส้น เช่นเดียวกับการดำเนินการเชิงความน่าจะเป็นในการกำหนดสูตรมาตรฐานของสารสนเทศคลาสสิก และการดำเนินการยูนิทารีในการกำหนดสูตรแบบง่ายของสารสนเทศเชิงควอนตัม

ถ้า channel $\Phi$ ถูกกระทำกับระบบอินพุต $\mathsf{X}$ ที่อยู่ในสถานะที่อธิบายด้วย density matrix $\rho$ ระบบเอาต์พุตของ channel จะถูกอธิบายด้วย density matrix $\Phi(\rho)$ ในกรณีที่ระบบเอาต์พุตของ $\Phi$ ก็คือ $\mathsf{X}$ เช่นกัน เราสามารถมองได้ว่า channel แทนการเปลี่ยนแปลงสถานะของ $\mathsf{X}$ จาก $\rho$ เป็น $\Phi(\rho)$ เมื่อระบบเอาต์พุตของ $\Phi$ เป็นระบบอื่น $\mathsf{Y}$ ไม่ใช่ $\mathsf{X}$ ควรเข้าใจว่า $\mathsf{Y}$ เป็นระบบใหม่ที่ถูกสร้างขึ้นจากกระบวนการของการนำ channel ไปใช้ และระบบอินพุต $\mathsf{X}$ ไม่สามารถใช้งานได้อีกต่อไปเมื่อนำ channel ไปใช้แล้ว ราวกับว่า channel เองได้แปลง $\mathsf{X}$ เป็น $\mathsf{Y}$ โดยทิ้งไว้ในสถานะ $\Phi(\rho)$

การสมมติว่า channel ถูกอธิบายด้วยการแมป เชิงเส้น สามารถมองว่าเป็นสัจพจน์ หรืออีกนัยหนึ่งคือหลักการพื้นฐานของทฤษฎีที่ไม่ได้รับการพิสูจน์ อย่างไรก็ตาม เราสามารถเห็นความจำเป็นที่ channel ต้องทำงานเชิงเส้นบนการรวมแบบนูนของ density matrix เพื่อให้สอดคล้องกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและสิ่งที่เรารู้อยู่แล้วเกี่ยวกับ density matrix

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น สมมติว่าเรามี channel $\Phi$ และนำไปใช้กับระบบที่อยู่ในสถานะหนึ่งจากสองสถานะที่แทนด้วย density matrix $\rho$ และ $\sigma$ ถ้าเรานำ channel ไปใช้กับ $\rho$ เราจะได้ density matrix $\Phi(\rho)$ และถ้านำไปใช้กับ $\sigma$ เราจะได้ density matrix $\Phi(\sigma)$ ดังนั้น ถ้าเราเลือกสถานะอินพุตของ $\mathsf{X}$ แบบสุ่มให้เป็น $\rho$ ด้วยความน่าจะเป็น $p$ และ $\sigma$ ด้วยความน่าจะเป็น $1-p$ เราจะได้สถานะเอาต์พุต $\Phi(\rho)$ ด้วยความน่าจะเป็น $p$ และ $\Phi(\sigma)$ ด้วยความน่าจะเป็น $1-p$ ซึ่งแทนด้วยค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ density matrix เป็น $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)$

ในอีกแง่หนึ่ง เราอาจมองสถานะอินพุตของ channel เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก $p\rho + (1-p)\sigma$ ซึ่งในกรณีนั้นเอาต์พุตคือ $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)$ เป็นสถานะเดียวกันไม่ว่าเราจะเลือกมองแบบใด ดังนั้นเราจะต้องมี

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

เมื่อใดก็ตามที่เรามีการแมปที่ตรงตามเงื่อนไขนี้สำหรับทุกตัวเลือกของ density matrix $\rho$ และ $\sigma$ และสเกลาร์ $p\in [0,1]$ จะมีวิธีเดียวที่ไม่ซ้ำกันในการขยายการแมปนั้นไปยังอินพุตเมทริกซ์ทุกตัว (นั่นคือ ไม่จำกัดเฉพาะอินพุต density matrix) เพื่อให้เป็นเชิงเส้น

Channel แปลง density matrix เป็น density matrix

โดยธรรมชาติ นอกจากจะเป็นการแมปเชิงเส้นแล้ว channel ยังต้องแปลง density matrix เป็น density matrix ด้วย ถ้า channel $\Phi$ ถูกนำไปใช้กับระบบอินพุตขณะที่ระบบอยู่ในสถานะที่แทนด้วย density matrix $\rho$ เราจะได้ระบบที่มีสถานะแทนด้วย $\Phi(\rho)$ ซึ่งต้องเป็น density matrix ที่ถูกต้องเพื่อให้เราตีความเป็นสถานะได้

