การแทนค่าของช่อง

ต่อไปเราจะพูดถึงการแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของช่อง

การส่งแบบเชิงเส้นจากเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์สามารถแทนด้วยเมทริกซ์ได้ในแบบที่คุ้นเคย โดยการกระทำของการส่งเชิงเส้นนั้นอธิบายด้วยการคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ แต่ช่องเป็นการส่งเชิงเส้นจากเมทริกซ์ไปยังเมทริกซ์ ไม่ใช่จากเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์ ดังนั้น โดยทั่วไป เราจะแสดงช่องในเชิงคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

สำหรับช่องบางช่อง เราอาจมีสูตรง่าย ๆ ที่อธิบายมันได้ เช่น ตัวอย่างสามช่อง qubit ที่ไม่ใช่ยูนิทารีที่อธิบายก่อนหน้านี้ แต่ช่องโดยพลการอาจไม่มีสูตรที่สะอาดแบบนั้น จึงไม่ใช่เรื่องปฏิบัติได้ในทางทั่วไปที่จะแสดงช่องในลักษณะนี้

เพื่อเปรียบเทียบ ในการกำหนดสูตรควอนตัมแบบง่าย เราใช้ เมทริกซ์ยูนิทารี เพื่อแทนการกระทำบนเวกเตอร์สถานะควอนตัม โดยที่เมทริกซ์ยูนิทารีทุกตัวแทนการกระทำที่ถูกต้อง และทุกการกระทำที่ถูกต้องสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์ยูนิทารีได้ โดยแก่นแท้แล้ว คำถามที่กำลังถามคือ: เราจะทำสิ่งที่คล้ายกันสำหรับช่องได้อย่างไร?

ในการตอบคำถามนี้ เราต้องการเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เราจะเห็นว่าช่องสามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้หลายวิธี รวมถึงการแทนค่าที่ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่สามบุคคลที่มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาสิ่งเหล่านี้: Stinespring, Kraus, และ Choi. วิธีต่าง ๆ เหล่านี้ในการอธิบายช่องร่วมกันเสนอมุมมองและการวิเคราะห์ที่แตกต่างกัน

การแทนค่าแบบ Stinespring

การแทนค่าแบบ Stinespring มีพื้นฐานมาจากแนวคิดที่ว่าช่องทุกช่องสามารถนำไปใช้งานได้ในแบบมาตรฐาน โดยที่ระบบนำเข้าจะถูกรวมกับระบบพื้นที่ทำงานที่ถูกกำหนดค่าเริ่มต้นก่อน ก่อให้เกิดระบบรวม จากนั้นจึงดำเนินการยูนิทารีบนระบบรวม และสุดท้ายระบบพื้นที่ทำงานจะถูกทิ้ง (หรือ traced out) เหลือเพียงผลลัพธ์ของช่อง

ภาพต่อไปนี้แสดงการนำไปใช้งานดังกล่าวในรูปแบบ circuit diagram สำหรับช่องที่ระบบนำเข้าและระบบนำออกเป็นระบบเดียวกัน $\mathsf{X}$

ในแผนภาพนี้ สายไฟแทนระบบโดยพลการตามที่ระบุด้วยป้ายกำกับเหนือสายไฟ ไม่จำเป็นต้องเป็น qubit เดี่ยว นอกจากนี้ สัญลักษณ์ กราวด์ ที่ใช้กันทั่วไปในวิศวกรรมไฟฟ้าบ่งชี้อย่างชัดเจนว่า $\mathsf{W}$ ถูกทิ้ง

อธิบายเป็นคำพูด การนำไปใช้งานทำงานดังนี้ ระบบนำเข้า $\mathsf{X}$ เริ่มต้นในสถานะ $\rho$ บางสถานะ ในขณะที่ระบบพื้นที่ทำงาน $\mathsf{W}$ ถูกกำหนดค่าเริ่มต้นเป็นสถานะฐาน $\vert 0\rangle$ การดำเนินการยูนิทารี $U$ ถูกกระทำบนคู่ $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ และสุดท้ายระบบพื้นที่ทำงาน $\mathsf{W}$ ถูก trace out เหลือ $\mathsf{X}$ เป็นผลลัพธ์

