การตรวจจับข้อผิดพลาดแบบประหยัดด้วย spacetime codes

ประมาณการการใช้งาน: 10 วินาทีบนโปรเซสเซอร์ Heron r3 (หมายเหตุ: นี่เป็นการประมาณเท่านั้น เวลาจริงอาจแตกต่างกัน)

บทนำ

Low-overhead error detection with spacetime codes [1] โดย Simon Martiel และ Ali Javadi-Abhari เสนอวิธีสังเคราะห์ spacetime checks ที่มีน้ำหนักต่ำและคำนึงถึงการเชื่อมต่อของฮาร์ดแวร์สำหรับ Circuit ที่มี Clifford เป็นหลัก จากนั้นทำ post-selection บน checks เหล่านั้นเพื่อดักจับข้อผิดพลาดด้วย overhead ที่น้อยกว่าการแก้ไขข้อผิดพลาดแบบเต็มรูปแบบมาก และใช้ shots น้อยกว่าการ mitigation แบบมาตรฐาน

บทความนี้เสนอวิธีการใหม่สำหรับการตรวจจับข้อผิดพลาดใน quantum circuit (โดยเฉพาะ Clifford circuits) ที่สร้างสมดุลระหว่างการแก้ไขข้อผิดพลาดแบบเต็มรูปแบบกับเทคนิค mitigation แบบเบาบาง แนวคิดหลักคือการใช้ spacetime codes เพื่อสร้าง "checks" ทั่วทั้ง Circuit ที่สามารถดักจับข้อผิดพลาดได้ โดยมี overhead ด้าน Qubit และ Gate ต่ำกว่าการแก้ไขข้อผิดพลาดแบบ fault-tolerant มาก ผู้เขียนออกแบบอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพเพื่อเลือก checks ที่มีน้ำหนักต่ำ (เกี่ยวข้องกับ Qubit จำนวนน้อย) เข้ากันได้กับการเชื่อมต่อทางกายภาพของอุปกรณ์ และครอบคลุมบริเวณเวลาและพื้นที่ขนาดใหญ่ของ Circuit พวกเขาแสดงให้เห็นแนวทางนี้บน Circuit ที่มี logical qubit ถึง 50 ตัวและ CZ gate ประมาณ 2450 ตัว โดยให้ physical-to-logical fidelity gains สูงถึง 236x นอกจากนี้ควรทราบว่าเมื่อ Circuit มี non-Clifford operations มากขึ้น จำนวน valid checks จะลดลงแบบ exponential ซึ่งแสดงให้เห็นว่าวิธีนี้ทำงานได้ดีที่สุดกับ Circuit ที่มี Clifford เป็นหลัก โดยรวมแล้ว ในระยะใกล้นี้ การตรวจจับข้อผิดพลาดผ่าน spacetime codes อาจเป็นเส้นทางที่ใช้งานได้จริงและมี overhead ต่ำกว่าในการปรับปรุงความน่าเชื่อถือของฮาร์ดแวร์ quantum

เทคนิคการตรวจจับข้อผิดพลาดนี้อาศัยแนวคิดของ coherent Pauli checks และอิงตามผลงาน Single-shot error mitigation by coherent Pauli checks [2] โดย van den Berg et al.

เมื่อไม่นานมานี้ บทความ Big cats: entanglement in 120 qubits and beyond [3] โดย Javadi-Abhari et al. รายงานการสร้าง Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) state ขนาด 120 Qubit ซึ่งเป็น multipartite entangled state ที่ใหญ่ที่สุดที่เคยทำได้บนแพลตฟอร์ม superconducting qubit จนถึงปัจจุบัน โดยใช้ compiler ที่คำนึงถึงฮาร์ดแวร์ การตรวจจับข้อผิดพลาดแบบประหยัด และเทคนิค "temporary uncomputation" เพื่อลดสัญญาณรบกวน นักวิจัยบรรลุ fidelity ที่ 0.56 ± 0.03 โดยมีประสิทธิภาพ post-selection ประมาณ 28% ผลงานนี้แสดงให้เห็น entanglement ที่แท้จริงครอบคลุม Qubit ทั้ง 120 ตัว ยืนยันวิธีการรับรอง fidelity หลายวิธี และเป็นเกณฑ์มาตรฐานสำคัญสำหรับฮาร์ดแวร์ quantum ที่ปรับขนาดได้

บทแนะนำนี้สร้างต่อจากแนวคิดเหล่านี้ โดยพาคุณผ่านการนำอัลกอริทึมการตรวจจับข้อผิดพลาดไปใช้งานก่อนบน Clifford circuit แบบสุ่มขนาดเล็ก แล้วจึงทำการเตรียม GHZ state เพื่อช่วยให้คุณทดลองกับการตรวจจับข้อผิดพลาดบน quantum circuit ของตัวเอง

สิ่งที่ต้องมีก่อนเริ่ม

ก่อนเริ่มบทแนะนำนี้ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ติดตั้งสิ่งต่อไปนี้แล้ว:

• Qiskit SDK v2.0 หรือใหม่กว่า พร้อมรองรับ visualization
• Qiskit Runtime v0.40 หรือใหม่กว่า (pip install qiskit-ibm-runtime)
• Qiskit Aer v0.17.2 (pip install qiskit-aer)
• Qiskit Device Benchmarking (pip install "qiskit-device-benchmarking @ git+https://github.com/qiskit-community/qiskit-device-benchmarking.git")
• NumPy v2.3.2 (pip install numpy)
• Matplotlib v3.10.7 (pip install matplotlib)

การตั้งค่า

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-aer qiskit-device-benchmarking qiskit-ibm-runtime

# Standard library imports
from collections import defaultdict, deque
from functools import partial

# External libraries
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Qiskit
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Delay
from qiskit.circuit.library import RZGate, XGate
from qiskit.converters import circuit_to_dag, dag_to_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, random_clifford
from qiskit.transpiler import AnalysisPass, PassManager
from qiskit.transpiler.passes import (
    ALAPScheduleAnalysis,
    CollectAndCollapse,
    PadDelay,
    PadDynamicalDecoupling,
    RemoveBarriers,
)
from qiskit.transpiler.passes.optimization.collect_and_collapse import (
    collect_using_filter_function,
    collapse_to_operation,
)
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.visualization import plot_histogram