อย่างไรก็ตาม สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่งคือเราต้องพิจารณาสถานการณ์ทั่วไปกว่า ที่ channel $\Phi$ แปลงระบบ $\mathsf{X}$ เป็นระบบ $\mathsf{Y}$ เมื่อมีระบบเพิ่มเติม $\mathsf{Z}$ ที่ไม่ถูกกระทำอะไร นั่นคือ ถ้าเริ่มจากคู่ระบบ $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ในสถานะที่อธิบายด้วย density matrix บางตัว แล้วนำ $\Phi$ ไปใช้กับ $\mathsf{X}$ เท่านั้น แปลงเป็น $\mathsf{Y}$ เราต้องได้ density matrix ที่อธิบายสถานะของคู่ $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$

เราสามารถอธิบายเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้ว่า channel $\Phi$ ที่มีระบบอินพุต $\mathsf{X}$ และระบบเอาต์พุต $\mathsf{Y}$ แปลงสถานะของคู่ $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ เป็นสถานะของ $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ อย่างไร เมื่อไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{Z}$ เพื่อความง่าย เราจะสมมติว่าชุดสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{Z}$ คือ $\{0,\ldots,m-1\}$ ซึ่งช่วยให้เราเขียน density matrix $\rho$ ทุกตัว ที่แทนสถานะของ $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ในรูปต่อไปนี้

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

ทางขวามือของสมการนี้คือ block matrix ซึ่งเราอาจมองเป็นเมทริกซ์ของเมทริกซ์ ยกเว้นว่าวงเล็บชั้นในถูกตัดออก ทำให้ได้เมทริกซ์ธรรมดาที่อาจอธิบายแทนด้วย Dirac notation ดังที่แสดงในนิพจน์กลาง แต่ละเมทริกซ์ $\rho_{a,b}$ มีแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{X}$ และหาเมทริกซ์เหล่านี้ได้จากสูตรง่าย ๆ

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

สังเกตว่าโดยทั่วไปเมทริกซ์เหล่านี้ไม่ใช่ density matrix แต่เมื่อนำมาจัดเรียงเพื่อสร้าง $\rho$ เท่านั้นที่เราได้ density matrix

สมการต่อไปนี้อธิบายสถานะของ $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ ที่ได้เมื่อนำ $\Phi$ ไปใช้กับ $\mathsf{X}$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

สังเกตว่าเพื่อประเมินนิพจน์นี้สำหรับตัวเลือก $\Phi$ และ $\rho$ ที่กำหนด เราต้องเข้าใจว่า $\Phi$ ทำงานเป็นการแมปเชิงเส้นบนอินพุตที่ไม่ใช่ density matrix อย่างไร เนื่องจากแต่ละ $\rho_{a,b}$ โดยทั่วไปจะไม่ใช่ density matrix โดยลำพัง สมการนี้สอดคล้องกับนิพจน์ $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho)$ ซึ่ง $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ แทน identity channel บนระบบ $\mathsf{Z}$ ซึ่งสมมติว่าเราได้ขยายความคิดของ tensor product ไปยังการแมปเชิงเส้นจากเมทริกซ์สู่เมทริกซ์แล้ว ซึ่งทำได้ไม่ยาก แต่ไม่จำเป็นต้องอธิบายในบทเรียนนี้

ย้ำอีกครั้งถึงสิ่งที่กล่าวไว้ข้างต้น เพื่อให้การแมปเชิงเส้น $\Phi$ เป็น channel ที่ถูกต้อง จะต้องเป็นเช่นนี้: สำหรับทุกตัวเลือกของ $\mathsf{Z}$ และ density matrix $\rho$ ของคู่ $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ เราต้องได้ density matrix เสมอเมื่อนำ $\Phi$ ไปใช้กับ $\mathsf{X}$ ในเชิงคณิตศาสตร์ คุณสมบัติที่การแมปต้องมีเพื่อเป็น channel ได้แก่ต้องเป็น trace-preserving (เพื่อให้เมทริกซ์ที่ได้จากการนำ channel ไปใช้มี trace เท่ากับหนึ่ง) และต้องเป็น completely positive (เพื่อให้เมทริกซ์ที่ได้เป็น positive semidefinite) ทั้งสองเป็นคุณสมบัติสำคัญที่สามารถพิจารณาและศึกษาแยกกันได้ แต่ไม่จำเป็นสำหรับบทเรียนนี้ที่จะต้องพิจารณาคุณสมบัติเหล่านี้แยกกัน