สังเกตว่าเรากำลังสันนิษฐานว่า $0$ เป็นสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{W}$ และเราเลือกให้เป็นสถานะเริ่มต้นของระบบนี้ ซึ่งจะช่วยลดความซับซ้อนของคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม เราสามารถเลือกสถานะบริสุทธิ์คงที่ใด ๆ เพื่อแทนสถานะเริ่มต้นของ $\mathsf{W}$ โดยไม่เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติพื้นฐานของการแทนค่า

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของช่องผลลัพธ์ $\Phi$ มีดังนี้

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

ตามที่เคยทำมา เราใช้ข้อตกลงการเรียงลำดับของ Qiskit: ระบบ $\mathsf{X}$ อยู่ด้านบนในแผนภาพ และดังนั้นสอดคล้องกับตัวประกอบ tensor ด้านขวาในสูตร

โดยทั่วไป ระบบนำเข้าและระบบนำออกของช่องไม่จำเป็นต้องเป็นระบบเดียวกัน นี่คือภาพแสดงการนำไปใช้งานของช่อง $\Phi$ ที่มีระบบนำเข้าเป็น $\mathsf{X}$ และระบบนำออกเป็น $\mathsf{Y}$

คราวนี้การดำเนินการยูนิทารีแปลง $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ เป็นคู่ $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ โดยที่ $\mathsf{G}$ เป็นระบบ "ขยะ" ที่ถูก trace out เหลือ $\mathsf{Y}$ เป็นระบบผลลัพธ์ เพื่อให้ $U$ เป็นยูนิทารี มันต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ซึ่งกำหนดให้คู่ $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ มีจำนวนสถานะคลาสสิกเท่ากับคู่ $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ ดังนั้นระบบ $\mathsf{W}$ และ $\mathsf{G}$ ต้องถูกเลือกในลักษณะที่อนุญาตให้เป็นเช่นนี้ได้

เราได้นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของช่องผลลัพธ์ $\Phi$ ที่คล้ายกับที่เคยมีก่อนหน้า

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

เมื่อช่องถูกอธิบายในลักษณะนี้ ในฐานะการดำเนินการยูนิทารีพร้อมกับข้อกำหนดว่าระบบพื้นที่ทำงานถูกกำหนดค่าเริ่มต้นอย่างไรและระบบนำออกถูกเลือกอย่างไร เราเรียกว่ามันถูกแสดงใน รูปแบบ Stinespring หรือเป็น การแทนค่าแบบ Stinespring ของช่อง

แม้จะไม่ใช่เรื่องที่เห็นได้ชัดเลย แต่ช่องทุกช่องมีการแทนค่าแบบ Stinespring จริง ๆ ดังที่เราจะเห็นเมื่อสิ้นสุดบทนี้ เราจะเห็นด้วยว่าการแทนค่าแบบ Stinespring ไม่ได้มีเพียงแบบเดียว จะมีวิธีต่าง ๆ ในการนำช่องเดียวกันไปใช้งานในลักษณะที่อธิบายไว้เสมอ

หมายเหตุ

ในบริบทของสารสนเทศเชิงควอนตัม คำว่า การแทนค่าแบบ Stinespring มักหมายถึงนิพจน์ทั่วไปกว่าเล็กน้อยของช่องในรูปแบบ

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

สำหรับ isometry $A$ ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่คอลัมน์ตั้งฉากกันตามบรรทัดฐาน แต่อาจไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส สำหรับการแทนค่าแบบ Stinespring ที่มีรูปแบบที่เราใช้เป็นนิยาม เราสามารถได้นิพจน์ในรูปแบบอื่นนี้โดยการกำหนด

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

ช่อง dephasing แบบสมบูรณ์

นี่คือการแทนค่าแบบ Stinespring ของช่อง dephasing ของ qubit $\Delta$ ในแผนภาพนี้ สายไฟทั้งสองแทน qubit เดี่ยว ดังนั้นนี่คือ circuit diagram ควอนตัมธรรมดา

เพื่อดูว่าผลของวงจรนี้ต่อ qubit นำเข้าถูกอธิบายโดยช่อง dephasing แบบสมบูรณ์จริง ๆ เราสามารถไล่ผ่านวงจรทีละขั้น โดยใช้การแทนด้วยเมทริกซ์ที่ชัดเจนของ partial trace ที่กล่าวถึงในบทที่แล้ว เราจะเรียก qubit บนสุดว่า $\mathsf{X}$ — นี่คือนำเข้าและนำออกของช่อง — และจะสมมติว่า $\mathsf{X}$ เริ่มต้นในสถานะโดยพลการ $\rho$

