Bloch sphere

มีวิธีการแสดงสถานะ qubit ในเชิงเรขาคณิตที่เป็นประโยชน์มาก เรียกว่า Bloch sphere วิธีนี้สะดวกมาก แต่น่าเสียดายที่ใช้ได้กับ qubit เท่านั้น — เพราะเมื่อระบบมีสามสถานะคลาสสิกขึ้นไป การแสดงผลในลักษณะเดียวกันนี้จะไม่ได้รูปทรงกลมอีกต่อไป

สถานะ qubit ในฐานะจุดบนทรงกลม

เริ่มต้นด้วยการคิดถึงเวกเตอร์สถานะควอนตัมของ qubit: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ เราสามารถจำกัดความสนใจไปที่เวกเตอร์ที่ $\alpha$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ เพราะเวกเตอร์สถานะ qubit ทุกตัวเทียบเท่ากับเวกเตอร์ที่ $\alpha \geq 0$ ได้ด้วย global phase ซึ่งทำให้เราเขียนได้ว่า

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

โดยมีจำนวนจริงสองตัว $\theta \in [0,\pi]$ และ $\phi\in[0,2\pi)$ ที่นี่เราให้ $\theta$ อยู่ในช่วง $0$ ถึง $\pi$ และหาร $2$ ในอาร์กิวเมนต์ของ sine และ cosine เพราะนี่เป็นวิธีการกำหนดพารามิเตอร์ที่เป็นสากล และจะทำให้สิ่งต่างๆ ง่ายขึ้นในภายหลัง

แม้ว่าจะไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไปที่ตัวเลข $\theta$ และ $\phi$ จะถูกกำหนดเพียงหนึ่งค่าจากเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ ที่กำหนดให้ แต่ก็ใกล้เคียงกัน โดยเฉพาะ ถ้า $\beta = 0$ แล้ว $\theta = 0$ และค่าของ $\phi$ ไม่มีผล จึงเลือกได้โดยอิสระ ในทำนองเดียวกัน ถ้า $\alpha = 0$ แล้ว $\theta = \pi$ และอีกครั้ง $\phi$ ก็ไม่เกี่ยวข้อง (เพราะสถานะเทียบเท่ากับ $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ สำหรับ $\phi$ ใดๆ ด้วย global phase) แต่ถ้าทั้ง $\alpha$ และ $\beta$ ไม่เท่ากับศูนย์ ก็จะมีคู่ $(\theta,\phi)$ ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งค่าที่ทำให้ $\vert\psi\rangle$ เทียบเท่ากับ $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ ด้วย global phase

ต่อไป ลองพิจารณาการแสดง density matrix ของสถานะนี้

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

เราสามารถใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

รวมถึงสูตร $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$ เพื่อทำให้ density matrix ง่ายขึ้นดังนี้

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

ทำให้สามารถแสดง density matrix นี้เป็น linear combination ของ Pauli matrices ได้ง่าย:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

โดยเฉพาะ เราสรุปได้ว่า

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

สัมประสิทธิ์ของ $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ และ $\sigma_z$ ในเศษของนิพจน์นี้ล้วนเป็นจำนวนจริง จึงรวบรวมเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ Euclidean สามมิติธรรมดาได้

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

จริงๆ แล้ว นี่คือ unit vector ในพิกัด spherical coordinates เขียนได้เป็น $(1,\theta,\phi)$ พิกัดแรก $1$ คือ รัศมี หรือ ระยะห่างจากจุดศูนย์กลาง (ซึ่งเท่ากับ $1$ เสมอในกรณีนี้), $\theta$ คือ มุม polar และ $\phi$ คือ มุม azimuthal

ถ้าจินตนาการว่าทรงกลมคือโลก มุม polar $\theta$ คือระยะที่เราหมุนจากขั้วโลกเหนือลงมาทางใต้เพื่อถึงจุดที่อธิบาย ตั้งแต่ $0$ ถึง $\pi = 180^{\circ}$ ส่วนมุม azimuthal $\phi$ คือระยะที่เราหมุนไปทางตะวันออกจากเส้นเมริเดียนหลัก ตั้งแต่ $0$ ถึง $2\pi = 360^{\circ}$ นี้สมมติว่าเส้นเมริเดียนหลักคือเส้นโค้งบนผิวทรงกลมจากขั้วหนึ่งไปยังอีกขั้วที่ผ่านแกน $x$ บวก

ทุกจุดบนทรงกลมสามารถอธิบายได้ด้วยวิธีนี้ — นั่นคือจุดที่ได้เมื่อวนค่าสถานะบริสุทธิ์ทั้งหมดของ qubit จะตรงกับทรงกลมในมิติจริง $3$ มิติพอดี (ทรงกลมนี้มักเรียกว่า unit $2$-sphere เพราะพื้นผิวของทรงกลมนี้เป็นสองมิติ)

เมื่อเราเชื่อมโยงจุดบน unit $2$-sphere กับสถานะบริสุทธิ์ของ qubit เราจะได้การแสดง Bloch sphere ของสถานะเหล่านี้

ตัวอย่างสำคัญหกตัวอย่าง

1. ฐาน standard $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$ เริ่มต้นด้วยสถานะ $\vert 0\rangle$ ในรูป density matrix เขียนได้แบบนี้