# Qiskit Aer
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit_aer.noise import NoiseModel, ReadoutError, depolarizing_error

# Qiskit IBM Runtime
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

# Qiskit Device Benchmarking
from qiskit_device_benchmarking.utilities.gate_map import plot_gate_map

ตัวอย่างแรก

เพื่อแสดงให้เห็นวิธีนี้ เราเริ่มด้วยการสร้าง Clifford circuit อย่างง่าย เป้าหมายของเราคือสามารถตรวจจับได้เมื่อเกิดข้อผิดพลาดบางประเภทใน Circuit นี้ เพื่อที่จะสามารถทิ้งผลการวัดที่ผิดพลาดได้ ในศัพท์ทางการตรวจจับข้อผิดพลาด เรียกสิ่งนี้ว่า payload circuit

circ = random_clifford(num_qubits=2, seed=11).to_circuit()
circ.draw("mpl")

เป้าหมายของเราคือการแทรก coherent Pauli check เข้าไปใน payload circuit นี้ แต่ก่อนจะทำเช่นนั้น เราแบ่ง Circuit นี้ออกเป็น layer ต่างๆ ซึ่งจะมีประโยชน์ในภายหลังเมื่อแทรก Pauli gates เข้าไประหว่าง layer

# Separate circuit into layers
dag = circuit_to_dag(circ)
circ_layers = []
for layer in dag.layers():
    layer_as_circuit = dag_to_circuit(layer["graph"])
    circ_layers.append(layer_as_circuit)

# Create subplots
fig, (ax1, ax2, ax3, ax4, ax5) = plt.subplots(1, 5, figsize=(10, 4))

# Draw circuits on respective axes
circ_layers[0].draw(output="mpl", ax=ax1)
circ_layers[1].draw(output="mpl", ax=ax2)
circ_layers[2].draw(output="mpl", ax=ax3)
circ_layers[3].draw(output="mpl", ax=ax4)
circ_layers[4].draw(output="mpl", ax=ax5)

# Adjust layout to prevent overlap
plt.tight_layout()
plt.show()

ตอนนี้เราพร้อมที่จะเพิ่ม coherent Pauli checks เข้าไปใน payload circuit แล้ว เพื่อทำเช่นนี้ เราต้องสร้าง "valid check" และแทรกเข้าไปใน Circuit "check" ในที่นี้คือ operator ที่สามารถส่งสัญญาณว่าเกิดข้อผิดพลาดใน Circuit หรือไม่ โดยการวัดบน ancilla Qubit ถือว่าเป็น valid check เมื่อ operator เพิ่มเติมที่แทรกเข้าไปใน quantum circuit ไม่เปลี่ยนแปลง Circuit เดิมในเชิงตรรกะ

check นี้สามารถตรวจจับข้อผิดพลาดประเภทที่ anticommute กับมันได้ และ check จะทำให้การวัด ancilla Qubit ได้ $\ket{1}$ แทน $\ket{0}$ ผ่าน phase kickback ดังนั้นเราจึงสามารถทิ้งการวัดที่มีสัญญาณข้อผิดพลาดได้

โดยทั่วไป coherent Pauli checks คือ controlled-Pauli operators ที่แทรกเข้าไปใน "wires" ซึ่งเป็นตำแหน่งใน spacetime ระหว่าง Gate ต่างๆ โดย ancilla Qubit ที่ทำหน้าที่ส่งสัญญาณข้อผิดพลาดคือ control qubit

ด้านล่างนี้เราสร้าง valid check สำหรับ Clifford circuit ที่สร้างขึ้น เราสามารถแสดงให้เห็นว่า check นี้ไม่เปลี่ยนการทำงานของ Circuit โดยแสดงว่าเมื่อ Pauli checks เหล่านี้ถูก propagate ไปยังส่วนหน้าของ Circuit พวกมันจะหักล้างกัน ซึ่งแสดงให้เห็นได้ง่ายเพราะ Pauli operator ที่ผ่าน Clifford gate จะเป็น Pauli operator อีกตัวหนึ่ง

โดยทั่วไป สามารถใช้ decoding heuristic ตามที่ระบุใน [1] เพื่อระบุ valid checks สำหรับตัวอย่างแรกของเรา เราสามารถสร้าง valid checks ได้โดยใช้เงื่อนไขการคูณ Pauli และ Clifford gate แบบวิเคราะห์ด้วย

# Define a valid check
pauli_1 = Pauli("ZI")
pauli_2 = Pauli("XZ")

circ_1 = circ_layers[0].compose(circ_layers[1])
circ_1.draw("mpl")

pauli_1_ev = pauli_1.evolve(circ_1, frame="h")
pauli_1_ev

Pauli('-ZI')

circ_2 = circ.copy()
circ_2.draw("mpl")

pauli_2_ev = pauli_2.evolve(circ_2, frame="h")
pauli_2_ev

Pauli('-ZI')

pauli_1_ev.dot(pauli_2_ev)

Pauli('II')

อย่างที่เห็น เรามี valid check เนื่องจาก Pauli operators ที่แทรกเข้าไปมีผลเช่นเดียวกับ identity operator บน Circuit ตอนนี้เราสามารถแทรก checks เหล่านี้เข้าไปใน Circuit พร้อมกับ ancilla Qubit ได้แล้ว ancilla Qubit นี้หรือ check qubit เริ่มต้นในสถานะ $\ket{+}$ ประกอบด้วย controlled versions ของ Pauli operations ที่ระบุข้างต้น และสุดท้ายวัดในฐาน $X$ check qubit นี้สามารถดักจับข้อผิดพลาดใน payload circuit โดยไม่เปลี่ยนแปลง Circuit ในเชิงตรรกะ เพราะสัญญาณรบกวนบางประเภทใน payload circuit จะเปลี่ยนสถานะของ check qubit และจะวัดได้ "1" แทน "0" เมื่อเกิดข้อผิดพลาดดังกล่าว