ขั้นแรกคือการนำ qubit พื้นที่ทำงาน $\mathsf{W}$ เข้ามา ก่อนที่จะดำเนินการเกต controlled-NOT สถานะของคู่ $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ แทนด้วย density matrix ดังนี้

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

ตามข้อตกลงการเรียงลำดับของ Qiskit qubit บนสุด $\mathsf{X}$ อยู่ทางขวาและ qubit ล่าง $\mathsf{W}$ อยู่ทางซ้าย เราใช้ density matrix แทน quantum state vector แต่มันถูก tensor เข้าด้วยกันในลักษณะที่คล้ายกับที่ทำในการกำหนดสูตรควอนตัมแบบง่าย

ขั้นต่อไปคือการดำเนินการ controlled-NOT โดยที่ $\mathsf{X}$ เป็น control และ $\mathsf{W}$ เป็น target ยังคำนึงถึงข้อตกลงการเรียงลำดับของ Qiskit การแทนด้วยเมทริกซ์ของเกตนี้เป็นดังนี้

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

นี่คือการดำเนินการยูนิทารี และในการนำไปใช้กับ density matrix เราจะ conjugate ด้วยเมทริกซ์ยูนิทารี conjugate-transpose ไม่เปลี่ยนแปลงเมทริกซ์นี้โดยเฉพาะ ดังนั้นผลลัพธ์เป็นดังนี้

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

สุดท้าย partial trace ถูกดำเนินการบน $\mathsf{W}$ จำการกระทำของการดำเนินการนี้บนเมทริกซ์ $4\times 4$ ที่อธิบายในบทที่แล้ว เราได้ density matrix ผลลัพธ์ดังนี้

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

เราสามารถคำนวณ partial trace ทางเลือกได้โดยแปลงเป็น Dirac notation ก่อน

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

การ trace out qubit ด้านซ้ายให้คำตอบเดิม

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

วิธีที่เข้าใจง่ายในการคิดถึงวงจรนี้คือการดำเนินการ controlled-NOT โดยผลแล้วก็คือการคัดลอกสถานะคลาสสิกของ qubit นำเข้า และเมื่อสำเนาถูกทิ้งในถังขยะ qubit นำเข้าจะ "ยุบตัว" แบบสุ่มตามความน่าจะเป็นไปเป็นหนึ่งในสองสถานะคลาสสิกที่เป็นไปได้ ซึ่งเทียบเท่ากับ dephasing แบบสมบูรณ์

ช่อง dephasing แบบสมบูรณ์ (แบบทางเลือก)

วงจรที่อธิบายข้างต้นไม่ใช่วิธีเดียวในการนำช่อง dephasing แบบสมบูรณ์ไปใช้งาน นี่คือวิธีที่ต่างออกไป

นี่คือการวิเคราะห์สั้น ๆ ที่แสดงว่าการนำไปใช้งานนี้ทำงาน หลังจากดำเนินการเกต Hadamard เราได้สถานะสองQubitนี้เป็น density matrix:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

เกต controlled-$\sigma_z$ ดำเนินการโดย conjugation ดังนี้

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

สุดท้ายระบบพื้นที่ทำงาน $\mathsf{W}$ ถูก trace out

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

การนำไปใช้งานนี้มีพื้นฐานมาจากแนวคิดง่าย ๆ: dephasing เทียบเท่ากับการไม่ทำอะไร (นั่นคือ ใช้การดำเนินการ identity) หรือการใช้เกต $\sigma_z$ แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็น $1/2$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

นั่นคือ ช่อง dephasing แบบสมบูรณ์เป็นตัวอย่างของ mixed-unitary channel และโดยเฉพาะเจาะจงคือ Pauli channel

ช่อง reset ของ qubit

ช่อง reset ของ qubit สามารถนำไปใช้งานได้ดังนี้

เกต swap เพียงแค่เลื่อนสถานะ $\vert 0\rangle$ ที่กำหนดค่าเริ่มต้นของ qubit พื้นที่ทำงานเพื่อให้มันได้รับการนำออก ในขณะที่สถานะนำเข้า $\rho$ ถูกย้ายไปยัง qubit ล่างแล้วถูก trace out