จริง ๆ แล้วมีการแมปเชิงเส้นที่ให้ density matrix เสมอเมื่ออินพุตเป็น density matrix แต่ล้มเหลวในการแมป density matrix เป็น density matrix สำหรับระบบประกอบ ดังนั้นเราจึงตัดการแมปเชิงเส้นบางตัวออกจากกลุ่ม channel (การแมปเชิงเส้นที่กำหนดโดย matrix transposition เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด)

เรามีสูตรที่คล้ายคลึงกับสูตรข้างต้นในกรณีที่สลับระบบ $\mathsf{X}$ และ $\mathsf{Z}$ เพื่อให้ $\Phi$ ถูกนำไปใช้กับระบบทางซ้ายแทนที่จะเป็นทางขวา

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

โดยสมมติว่า $\rho$ เป็นสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ แทนที่จะเป็น $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ครั้งนี้การอธิบายด้วย block matrix ไม่ได้ผลเพราะเมทริกซ์ $\rho_{a,b}$ ไม่ได้อยู่ในแถวและคอลัมน์ที่ต่อเนื่องกันใน $\rho$ แต่โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังเหมือนกัน

การแมปเชิงเส้นใดที่ตรงตามข้อกำหนดว่าต้องแปลง density matrix เป็น density matrix เสมอ แม้เมื่อนำไปใช้กับเพียงส่วนหนึ่งของระบบประกอบ ก็แทน channel ที่ถูกต้อง ดังนั้น ในแง่นามธรรม แนวคิดของ channel ถูกกำหนดโดยแนวคิดของ density matrix ร่วมกับสมมติฐานว่า channel ทำงานเชิงเส้น ในแง่นี้ channel มีความคล้ายคลึงกับการดำเนินการยูนิทารีในการกำหนดสูตรแบบง่ายของสารสนเทศเชิงควอนตัม ซึ่งเป็นการแมปเชิงเส้นที่แปลง quantum state vector เป็น quantum state vector สำหรับระบบที่กำหนดเสมอ รวมถึงการดำเนินการเชิงความน่าจะเป็น (แทนด้วย stochastic matrix) ในการกำหนดสูตรมาตรฐานของสารสนเทศคลาสสิก ซึ่งเป็นการแมปเชิงเส้นที่แปลง probability vector เป็น probability vector เสมอ

การดำเนินการยูนิทารีในฐานะ channel

สมมติว่า $\mathsf{X}$ เป็นระบบและ $U$ เป็นเมทริกซ์ยูนิทารีที่แทนการดำเนินการบน $\mathsf{X}$ channel $\Phi$ ที่อธิบายการดำเนินการนี้บน density matrix ถูกนิยามดังนี้สำหรับทุก density matrix $\rho$ ที่แทนสถานะควอนตัมของ $\mathsf{X}$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

การกระทำนี้ที่คูณด้วย $U$ ทางซ้ายและ $U^{\dagger}$ ทางขวา มักเรียกว่า conjugation ด้วยเมทริกซ์ $U$

การอธิบายนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า density matrix ที่แทน quantum state vector $\vert\psi\rangle$ ที่กำหนดคือ $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าการดำเนินการยูนิทารี $U$ ถูกกระทำกับ $\vert\psi\rangle$ สถานะเอาต์พุตจะแทนด้วยเวกเตอร์ $U\vert\psi\rangle$ ดังนั้น density matrix ที่อธิบายสถานะนี้จะเท่ากับ

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

เมื่อเราทราบว่า ในฐานะ channel การดำเนินการ $U$ มีผลการทำงาน $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ บน pure state เราสามารถสรุปได้โดยความเป็นเชิงเส้นว่ามันต้องทำงานตามที่ระบุในสมการ $(1)$ ข้างต้นสำหรับ density matrix $\rho$ ใด ๆ

channel เฉพาะที่เราได้เมื่อเลือก $U = \mathbb{I}$ คือ identity channel $\;\operatorname{Id}$ ซึ่งเราสามารถเพิ่ม subscript (เช่น $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ ดังที่พบมาแล้ว) เมื่อต้องการระบุอย่างชัดเจนว่า channel นี้ทำงานบนระบบใด เอาต์พุตของมันเท่ากับอินพุตเสมอ: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho$ อาจดูเหมือนไม่น่าสนใจ แต่จริง ๆ แล้วสำคัญมาก และเหมาะอย่างยิ่งที่นี่จะเป็นตัวอย่างแรกของเรา identity channel คือ channel ที่ สมบูรณ์แบบ ในบางบริบท แทนหน่วยความจำที่ไม่มีการสูญเสีย หรือการส่งสารสนเทศที่สมบูรณ์แบบและไร้สัญญาณรบกวนจากผู้ส่งไปยังผู้รับ