# New circuit with 3 qubits (2 payload + 1 ancilla for check)
circ_meas = QuantumCircuit(3)
circ_meas.h(0)
circ_meas.compose(circ_layers[0], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[1], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 2)
circ_meas.compose(circ_layers[2], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[3], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[4], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 1)
circ_meas.cx(0, 2)
circ_meas.h(0)

# Add measurement to payload qubits
c0 = ClassicalRegister(2, name="c0")
circ_meas.add_register(c0)
circ_meas.measure(1, c0[0])
circ_meas.measure(2, c0[1])

# Add measurement to check qubit
c1 = ClassicalRegister(1, name="c1")
circ_meas.add_register(c1)
circ_meas.measure(0, c1[0])

# Visualize the final circuit with the inserted checks
circ_meas.draw("mpl")

ถ้า check qubit วัดได้ "0" เราเก็บการวัดนั้นไว้ ถ้าวัดได้ "1" หมายความว่าเกิดข้อผิดพลาดใน payload circuit และเราทิ้งการวัดนั้น

# Noiseless simulation using stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(circ_meas, shots=1000).result()
counts_noiseless = res.get_counts()
print(f"Stabilizer simulation result: {counts_noiseless}")

Stabilizer simulation result: {'0 11': 523, '0 01': 477}

# Plot the noiseless results
# Note that the first bit in the key corresponds to the check qubit
plot_histogram(counts_noiseless)

สังเกตว่าด้วย ideal simulator check qubit ไม่ตรวจจับข้อผิดพลาดใดๆ ตอนนี้เราแนะนำ noise model เข้าไปในการจำลองและดูว่า check qubit ดักจับข้อผิดพลาดได้อย่างไร

# Qiskit Aer noise model
noise = NoiseModel()
p2 = 0.003  # two-qubit depolarizing per CZ
p1 = 0.001  # one-qubit depolarizing per 1q Clifford
pr = 0.01  # readout bit-flip probability

# 1q depolarizing on common 1q gates
e1 = depolarizing_error(p1, 1)
for g1 in ["id", "rz", "sx", "x", "h", "s"]:
    noise.add_all_qubit_quantum_error(e1, g1)

# 2q depolarizing on CZ
e2 = depolarizing_error(p2, 2)
noise.add_all_qubit_quantum_error(e2, "cz")

# Readout error on measure
ro = ReadoutError([[1 - pr, pr], [pr, 1 - pr]])
noise.add_all_qubit_readout_error(ro)

# Qiskit Aer simulation with noise model
aer = AerSimulator(method="automatic", seed_simulator=43210)
job = aer.run(circ_meas, shots=1000, noise_model=noise)
result = job.result()
counts_noisy = result.get_counts()
print(f"Noise model simulation result: {counts_noisy}")

Noise model simulation result: {'1 01': 5, '0 11': 478, '1 11': 6, '1 00': 2, '1 10': 1, '0 01': 500, '0 00': 5, '0 10': 3}

plot_histogram(counts_noisy)

อย่างที่เห็น การวัดบางส่วนดักจับข้อผิดพลาดได้โดยตั้งค่า check qubit เป็น "1" ซึ่งมองเห็นได้ในสี่คอลัมน์สุดท้าย shots เหล่านี้จะถูกทิ้ง หมายเหตุ: ancilla Qubit ยังสามารถนำข้อผิดพลาดใหม่เข้ามาใน Circuit ได้ เพื่อลดผลกระทบนี้ เราสามารถแทรก nested checks พร้อม ancilla Qubit เพิ่มเติมเข้าไปใน quantum circuit

Real-world example: Prepare a GHZ state on real hardware

Step 1: Map classical inputs to a quantum problem

ตอนนี้เราจะสาธิตงานสำคัญสำหรับอัลกอริทึมควอนตัม นั่นคือการเตรียม GHZ state เราจะแสดงวิธีทำสิ่งนี้บน backend จริงโดยใช้การตรวจจับข้อผิดพลาด

# Set optional seed for reproducibility
SEED = 1

if SEED:
    np.random.seed(SEED)

อัลกอริทึมตรวจจับข้อผิดพลาดสำหรับการเตรียม GHZ state จะคำนึงถึงโทโพโลยีของฮาร์ดแวร์ เราเริ่มด้วยการเลือกฮาร์ดแวร์ที่ต้องการ

# This is used to run on real hardware
service = QiskitRuntimeService()

# Choose a backend to build GHZ on
backend_name = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=133
)

backend = service.backend(backend_name)
coupling_map = backend.target.build_coupling_map()

GHZ state บน $n$ Qubit นิยามไว้ว่า $\lvert \mathrm{GHZ}_n\rangle \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\lvert 0\rangle^{\otimes n} \,+\, \lvert 1\rangle^{\otimes n}\Big).$

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเตรียม GHZ state คือการเลือก Qubit รากที่มี Hadamard Gate เริ่มต้น ซึ่งทำให้ Qubit อยู่ในสถานะ superposition เท่าๆ กัน แล้วค่อยพัน (entangle) Qubit นี้กับทุก Qubit อื่น แต่วิธีนี้ไม่ดี เพราะต้องการ CNOT ที่มีระยะห่างไกลและมีความลึกมาก ในบทช่วยสอนนี้ เราจะใช้หลายเทคนิคร่วมกับการตรวจจับข้อผิดพลาดเพื่อเตรียม GHZ state บนฮาร์ดแวร์จริงได้อย่างน่าเชื่อถือ