หรืออีกทางหนึ่ง ถ้าเราไม่ต้องการให้ผลลัพธ์ของช่องอยู่ด้านบน เราสามารถใช้วงจรที่ง่ายมากนี้เป็นการแทนค่าของเรา

อธิบายเป็นคำพูด การ reset qubit ไปยังสถานะ $\vert 0\rangle$ เทียบเท่ากับการโยน qubit ในถังขยะแล้วรับ qubit ใหม่

การแทนค่าแบบ Kraus

ต่อไปเราจะพูดถึง การแทนค่าแบบ Kraus ซึ่งเสนอวิธีสูตรที่สะดวกในการแสดงการกระทำของช่องผ่านการคูณและบวกเมทริกซ์ โดยเฉพาะ การแทนค่าแบบ Kraus คือข้อกำหนดของช่อง $\Phi$ ในรูปแบบดังนี้

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

ที่นี่ $A_0,\ldots,A_{N-1}$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเหมือนกันทั้งหมด: คอลัมน์ของมันสอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของระบบนำเข้า $\mathsf{X}$ และแถวของมันสอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของระบบนำออก ไม่ว่าจะเป็น $\mathsf{X}$ หรือระบบอื่น $\mathsf{Y}$ เพื่อให้ $\Phi$ เป็นช่องที่ถูกต้อง เมทริกซ์เหล่านี้ต้องตรงตามเงื่อนไขดังนี้

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ $\Phi$ รักษา trace คุณสมบัติอีกอย่างที่จำเป็นสำหรับช่อง ซึ่งก็คือ complete positivity นั้นตามมาจากรูปแบบทั่วไปของสมการสำหรับ $\Phi$ ในฐานะผลรวมของการ conjugate

บางครั้งการตั้งชื่อเมทริกซ์ $A_0,\ldots,A_{N-1}$ ต่างออกไปก็สะดวก ตัวอย่างเช่น เราอาจเริ่มนับจาก $1$ หรือใช้สถานะในเซตสถานะคลาสสิกโดยพลการ $\Gamma$ แทนตัวเลขเป็น subscript:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{where} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

วิธีต่าง ๆ ในการตั้งชื่อเมทริกซ์เหล่านี้ ซึ่งเรียกว่า เมทริกซ์ Kraus ล้วนเป็นที่นิยมและสะดวกในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน แต่เราจะยึดชื่อ $A_0,\ldots,A_{N-1}$ ในบทนี้เพื่อความเรียบง่าย

จำนวน $N$ สามารถเป็นจำนวนเต็มบวกโดยพลการ แต่ไม่จำเป็นต้องมากเกินไป: ถ้าระบบนำเข้า $\mathsf{X}$ มี $n$ สถานะคลาสสิกและระบบนำออก $\mathsf{Y}$ มี $m$ สถานะคลาสสิก แล้วช่องใด ๆ จาก $\mathsf{X}$ ไปยัง $\mathsf{Y}$ จะมีการแทนค่าแบบ Kraus เสมอที่ $N$ มีค่าไม่เกินผลคูณ $nm$

ช่อง dephasing แบบสมบูรณ์

เราได้การแทนค่าแบบ Kraus ของช่อง dephasing แบบสมบูรณ์โดยการกำหนด $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ และ $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

เมทริกซ์เหล่านี้ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็น

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

หรืออีกทางหนึ่ง เราสามารถกำหนด $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ และ $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z$ ดังนั้น

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

ดังที่คำนวณไว้ก่อนหน้า คราวนี้สามารถตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นได้ดังนี้

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

ช่อง reset ของ qubit

เราได้การแทนค่าแบบ Kraus ของช่อง reset ของ qubit โดยการกำหนด $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ และ $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

เมทริกซ์เหล่านี้ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็น

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

ช่อง depolarizing แบบสมบูรณ์

วิธีหนึ่งในการได้การแทนค่าแบบ Kraus สำหรับช่อง depolarizing แบบสมบูรณ์คือการเลือกเมทริกซ์ Kraus $A_0,\ldots,A_3$ ดังนี้