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   จากสัมประสิทธิ์ของ Pauli matrices ในเศษ เราเห็นว่าจุดที่สอดคล้องบน unit $2$-sphere ในพิกัด Cartesian คือ $(0,0,1)$ ในพิกัด spherical จุดนี้คือ $(1,0,\phi)$ โดย $\phi$ เป็นมุมใดก็ได้ สอดคล้องกับนิพจน์

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   ซึ่งใช้ได้กับทุก $\phi$ เช่นกัน ในเชิงสัญชาตญาณ มุม polar $\theta$ เท่ากับศูนย์ จึงอยู่ที่ขั้วเหนือของ Bloch sphere ซึ่งมุม azimuthal ไม่มีความหมาย

   ในทำนองเดียวกัน density matrix ของสถานะ $\vert 1\rangle$ เขียนได้แบบนี้

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   คราวนี้พิกัด Cartesian คือ $(0,0,-1)$ ในพิกัด spherical จุดนี้คือ $(1,\pi,\phi)$ โดย $\phi$ เป็นมุมใดก็ได้ มุม polar ถึง $\pi$ จึงอยู่ที่ขั้วใต้ซึ่งมุม azimuthal ก็ไม่มีความหมายอีกครั้ง

2. ฐาน $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$ มีนิพจน์สำหรับ density matrices ที่สอดคล้องกับสถานะเหล่านี้ดังนี้

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   จุดที่สอดคล้องบน unit $2$-sphere มีพิกัด Cartesian $(1,0,0)$ และ $(-1,0,0)$ และพิกัด spherical $(1,\pi/2,0)$ และ $(1,\pi/2,\pi)$ ตามลำดับ

   พูดอีกนัยหนึ่ง $\vert +\rangle$ ตรงกับจุดที่แกน $x$ บวกตัดกับ unit $2$-sphere และ $\vert -\rangle$ ตรงกับจุดที่แกน $x$ ลบตัดกับทรงกลม หรือพูดให้เข้าใจง่ายกว่านั้น $\vert +\rangle$ อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของ Bloch sphere ตรงที่ตัดกับเส้นเมริเดียนหลัก และ $\vert - \rangle$ อยู่บนเส้นศูนย์สูตรฝั่งตรงข้ามของทรงกลม

3. ฐาน $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}$ ดังที่เราเห็นก่อนหน้าในบทเรียนนี้ สองสถานะนี้นิยามดังนี้:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   คราวนี้มีนิพจน์เหล่านี้

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   จุดที่สอดคล้องบน unit $2$-sphere มีพิกัด Cartesian $(0,1,0)$ และ $(0,-1,0)$ และพิกัด spherical $(1,\pi/2,\pi/2)$ และ $(1,\pi/2,3\pi/2)$ ตามลำดับ

   พูดอีกนัยหนึ่ง $\vert {+i} \rangle$ ตรงกับจุดที่แกน $y$ บวกตัดกับ unit $2$-sphere และ $\vert {-i} \rangle$ ตรงกับจุดที่แกน $y$ ลบตัดกับทรงกลม

ต่อไปนี้เป็นอีกกลุ่มหนึ่งของเวกเตอร์สถานะควอนตัมที่ปรากฏอยู่เป็นระยะๆ ตลอดซีรีส์นี้ รวมถึงก่อนหน้านี้ในบทเรียนนี้ด้วย

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

การแสดง density matrix ของสถานะเหล่านี้แต่ละตัวมีดังนี้

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

ภาพต่อไปนี้แสดงจุดที่สอดคล้องบน Bloch sphere สำหรับค่า $\alpha$ บางค่า

Convex combinations ของจุด

คล้ายกับที่เราได้พูดถึงสำหรับ density matrices เราสามารถนำ convex combinations ของจุดบน Bloch sphere เพื่อให้ได้การแสดง density matrices ของ qubit โดยทั่วไปแล้ว ผลลัพธ์จะเป็นจุด ภายใน Bloch sphere ซึ่งแสดงถึง density matrices ของสถานะที่ไม่บริสุทธิ์ บางครั้งเราเรียก Bloch ball เมื่อต้องการระบุอย่างชัดเจนว่ารวมจุดภายใน Bloch sphere ด้วยในฐานะการแสดง density matrices ของ qubit

ตัวอย่างเช่น เราเห็นว่า density matrix $\frac{1}{2}\mathbb{I}$ ซึ่งแสดงถึงสถานะ completely mixed ของ qubit สามารถเขียนได้สองแบบ:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

นอกจากนี้ยังมี

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

และโดยทั่วไปเราสามารถใช้เวกเตอร์สถานะ qubit ที่ตั้งฉากกันสองตัวใดก็ได้ (ซึ่งจะตรงกับสองจุดตรงข้ามกันบน Bloch sphere เสมอ) ถ้าเราเฉลี่ยจุดที่สอดคล้องบน Bloch sphere ในลักษณะเดียวกัน เราจะได้จุดเดิม ซึ่งในกรณีนี้คือจุดศูนย์กลางของทรงกลม สอดคล้องกับการสังเกตว่า

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

ทำให้ได้พิกัด Cartesian $(0,0,0)$

ตัวอย่างอื่นเกี่ยวกับ convex combinations ของจุด Bloch sphere คือตัวอย่างที่พูดถึงในหัวข้อก่อนหน้า

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

ภาพต่อไปนี้แสดงสองวิธีที่แตกต่างกันในการได้ density matrix นี้ในฐานะ convex combination ของสถานะบริสุทธิ์