Step 2: Optimize problem for quantum hardware execution

Map the GHZ state to hardware

ขั้นแรก เราค้นหา root เพื่อ map GHZ Circuit ลงบนฮาร์ดแวร์ เราจะลบ edge/node ที่มีค่าความผิดพลาด CZ, ค่าความผิดพลาดการวัด และค่า T2 แย่กว่าเกณฑ์ด้านล่าง สิ่งเหล่านี้จะไม่รวมอยู่ใน GHZ Circuit

def bad_cz(target, threshold=0.01):
    """Return list of edges whose CZ error is worse than threshold."""
    undirected_edges = []
    for edge in backend.target.build_coupling_map().get_edges():
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges
    cz_errors = {}
    for edge in edges:
        cz_errors[edge] = target["cz"][edge].error
    worst_edges = sorted(cz_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    return [list(edge) for edge, error in worst_edges if error > threshold]

def bad_readout(target, threshold=0.01):
    """Return list of nodes whose measurement error is worse than threshold."""
    meas_errors = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        meas_errors[node] = target["measure"][(node,)].error
    worst_nodes = sorted(
        meas_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True
    )
    return [node for node, error in worst_nodes if error > threshold]

def bad_coherence(target, threshold=60):
    """Return list of nodes whose T2 value is lower than threshold."""
    t2s = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        t2 = target.qubit_properties[node].t2
        t2s[node] = t2 * 1e6 if t2 else 0
    worst_nodes = sorted(t2s.items(), key=lambda x: x[1])
    return [node for node, val in worst_nodes if val < threshold]

THRESH_CZ = 0.025  # exclude from BFS those edges whose CZ error is worse than this threshold
THRESH_MEAS = 0.15  # exclude from BFS those nodes whose measurement error is worse than this threshold
THRESH_T2 = 10  # exclude from BFS those nodes whose T2 value is lower than this threshold

bad_edges = bad_cz(backend.target, threshold=THRESH_CZ)
bad_nodes_readout = bad_readout(backend.target, threshold=THRESH_MEAS)
dead_qubits = bad_readout(backend.target, threshold=0.4)
bad_nodes_coherence = bad_coherence(backend.target, threshold=THRESH_T2)
bad_nodes = list(set(bad_nodes_readout) | set(bad_nodes_coherence))
print(f"{len(bad_edges)} bad edges: \n{bad_edges}")
print(f"{len(bad_nodes)} bad nodes: \n{bad_nodes}")

17 bad edges:
[[30, 31], [112, 113], [113, 114], [113, 119], [120, 121], [130, 131], [145, 146], [146, 147], [111, 112], [55, 59], [64, 65], [131, 138], [131, 132], [119, 133], [129, 130], [47, 57], [29, 38]]
5 bad nodes:
[1, 113, 131, 146, 120]

โดยใช้ฟังก์ชันด้านล่าง เราสร้าง GHZ Circuit บนฮาร์ดแวร์ที่เลือกโดยเริ่มจาก root และใช้การค้นหาแบบ breadth-first (BFS)

def parallel_ghz(root, num_qubits, backend, bad_edges, skip):
    """
    Build a GHZ state of size `num_qubits` on the given `backend`,
    starting from `root`, expanding in BFS order.

    At each BFS layer, every active qubit adds at most one new neighbor
    (so that two-qubit operations can run in parallel with no qubit conflicts).

    It grows the entanglement tree outward layer-by-layer.
    """

    # -------------------------------------------------------------
    # (1) Filter usable connections from the backend coupling map
    # -------------------------------------------------------------
    # The coupling map lists all directed hardware connections as (control, target).
    # We remove edges that are:
    #   - listed in `bad_edges` (or their reversed form)
    #   - involve a qubit in the `skip` list
    cmap = backend.configuration().coupling_map
    edges = [
        e
        for e in cmap
        if e not in bad_edges
        and [e[1], e[0]] not in bad_edges
        and e[0] not in skip
        and e[1] not in skip
    ]

    # -------------------------------------------------------------
    # (2) Build an undirected adjacency list for traversal
    # -------------------------------------------------------------
    # Even though coupling_map edges are directed, BFS expansion just needs
    # connectivity information (so we treat edges as undirected for search).
    adj = defaultdict(list)
    for u, v in edges:
        adj[u].append(v)
        adj[v].append(u)

    # -------------------------------------------------------------
    # (3) Initialize the quantum circuit and BFS state
    # -------------------------------------------------------------
    n = backend.configuration().num_qubits
    qc = QuantumCircuit(
        n
    )  # create a circuit with same number of qubits as hardware
    visited = [
        root
    ]  # record the order qubits are added to the GHZ chain/tree
    queue = deque([root])  # BFS queue (start from root)
    explored = defaultdict(
        set
    )  # to track which neighbors each node has already explored
    layers = []  # list of per-layer (control, target) gate tuples
    qc.h(root)  # GHZ states start with a Hadamard on the root qubit

    # -------------------------------------------------------------
    # (4) BFS expansion: build the GHZ tree one layer at a time
    # -------------------------------------------------------------
    # Loop until we’ve added the desired number of qubits to the GHZ
    while queue and len(visited) < num_qubits:
        layer = []  # collect new (control, target) pairs for this layer
        current = list(
            queue
        )  # snapshot current frontier (so queue mutations don’t affect iteration)
        busy = (
            set()
        )  # track qubits already used in this layer (to avoid conflicts)

        for node in current:
            queue.popleft()

            # find one unvisited neighbor of this node not already explored
            unvisited_neighbors = [
                nb
                for nb in adj[node]
                if nb not in visited and nb not in explored[node]
            ]

            if unvisited_neighbors:
                nb = unvisited_neighbors[
                    0
                ]  # pick the first available neighbor
                visited.append(nb)  # mark it as part of the GHZ structure
                queue.append(
                    node
                )  # re-enqueue current node (can keep growing)
                queue.append(nb)  # enqueue the newly added qubit
                explored[node].add(nb)  # mark that edge as explored
                layer.append(
                    (node, nb)
                )  # schedule a CNOT between node and neighbor
                busy.update([node, nb])  # reserve both qubits for this layer

                # stop early if we've reached the desired number of qubits
                if len(visited) == num_qubits:
                    break
            # else: node has no unused unvisited neighbors left → skip

        if layer:
            # add all pairs (node, nb) scheduled this round to layers
            layers.append(layer)
        else:
            # nothing new discovered this pass → done
            break