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

สำหรับ density matrix qubit $\rho$ ใด ๆ เรามี

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

การแทนค่าแบบ Kraus ทางเลือกได้จากการเลือกเมทริกซ์ Kraus ดังนี้

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

เพื่อยืนยันความถูกต้องของการแทนค่าแบบ Kraus เหล่านี้ว่าแทนช่อง depolarizing แบบสมบูรณ์จริง ๆ มาสังเกตก่อนว่าการ conjugate เมทริกซ์ $2\times 2$ โดยพลการด้วยเมทริกซ์ Pauli ทำงานดังนี้

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

ซึ่งช่วยให้เราตรวจสอบความถูกต้องของการแทนค่าแบบ Kraus ของเรา

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

การแทนค่าแบบ Kraus นี้แสดงแนวคิดสำคัญว่าสถานะของ qubit สามารถสุ่มได้อย่างสมบูรณ์โดยการใช้เมทริกซ์ Pauli หนึ่งในสี่ตัว (รวมถึงเมทริกซ์ identity) ที่เลือกแบบ uniform at random ดังนั้น ช่อง depolarizing แบบสมบูรณ์จึงเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของ Pauli channel

ไม่สามารถหาการแทนค่าแบบ Kraus สำหรับช่อง depolarizing แบบสมบูรณ์ $\Omega$ ที่มีเมทริกซ์ Kraus สามตัวหรือน้อยกว่าได้ ต้องมีอย่างน้อยสี่ตัวสำหรับช่องนี้

ช่องยูนิทารี

ถ้าเรามีเมทริกซ์ยูนิทารี $U$ แทนการดำเนินการบนระบบ $\mathsf{X}$ เราสามารถแสดงการกระทำของการดำเนินการยูนิทารีนี้เป็นช่องได้:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

นิพจน์นี้เป็นการแทนค่าแบบ Kraus ที่ถูกต้องแล้วของช่อง $\Phi$ ที่เราบังเอิญมีเมทริกซ์ Kraus เพียงตัวเดียว $A_0 = U$ ในกรณีนี้ เงื่อนไขที่จำเป็น

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

กลายเป็นรูปแบบที่ง่ายกว่ามากคือ $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ ซึ่งเรารู้ว่าเป็นจริงเพราะ $U$ เป็นยูนิทารี

การแทนค่าแบบ Choi

ต่อไปเราจะพูดถึงวิธีที่สามที่ช่องสามารถอธิบายได้ ผ่าน การแทนค่าแบบ Choi วิธีที่มันทำงานคือแต่ละช่องถูกแทนด้วยเมทริกซ์เดี่ยวที่รู้จักกันในชื่อ เมทริกซ์ Choi ถ้าระบบนำเข้ามี $n$ สถานะคลาสสิกและระบบนำออกมี $m$ สถานะคลาสสิก แล้วเมทริกซ์ Choi ของช่องจะมี $nm$ แถวและ $nm$ คอลัมน์

เมทริกซ์ Choi ให้การแทนค่าแบบ faithful ของช่อง หมายความว่าสองช่องเหมือนกันก็ต่อเมื่อมีเมทริกซ์ Choi เหมือนกัน เหตุผลหนึ่งที่สำคัญคือมันให้วิธีในการพิจารณาว่าคำอธิบายที่แตกต่างกันสองแบบสอดคล้องกับช่องเดียวกันหรือช่องที่ต่างกัน: เราเพียงแค่คำนวณเมทริกซ์ Choi แล้วเปรียบเทียบว่าเท่ากันหรือไม่ ในทางตรงกันข้าม การแทนค่าแบบ Stinespring และ Kraus ไม่ได้มีเพียงแบบเดียวในลักษณะนี้ ดังที่เราเห็นมาแล้ว

เมทริกซ์ Choi ยังมีประโยชน์ในการเปิดเผยคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ของช่องอีกด้วย

นิยาม

ให้ $\Phi$ เป็นช่องจากระบบ $\mathsf{X}$ ไปยังระบบ $\mathsf{Y}$ และสมมติว่าเซตสถานะคลาสสิกของระบบนำเข้า $\mathsf{X}$ คือ $\Sigma$ การแทนค่าแบบ Choi ของ $\Phi$ ซึ่งแทนด้วย $J(\Phi)$ นิยามด้วยสมการดังนี้