ทุก channel ที่นิยามด้วยการดำเนินการยูนิทารีในลักษณะนี้เป็น channel ที่ถูกต้อง: conjugation ด้วยเมทริกซ์ $U$ ให้การแมปเชิงเส้น และถ้า $\rho$ เป็น density matrix ของระบบ $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ และ $U$ เป็นยูนิทารี ผลลัพธ์ซึ่งแสดงเป็น

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

ก็เป็น density matrix เช่นกัน โดยเฉพาะเมทริกซ์นี้ต้องเป็น positive semidefinite เพราะถ้า $\rho = M^{\dagger} M$ แล้ว

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

สำหรับ $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})$ และต้องมี trace เป็นหนึ่งจากคุณสมบัติ cyclic ของ trace

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

การรวมแบบนูนของ channel

สมมติว่าเรามีสอง channel $\Phi_0$ และ $\Phi_1$ ที่มีระบบอินพุตและระบบเอาต์พุตเหมือนกัน สำหรับจำนวนจริง $p\in[0,1]$ ใด ๆ เราอาจเลือกนำ $\Phi_0$ ไปใช้ด้วยความน่าจะเป็น $p$ และ $\Phi_1$ ด้วยความน่าจะเป็น $1-p$ ซึ่งได้ channel ใหม่ที่เขียนเป็น $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1$ การทำงานของ channel นี้บน density matrix ที่กำหนดระบุโดยสมการง่าย ๆ ต่อไปนี้

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

โดยทั่วไป ถ้าเรามี channel $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ และ probability vector $(p_0,\ldots, p_{m-1})$ เราสามารถหาค่าเฉลี่ย channel เหล่านี้เพื่อได้ channel ใหม่

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

นี่คือ การรวมแบบนูน ของ channel และเราได้ channel ที่ถูกต้องเสมอจากกระบวนการนี้ วิธีง่าย ๆ ที่จะพูดในเชิงคณิตศาสตร์คือ สำหรับตัวเลือกอินพุตและเอาต์พุตที่กำหนด ชุดของ channel ทั้งหมดเป็น convex set

เป็นตัวอย่าง เราอาจเลือกนำการดำเนินการ ยูนิทารี หนึ่งจากชุดของการดำเนินการยูนิทารีไปใช้กับระบบที่กำหนด เราได้สิ่งที่เรียกว่า mixed unitary channel ซึ่งเป็น channel ที่แสดงในรูปแบบต่อไปนี้

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

mixed unitary channel ที่การดำเนินการยูนิทารีทั้งหมดเป็น Pauli matrix (หรือ tensor product ของ Pauli matrix) เรียกว่า Pauli channel และพบบ่อยในการคำนวณเชิงควอนตัม

ตัวอย่างของ qubit channel

ตอนนี้เราจะดูตัวอย่างเฉพาะของ channel ที่ไม่ใช่ยูนิทารีสักสองสามตัว สำหรับตัวอย่างเหล่านี้ทั้งหมด ระบบอินพุตและเอาต์พุตเป็น Qubit เดี่ยว หรืออีกนัยหนึ่งคือตัวอย่างเหล่านี้คือ qubit channel

qubit reset channel

channel นี้ทำสิ่งง่าย ๆ มาก: รีเซ็ต Qubit ให้เป็นสถานะ $\vert 0\rangle$ ในฐานะการแมปเชิงเส้น channel นี้แสดงดังต่อไปนี้สำหรับทุก qubit density matrix $\rho$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

แม้ว่า trace ของ density matrix $\rho$ ทุกตัวจะเท่ากับ $1$ การเขียน channel ในลักษณะนี้ทำให้ชัดเจนว่ามันเป็นการแมปเชิงเส้นที่สามารถนำไปใช้กับเมทริกซ์ $2\times 2$ ใด ๆ ไม่จำกัดแค่ density matrix ดังที่สังเกตไปแล้ว เราต้องเข้าใจว่า channel ทำงานเป็นการแมปเชิงเส้นบนอินพุตที่ไม่ใช่ density matrix อย่างไร เพื่ออธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อนำไปใช้กับเพียงส่วนหนึ่งของระบบประกอบ

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ เป็น Qubit และคู่ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ อยู่ในสถานะ Bell $\vert \phi^+\rangle$ ในรูปแบบ density matrix สถานะนี้คือ