    # -------------------------------------------------------------
    # (5) Emit all layers into the quantum circuit
    # -------------------------------------------------------------
    # For each layer:
    #   - apply a CX gate for every (control, target) pair
    #   - insert a barrier so transpiler keeps layer structure
    for layer in layers:
        for q1, q2 in layer:
            qc.cx(q1, q2)
        qc.barrier()

    # -------------------------------------------------------------
    # (6) Return outputs
    # -------------------------------------------------------------
    # qc: the built quantum circuit
    # visited: order of qubits added
    # layers: list of parallelizable two-qubit operations per step
    return qc, visited, layers

ตอนนี้เราค้นหา root ที่ดีที่สุดซ้ำๆ ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของ GHZ Circuit

ROOT = None  # root for BFS search
GHZ_SIZE = 100  # number of (data) qubits in the GHZ state
SKIP = []  # nodes to intentionally skip so that we have a better chance for finding checks

# Search for the best root (yielding the shallowest GHZ)
if ROOT is None:
    best_root = -1
    base_depth = 100
    for root in range(backend.num_qubits):
        qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
            root, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP
        )
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
        if depth < base_depth:
            best_root = root
            base_depth = depth
    ROOT = best_root

ตอนนี้เราสร้าง GHZ Circuit โดยเริ่มจาก node เฉพาะ ซึ่งก็คือ root ที่ดีที่สุด โดยค้นหาความลึกที่สั้นที่สุดด้วยการค้นหาแบบ breadth-first

# Build a GHZ starting at the best root
qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
    ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP + bad_nodes
)
base_depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
base_count = qc.size(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
print(f"base depth: {base_depth}, base count: {base_count}")
print(f"ROOT: {ROOT}")
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

base depth: 17, base count: 99
ROOT: 50

เราต้องพิจารณาอีกประเด็นหนึ่งก่อนจะแทรก check ที่ถูกต้อง นั่นเกี่ยวข้องกับแนวคิด "coverage" ซึ่งเป็นการวัดว่า check สามารถครอบคลุม wire ในวงจรควอนตัมได้มากแค่ไหน เมื่อ coverage สูงกว่า เราสามารถตรวจจับข้อผิดพลาดได้ในพื้นที่กว้างกว่าของวงจร ด้วยการวัดนี้ เราสามารถเลือก check ที่ถูกต้องซึ่งมี coverage สูงสุดในวงจร กล่าวคือ เราจะใช้ฟังก์ชัน weighted_coverage เพื่อให้คะแนน check ต่างๆ ของ GHZ Circuit

def weighted_coverage(layers, parities, w_idle=0.2, w_gate=0.8):
    """
    Compute weighted fraction (idle + gate) of wires that are
    covered by at least one parity to all active wires.
    """
    wires = active_wires(layers)  # defined below
    covered_by_any = {n_layer: set() for n_layer in range(len(layers))}
    for parity in parities:
        trace = z_trace_backward(layers, parity)  # defined below
        for n_layer, qs in trace.items():
            covered_by_any[n_layer] |= qs
    covered_weight = 0
    total_weight = 0
    for n_layer in range(len(layers)):
        idle = wires[n_layer]["idle"]
        gate = wires[n_layer]["gate"]
        total_weight += w_idle * len(idle) + w_gate * len(gate)
        covered_idle = covered_by_any[n_layer] & idle
        covered_gate = covered_by_any[n_layer] & gate
        covered_weight += w_idle * len(covered_idle) + w_gate * len(
            covered_gate
        )
    return covered_weight / total_weight if total_weight > 0 else 0

def active_wires(layers):
    """
    Returns per-layer dict with two sets:
    - 'idle': activated wires that are idle in this layer
    - 'gate': activated wires that are control/target of a CNOT at this layer
    """
    first_activation = {}
    for n_layer, layer in enumerate(layers):
        for c, t in layer:
            first_activation.setdefault(c, n_layer)
            first_activation.setdefault(t, n_layer)
    result = {}
    for n_layer in range(len(layers)):
        active = {
            q
            for q, n_layer0 in first_activation.items()
            if n_layer >= n_layer0
        }
        gate = {q for c, t in layers[n_layer] for q in (c, t)}
        idle = active - gate
        result[n_layer] = {"idle": idle, "gate": gate}
    return result

def z_trace_backward(layers, initial_Zs):
    """
    Backward propagate Zs with parity cancellation.
    Returns {layer: set of qubits with odd parity Z at that layer}.
    """
    wires = active_wires(layers)
    support = set(initial_Zs)
    trace = {}
    for n_layer in range(len(layers) - 1, -1, -1):
        active = wires[n_layer]["idle"] | wires[n_layer]["gate"]
        trace[n_layer] = support & active
        # propagate backwards
        new_support = set()
        for q in support:
            hit = False
            for c, t in layers[n_layer]:
                if q == t:  # Z on target: copy to control
                    new_support ^= {t, c}  # toggle both
                    hit = True
                    break
                elif q == c:  # Z on control: passes through
                    new_support ^= {c}
                    hit = True
                    break
            if not hit:  # unaffected
                new_support ^= {q}
        support = new_support
    return trace

ตอนนี้เราสามารถแทรก check ลงใน GHZ Circuit ได้แล้ว การค้นหา check ที่ถูกต้องนั้นสะดวกมากสำหรับ GHZ state เพราะ Pauli $Z$ operator สองตัว $Z_i Z_j$ ที่กระทำบน Qubit ใดก็ได้สองตัว $i,j$ ของ GHZ Circuit ถือเป็น support และจึงเป็น check ที่ถูกต้อง

นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่า check ในกรณีนี้คือ controlled-$Z$ operator ที่อยู่ข้างๆ Hadamard Gate ทางซ้ายและขวาบน ancilla Qubit ซึ่งเทียบเท่ากับ CNOT Gate ที่กระทำบน ancilla Qubit โค้ดด้านล่างแทรก check เข้าไปในวงจร