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

ถ้าเราสมมติว่า $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ บางตัว แล้วเราสามารถแสดง $J(\Phi)$ เป็น block matrix แทนได้:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

นั่นคือ เมื่อแสดงเป็น block matrix เมทริกซ์ Choi ของช่องมีหนึ่ง block $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ สำหรับแต่ละคู่ $(a,b)$ ของสถานะคลาสสิกของระบบนำเข้า โดย block เรียงในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ

สังเกตว่าเซต $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ เป็นฐานสำหรับปริภูมิของเมทริกซ์ $n\times n$ ทั้งหมด เนื่องจาก $\Phi$ เป็นเชิงเส้น จึงตามมาว่าการกระทำของมันสามารถกู้คืนได้จากเมทริกซ์ Choi โดยการรวม block เชิงเส้น

สถานะ Choi ของช่อง

อีกวิธีในการคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ Choi ของช่องคือมันเป็น density matrix ถ้าเราหารด้วย $n = \vert\Sigma\vert$ มาโฟกัสที่สถานการณ์ที่ $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ เพื่อความเรียบง่าย และจินตนาการว่าเรามีสำเนาของ $\mathsf{X}$ สองชุดที่เหมือนกันซึ่งอยู่ในสถานะ entangled ร่วมกัน

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

เมื่อแสดงเป็น density matrix สถานะนี้เป็นดังนี้

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

ถ้าเราใช้ $\Phi$ กับสำเนา $\mathsf{X}$ ด้านขวา เราได้เมทริกซ์ Choi หารด้วย $n$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

อธิบายเป็นคำพูด หากไม่นับตัวประกอบ normalization $1/n$ เมทริกซ์ Choi ของ $\Phi$ คือ density matrix ที่เราได้จากการประเมิน $\Phi$ บนครึ่งหนึ่งของคู่ระบบนำเข้าที่ entangle แบบสูงสุด ดังที่ภาพต่อไปนี้แสดง

สังเกตโดยเฉพาะว่าสิ่งนี้หมายความว่าเมทริกซ์ Choi ของช่องต้องเป็น positive semidefinite เสมอ

เราเห็นด้วยว่า เนื่องจากช่อง $\Phi$ ถูกใช้กับระบบขวา/บนเพียงอย่างเดียว มันไม่สามารถส่งผลต่อ reduced state (สถานะลดรูป) ของระบบซ้าย/ล่างได้ ในกรณีนี้ สถานะนั้นคือสถานะ mixed แบบสมบูรณ์ $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n$ ดังนั้น

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

การตัด $n$ จากสองฝั่งให้ $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$

เราสามารถสรุปข้อสรุปเดียวกันได้โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าช่องต้องรักษา trace เสมอ ดังนั้น

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

โดยสรุป การแทนค่าแบบ Choi $J(\Phi)$ สำหรับช่อง $\Phi$ ใด ๆ ต้องเป็น positive semidefinite และต้องตรงตาม

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

ดังที่เราจะเห็นเมื่อสิ้นสุดบทนี้ เงื่อนไขทั้งสองนี้ไม่เพียงแค่จำเป็นแต่ยังเพียงพอด้วย หมายความว่าการส่งเชิงเส้น $\Phi$ ใด ๆ จากเมทริกซ์ไปยังเมทริกซ์ที่ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้จะต้องเป็นช่องจริง ๆ

ช่อง dephasing แบบสมบูรณ์

การแทนค่าแบบ Choi ของช่อง dephasing แบบสมบูรณ์ $\Delta$ คือ

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

ช่อง depolarizing แบบสมบูรณ์

การแทนค่าแบบ Choi ของช่อง depolarizing แบบสมบูรณ์คือ

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

ช่อง reset ของ qubit

การแทนค่าแบบ Choi ของช่อง reset ของ qubit $\Phi$ คือ

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

ช่อง identity

การแทนค่าแบบ Choi ของช่อง identity ของ qubit $\operatorname{Id}$ คือ

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

สังเกตโดยเฉพาะว่า $J(\operatorname{Id})$ ไม่ใช่เมทริกซ์ identity การแทนค่าแบบ Choi ไม่ได้อธิบายการกระทำของช่องโดยตรงในแบบที่เมทริกซ์แทนการส่งเชิงเส้นตามปกติ