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

โดยใช้ Dirac notation เราสามารถแสดงสถานะนี้ได้อีกแบบดังนี้

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

โดยการนำ qubit reset channel ไปใช้กับ $\mathsf{A}$ และไม่ทำอะไรกับ $\mathsf{B}$ เราได้สถานะต่อไปนี้

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

อาจดูเหมือนว่าการรีเซ็ต $\mathsf{A}$ มีผลต่อ $\mathsf{B}$ ทำให้กลายเป็น completely mixed แต่ในแง่หนึ่งนั้นตรงข้ามกัน ก่อนที่ $\mathsf{A}$ จะถูกรีเซ็ต สถานะ reduced ของ $\mathsf{B}$ เป็น completely mixed state อยู่แล้ว และนั่นไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อรีเซ็ต $\mathsf{A}$

completely dephasing channel

นี่คือตัวอย่างของ qubit channel ที่ชื่อ $\Delta$ อธิบายโดยการกระทำบนเมทริกซ์ $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

กล่าวง่าย ๆ $\Delta$ ทำให้รายการ off-diagonal ของเมทริกซ์ $2\times 2$ เป็นศูนย์ ตัวอย่างนี้สามารถขยายไปยังระบบใด ๆ ไม่จำกัดเฉพาะ Qubit: ไม่ว่า density matrix ใดเป็นอินพุต channel จะทำให้รายการ off-diagonal ทั้งหมดเป็นศูนย์และเหลือเฉพาะ diagonal

channel นี้เรียกว่า completely dephasing channel และสามารถมองเป็นรูปแบบสุดโต่งของกระบวนการที่เรียกว่า decoherence ซึ่งโดยพื้นฐานทำลาย quantum superposition และเปลี่ยนเป็นสถานะเชิงความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก

อีกวิธีในการมอง channel นี้คือมันอธิบายการวัดในฐาน standard บน Qubit โดยที่ Qubit อินพุตถูกวัดและทิ้ง และเอาต์พุตเป็น density matrix ที่อธิบายผลการวัด หรืออีกแบบที่เทียบเท่ากัน เราอาจนึกภาพว่าผลการวัดถูกทิ้ง ทำให้ Qubit อยู่ในสถานะหลังการวัด

ลองพิจารณา e-bit อีกครั้ง และดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อนำ $\Delta$ ไปใช้กับเพียง Qubit เดียวจากสองตัว โดยเฉพาะ เรามี Qubit $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ ที่ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ อยู่ในสถานะ $\vert\phi^+\rangle$ และครั้งนี้นำ channel ไปใช้กับ Qubit ที่สอง นี่คือสถานะที่ได้

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

หรือจะแสดงสมการนี้โดยใช้ block matrix ก็ได้

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

เราอาจพิจารณา qubit channel ที่ทำให้ Qubit dephase เพียงเล็กน้อยแทนที่จะ dephase อย่างสมบูรณ์ ซึ่งเป็นรูปแบบ decoherence ที่รุนแรงน้อยกว่า completely dephasing channel โดยเฉพาะ สมมติว่า $\varepsilon \in (0,1)$ เป็นจำนวนจริงขนาดเล็กแต่ไม่เป็นศูนย์ เราสามารถนิยาม channel

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

ซึ่งแปลง qubit density matrix $\rho$ ที่กำหนดดังนี้:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

นั่นคือ ไม่มีอะไรเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น $1-\varepsilon$ และด้วยความน่าจะเป็น $\varepsilon$ Qubit จะ dephase ในเชิงเมทริกซ์ การกระทำนี้แสดงได้ดังนี้ โดยที่รายการ diagonal ไม่เปลี่ยนแปลงและรายการ off-diagonal ถูกคูณด้วย $1-\varepsilon$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

completely depolarizing channel

นี่คืออีกตัวอย่างของ qubit channel ที่ชื่อ $\Omega$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

ที่นี่ $\mathbb{I}$ แทนเมทริกซ์ identity ขนาด $2\times 2$ กล่าวง่าย ๆ สำหรับ density matrix อินพุต $\rho$ ใด ๆ channel $\Omega$ จะเอาต์พุต completely mixed state นี่คือสัญญาณรบกวนสูงสุดที่เป็นไปได้! channel นี้เรียกว่า completely depolarizing channel และเช่นเดียวกับ completely dephasing channel สามารถขยายไปยังระบบใด ๆ แทน Qubit ได้

เราอาจพิจารณา channel แบบที่รุนแรงน้อยกว่า ซึ่ง depolarize ด้วยความน่าจะเป็น $\varepsilon$ คล้ายกับที่เห็นใน dephasing channel

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$