# --- Tunables controlling the search space / scoring ---
MAX_SKIPS = 10  # at most how many qubits to skip (in addition to the bad ones and the ones forced to skip above)
SHUFFLES = 200  # how many times to try removing nodes for checks
MAX_DEPTH_INCREASE = 10  # how far from the base GHZ depth to go to include checks (increase this for more checks at expense of depth)

W_IDLE = 0.2  # weight of errors to consider during idle timesteps
W_GATE = 0.8  # weight of errors to consider during gates

# Remove random nodes from the GHZ and build from the root again to increase checks
degree_two_nodes = [
    i
    for i in ghz_qubits
    if all(n in ghz_qubits for n in coupling_map.neighbors(i))
    and len(coupling_map.neighbors(i)) >= 2
]

# --- Best-so-far tracking for the randomized search ---
num_checks = 0
best_covered_fraction = -1
best_qc = qc
best_checks = []
best_parities = []
best_layers = []

# Outer loop: vary how many GHZ nodes we try skipping (0..MAX_SKIPS-1)
for num_skips in range(MAX_SKIPS):
    # Inner loop: try SHUFFLES random choices of 'num_skips' nodes to skip
    for _ in range(SHUFFLES):
        # Construct the skip set:
        #   - pre-existing forced SKIP
        #   - plus a random sample of 'degree_two_nodes' of size 'num_skips'
        skip = SKIP + list(np.random.choice(degree_two_nodes, num_skips))

        # Rebuild the GHZ using the current skip set and bad_nodes
        qc, ghz_qubits, layers = parallel_ghz(
            ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, skip + bad_nodes
        )

        # Measure circuit cost as 2-qubit-gate depth only
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)

        # If we failed to reach the target GHZ size, discard this attempt
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue

        # --- Build "checks" around the GHZ we just constructed ---
        # A check qubit is a non-GHZ, non-dead qubit that has ≥2 neighbors inside the GHZ
        # and all those incident edges are usable (i.e., not in bad_edges).
        checks = []
        parities = []
        for i in range(backend.num_qubits):
            neighbors = [
                n for n in coupling_map.neighbors(i) if n in ghz_qubits
            ]

            if (
                i not in ghz_qubits
                and i not in dead_qubits
                and len(neighbors) >= 2
                and not any(
                    [
                        [neighbor, i] in bad_edges
                        or [i, neighbor] in bad_edges
                        for neighbor in neighbors
                    ]
                )
            ):
                # Record this qubit as a check qubit
                checks.append(i)
                parities.append((neighbors[0], neighbors[1]))
                # Physically couple the check qubit 'i' to the two GHZ neighbors via CNOTs
                # (This is the actual "check" attachment in the circuit.)
                qc.cx(neighbors[0], i)
                qc.cx(neighbors[1], i)

        # Score this design using the weighted coverage metric over the GHZ build layers
        covered_fraction = weighted_coverage(
            layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
        )

        # Keep it only if:
        #   - coverage improves over the best so far, AND
        #   - the 2q depth budget isn't blown by more than MAX_DEPTH_INCREASE
        if (
            covered_fraction > best_covered_fraction
            and depth <= base_depth + MAX_DEPTH_INCREASE
        ):
            best_covered_fraction = covered_fraction
            best_qc = qc
            best_ghz_qubits = ghz_qubits
            best_checks = checks
            best_parities = parities
            best_layers = layers

ตอนนี้เราสามารถแสดง Qubit ที่ใช้ใน GHZ Circuit และ check Qubit ได้แล้ว

# --- After search, report the best design found ---
qc = best_qc
checks = best_checks
parities = best_parities
layers = best_layers
ghz_qubits = best_ghz_qubits
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

print(f"GHZ qubits: {ghz_qubits} {len(ghz_qubits)}")
print(f"Check qubits: {checks} {len(checks)}")

covered_fraction = weighted_coverage(
    layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
)
print(
    "Covered fraction (no idle): ",
    weighted_coverage(
        layers=layers, parities=parities, w_idle=0.0, w_gate=1.0
    ),
)

GHZ qubits: [50, 49, 51, 38, 52, 48, 58, 53, 47, 71, 39, 46, 70, 54, 33, 45, 72, 69, 55, 32, 37, 73, 68, 34, 31, 44, 25, 74, 78, 67, 18, 24, 79, 75, 89, 57, 11, 23, 93, 59, 88, 66, 10, 22, 92, 90, 87, 65, 12, 9, 21, 94, 91, 86, 77, 13, 8, 20, 95, 98, 97, 14, 7, 36, 99, 111, 107, 15, 6, 41, 115, 110, 106, 19, 17, 5, 40, 114, 109, 108, 105, 27, 4, 42, 118, 104, 28, 3, 129, 117, 103, 29, 2, 128, 125, 96, 30, 127, 124, 102] 100
Check qubits: [16, 26, 35, 43, 85, 126] 6
Covered fraction (no idle):  0.4595959595959596

เรายังสามารถแสดงสถิติข้อผิดพลาดบางส่วนได้ด้วย

def circuit_errors(target, circ, error_type="cz"):
    """
    Pull per-resource error numbers from a Qiskit Target
    for ONLY the qubits/edges actually used by `circ`.

    Args:
        target: qiskit.transpiler.Target (e.g., backend.target)
        circ:   qiskit.QuantumCircuit
        error_type: one of {"cz", "meas", "t1", "t2"}:
            - "cz"   -> 2q CZ gate error on the circuit's used edges
            - "meas" -> measurement error on the circuit's used qubits
            - "t1"   -> T1 (converted to microseconds) on used qubits
            - "t2"   -> T2 (converted to microseconds) on used qubits

    Returns:
        list[float] of the requested quantity for the active edges/qubits.
    """

    # Get all 2-qubit edges that appear in the circuit (as undirected pairs).
    active_edges = active_gates(circ)  # e.g., {(0,1), (2,3), ...}

    # Intersect those with the device coupling map (so we only query valid edges).
    # Note: target.build_coupling_map().get_edges() yields directed pairs.
    edges = [
        edge
        for edge in target.build_coupling_map().get_edges()
        if tuple(sorted(edge)) in active_edges
    ]

    # Deduplicate direction: keep only one orientation of each edge.
    undirected_edges = []
    for edge in edges:
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges  # (not used later—see note below)

    # Accumulators for different error/physics quantities
    cz_errors, meas_errors, t1_errors, t2_errors = [], [], [], []

    # For every active (undirected) edge in the circuit, fetch its CZ error.
    # NOTE: Uses active_gates(circ) again (undirected tuples). This assumes
    # `target['cz']` accepts undirected indexing; many Targets store both directions.
    for edge in active_gates(circ):
        cz_errors.append(target["cz"][edge].error)

    # For every active qubit, fetch measure error and T1/T2 (converted to µs).
    for qubit in active_qubits(circ):
        meas_errors.append(target["measure"][(qubit,)].error)
        t1_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t1 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds
        t2_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t2 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds

    # Select which set to return.
    if error_type == "cz":
        return cz_errors
    elif error_type == "meas":
        return meas_errors
    elif error_type == "t1":
        return t1_errors
    else:
        return t2_errors

def active_qubits(circ):
    """
    Return a list of qubit indices that participate in at least one
    non-delay, non-barrier instruction in `circ`.
    """
    active_qubits = set()
    for inst in circ.data:
        # Skip scheduling artifacts that don’t act on state
        if (
            inst.operation.name != "delay"
            and inst.operation.name != "barrier"
        ):
            for qubit in inst.qubits:
                q = circ.find_bit(
                    qubit
                ).index  # map Qubit object -> integer index
                active_qubits.add(q)
    return list(active_qubits)

def active_gates(circ):
    """
    Return a set of undirected 2-qubit edges (i, j) that appear in `circ`.
    """
    used_2q_gates = set()
    for inst in circ:
        if inst.operation.num_qubits == 2:
            qs = inst.qubits
            # map Qubit objects -> indices, then sort to make the edge undirected
            qs = sorted([circ.find_bit(q).index for q in qs])
            used_2q_gates.add(tuple(sorted(qs)))
    return used_2q_gates

# ---- Print summary statistics ----
cz_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="cz")
meas_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="meas")
t1_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t1")
t2_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t2")

np.set_printoptions(linewidth=np.inf)
print(
    f"cz errors: \n mean: {np.round(np.mean(cz_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(cz_errors), 3)}"
)
print(
    f"meas errors: \n mean: {np.round(np.mean(meas_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(meas_errors), 3)}"
)
print(
    f"t1 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t1_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t1_errors), 1)}"
)
print(
    f"t2 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t2_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t2_errors), 1)}"
)

cz errors:
 mean: 0.002, max: 0.012
meas errors:
 mean: 0.014, max: 0.121
t1 errors:
 mean: 267.9, min: 23.6
t2 errors:
 mean: 155.9, min: 13.9

เช่นเดิม เราสามารถ simulate วงจรก่อนในกรณีที่ไม่มี noise เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของวงจรเตรียม GHZ state

# --- Simulate to ensure correctness ---

qc_meas = qc.copy()

# Add measurements to the GHZ qubits
c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
qc_meas.add_register(c1)
for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
    qc_meas.measure(q, c)

# Add measurements to the check qubits
if len(checks) > 0:
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc_meas.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc_meas.measure(q, c)

# Simulate the circuit with stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(qc_meas, shots=1000).result()
counts = res.get_counts()
print("Stabilizer simulation result:")
print(counts)

# Rename keys to "0 0" and "0 1" for easier plotting
# First len(checks) bits are check bits, rest are GHZ bits
keys = list(counts.keys())
for key in keys:
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[(len(checks) + 1) :]
    if set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"0"}:
        counts["0 0"] = counts.pop(key)
    elif set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"1"}:
        counts["0 1"] = counts.pop(key)
    else:
        continue

plot_histogram(counts)

Stabilizer simulation result:
{'000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111': 525, '000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000': 475}

ตามที่คาดไว้ check Qubit ถูกวัดออกมาเป็นศูนย์ทั้งหมด และเราเตรียม GHZ state ได้สำเร็จ

ขั้นตอนที่ 3: รันโดยใช้ Qiskit primitives

ตอนนี้เราพร้อมรัน Circuit บนฮาร์ดแวร์จริงแล้ว และจะแสดงให้เห็นว่าโปรโตคอลตรวจจับข้อผิดพลาดสามารถดักจับข้อผิดพลาดในการเตรียม GHZ state ได้อย่างไร

BAD_QUBITS = []  # specify any additional bad qubits to avoid (this is specific to the chosen backend)
SHOTS = 10000  # number of shots

เราจะกำหนดฟังก์ชันช่วยเพื่อเพิ่มการวัดผลให้กับ GHZ Circuit

def add_measurements(qc, ghz_qubits, checks):
    # --- Measure each set of qubits into different classical registers to facilitate post-processing ---

    # Add measurements to the GHZ qubits
    c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
    qc.add_register(c1)
    for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
        qc.measure(q, c)

    # Add measurements to the check qubits
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc.measure(q, c)

    return qc

ก่อนรัน เราจะวาด layout ของ GHZ Qubit และ check Qubit บนฮาร์ดแวร์ที่เลือก

# Plot the layout of GHZ and check qubits on the device
plot_gate_map(
    backend,
    label_qubits=True,
    line_width=20,
    line_color=[
        "black"
        if edge[0] in ghz_qubits + checks and edge[1] in ghz_qubits + checks
        else "lightgrey"
        for edge in backend.coupling_map.graph.edge_list()
    ],
    qubit_color=[
        "blue"
        if i in ghz_qubits
        else "salmon"
        if i in checks
        else "lightgrey"
        for i in range(0, backend.num_qubits)
    ],
)
plt.show()

qc.draw("mpl", idle_wires=False, fold=-1)

ตอนนี้เราจะเพิ่มการวัดผล

qc = add_measurements(qc, ghz_qubits, checks)

pipeline การ scheduling ด้านล่างจะล็อกเวลา ลบ barrier ทำให้ delay เรียบง่ายขึ้น และใส่ dynamical decoupling โดยยังคงรักษาเวลาของการดำเนินการเดิมไว้

# The scheduling consists of first inserting delays while barriers are still there
# Then removing the barriers and consolidating the delays, so that the operations do not move in time
# Lastly we replace delays with dynamical decoupling
collect_function = partial(
    collect_using_filter_function,
    filter_function=(lambda node: node.op.name == "delay"),
    split_blocks=True,
    min_block_size=2,
    split_layers=False,
    collect_from_back=False,
    max_block_width=None,
)

collapse_function = partial(
    collapse_to_operation,
    collapse_function=(
        lambda circ: Delay(sum(inst.operation.duration for inst in circ))
    ),
)

class Unschedule(AnalysisPass):
    """Removes a property from the passmanager property set so that the circuit looks unscheduled, so we can schedule it again."""

    def run(self, dag):
        del self.property_set["node_start_time"]

def build_passmanager(backend, dd_qubits=None):
    pm = generate_preset_pass_manager(
        target=backend.target,
        layout_method="trivial",
        optimization_level=2,
        routing_method="none",
    )

    pm.scheduling = PassManager(
        [
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDelay(target=backend.target),
            RemoveBarriers(),
            Unschedule(),
            CollectAndCollapse(
                collect_function=collect_function,
                collapse_function=collapse_function,
            ),
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDynamicalDecoupling(
                dd_sequence=[XGate(), RZGate(-np.pi), XGate(), RZGate(np.pi)],
                spacing=[1 / 4, 1 / 2, 0, 0, 1 / 4],
                target=backend.target,
                qubits=dd_qubits,
            ),
        ]
    )

    return pm

ตอนนี้เราสามารถใช้ pass manager แบบกำหนดเองเพื่อ transpile Circuit สำหรับ Backend ที่เลือกได้แล้ว

# Transpile the circuits for the backend
pm = build_passmanager(backend, ghz_qubits)

# Instruction set architecture (ISA) level circuit after scheduling and DD insertion
isa_circuit = pm.run(qc)

# Draw after scheduling and DD insertion
# timeline_drawer(isa_circuit, show_idle=False, time_range=(0, 1000), target=backend.target)

isa_circuit.draw("mpl", fold=-1, idle_wires=False)

จากนั้นเราจะส่ง job โดยใช้ Qiskit Runtime Sampler primitive

# Select the sampler options
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = SHOTS
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = False
sampler.options.execution.rep_delay = 0.00025

# Submit the job
print("Submitting sampler job")
ghz_job = sampler.run([isa_circuit])

print(ghz_job.job_id())

d493f17nmdfs73abf9qg

ขั้นตอนที่ 4: ประมวลผลหลังการรันและส่งคืนผลลัพธ์ในรูปแบบ classical ที่ต้องการ

ตอนนี้เราสามารถดึงและวิเคราะห์ผลลัพธ์จาก Sampler job ได้แล้ว

# Retrieve the job results
job_result = ghz_job.result()

# Get the counts from GHZ and check qubit measurements
ghz_counts = job_result[0].data.c1.get_counts()
checks_counts = job_result[0].data.c2.get_counts()

# Post-process to get unflagged GHZ counts (i.e., check bits are all '0')
joined_counts = job_result[0].join_data().get_counts()
unflagged_counts = {}
for key, count in joined_counts.items():
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[len(checks) :]
    if set(check_bits) == {"0"}:
        unflagged_counts[ghz_bits] = count

# Get top 20 outcomes by frequency from the unflagged counts
top_counts = dict(
    sorted(unflagged_counts.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)[:20]
)

# Rename keys for better visualization
top_counts_renamed = {}
i = 0
for key, count in top_counts.items():
    if set(key) == {"0"}:
        top_counts_renamed["all 0s"] = count
    elif set(key) == {"1"}:
        top_counts_renamed["all 1s"] = count
    else:
        top_counts_renamed[f"other_{i}"] = count
        i += 1

plot_histogram(top_counts_renamed, figsize=(12, 7))

ใน histogram ด้านบน เราพล็อตการวัด bitstring 20 รายการจาก GHZ Qubit ที่ไม่ถูกตั้งค่าสถานะโดย check Qubit ตามที่คาดไว้ bitstring แบบ all-0 และ all-1 มีจำนวนนับสูงสุด โปรดสังเกตว่า bitstring ที่ผิดพลาดบางส่วนที่มีน้ำหนักข้อผิดพลาดต่ำไม่ถูกดักจับโดยการตรวจจับข้อผิดพลาด แต่จำนวนนับสูงสุดยังคงพบอยู่ใน bitstring ที่คาดไว้

การอภิปราย

ในบทเรียนนี้ เราแสดงวิธีการนำเทคนิคตรวจจับข้อผิดพลาดแบบ overhead ต่ำโดยใช้ spacetime codes มาใช้งาน และสาธิตการประยุกต์ใช้จริงในการเตรียม GHZ state บนฮาร์ดแวร์ อ้างอิง [3] เพื่อสำรวจรายละเอียดทางเทคนิคของการเตรียม GHZ state เพิ่มเติม นอกจากการตรวจจับข้อผิดพลาดแล้ว ผู้เขียนยังใช้การบรรเทาข้อผิดพลาดในการอ่านผลด้วย M3 และ TREX รวมถึงเทคนิค temporary uncomputation เพื่อเตรียม GHZ state ที่มี fidelity สูง

อ้างอิง

• [1] Martiel, S., & Javadi-Abhari, A. (2025). Low-overhead error detection with spacetime codes. arXiv preprint arXiv:2504.15725.
• [2] van den Berg, E., Bravyi, S., Gambetta, J. M., Jurcevic, P., Maslov, D., & Temme, K. (2023). Single-shot error mitigation by coherent Pauli checks. Physical Review Research, 5(3), 033193.
• [3] Javadi-Abhari, A., Martiel, S., Seif, A., Takita, M., & Wei, K. X. (2025). Big cats: entanglement in 120 qubits and beyond. arXiv preprint arXiv:2510.09520.