ระบบหลายระบบและสถานะลดรูป

ต่อไปเราจะมาดูกันว่า density matrix ทำงานอย่างไรสำหรับระบบหลายระบบ พร้อมตัวอย่างประเภทต่าง ๆ ของความสัมพันธ์ที่ matrix เหล่านี้สามารถแสดงได้ รวมถึงการนำไปใช้อธิบายสถานะของส่วนที่แยกตัวออกมาจากระบบรวม

ระบบหลายระบบ

Density matrix สามารถแทนสถานะของระบบหลายระบบได้ในลักษณะเดียวกับ state vector ในสูตรคณิตศาสตร์แบบเรียบง่ายของสารสนเทศควอนตัม โดยอิงจากแนวคิดพื้นฐานเดิมที่ว่าระบบหลายระบบสามารถมองเป็นระบบเดียวแบบรวม ในทางคณิตศาสตร์ แถวและคอลัมน์ของ density matrix ที่แทนสถานะของระบบหลายระบบจะสอดคล้องกับผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสถานะคลาสสิกของแต่ละระบบ

ตัวอย่างเช่น ลองนึกถึงการแทนค่าด้วย state vector ของ Bell state ทั้งสี่

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

การแทนค่าด้วย density matrix ของสถานะเหล่านี้มีดังต่อไปนี้

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

สถานะผลคูณ

เช่นเดียวกับที่เราเคยพบใน state vector ผลคูณเทนเซอร์ของ density matrix แทนความอิสระระหว่างสถานะของระบบหลายระบบ ตัวอย่างเช่น ถ้า $\mathsf{X}$ ถูกเตรียมไว้ในสถานะที่แทนด้วย density matrix $\rho$ และ $\mathsf{Y}$ ถูกเตรียมแยกกันในสถานะที่แทนด้วย $\sigma,$ density matrix ที่อธิบายสถานะของ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ก็คือผลคูณเทนเซอร์ $\rho\otimes\sigma$

ใช้คำศัพท์เดียวกันกับในสูตรแบบเรียบง่ายของสารสนเทศควอนตัม: สถานะในรูปแบบนี้เรียกว่าสถานะผลคูณ

สถานะที่มีความสัมพันธ์และสถานะที่พัวพัน

สถานะที่ไม่สามารถเขียนในรูปสถานะผลคูณได้จะแทนความสัมพันธ์ระหว่างระบบ ในความเป็นจริง density matrix สามารถแทนความสัมพันธ์ได้หลายประเภท นี่คือตัวอย่างบางส่วน

1. สถานะคลาสสิกที่มีความสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่น เราสามารถแสดงสถานการณ์ที่ Alice กับ Bob แชร์บิตสุ่มร่วมกันได้แบบนี้:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. กลุ่มตัวอย่างของสถานะควอนตัม สมมติว่าเรามี density matrix จำนวน $m$ ตัว ได้แก่ $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ ทั้งหมดแทนสถานะของระบบ $\mathsf{X}$ และเราเลือกสถานะหนึ่งแบบสุ่มตามเวกเตอร์ความน่าจะเป็น $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ กระบวนการแบบนี้แทนด้วยกลุ่มตัวอย่าง (ensemble) ของสถานะ ซึ่งระบุทั้ง density matrix $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ และความน่าจะเป็น $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ เราสามารถเชื่อมโยง ensemble ของสถานะกับ density matrix ตัวเดียว ที่อธิบายทั้งการเลือก $k$ แบบสุ่มและ density matrix $\rho_k$ ที่สอดคล้องกัน ดังนี้:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   เพื่อความชัดเจน นี่คือสถานะของคู่ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ที่ $\mathsf{Y}$ แทนการเลือก $k$ แบบคลาสสิก — เราจึงสมมติว่าเซตสถานะคลาสสิกของมันคือ $\{0,\ldots,m-1\}$ สถานะในรูปแบบนี้บางครั้งเรียกว่าสถานะคลาสสิก-ควอนตัม

3. สถานะแยกได้ เราสามารถจินตนาการสถานการณ์ที่มีความสัมพันธ์แบบคลาสสิกในสถานะควอนตัมของสองระบบดังนี้:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   กล่าวคือ สำหรับแต่ละ $k$ ตั้งแต่ $0$ ถึง $m-1$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_k$ ระบบทางซ้ายอยู่ในสถานะ $\rho_k$ และระบบทางขวาอยู่ในสถานะ $\sigma_k$ สถานะแบบนี้เรียกว่าสถานะแยกได้ แนวคิดนี้ยังสามารถขยายไปสู่ระบบที่มากกว่าสองระบบได้ด้วย

4. สถานะพัวพัน ไม่ใช่สถานะทั้งหมดของคู่ระบบจะแยกได้ ในสูตรทั่วไปของสารสนเทศควอนตัม นี่คือนิยามของการพัวพัน: สถานะที่แยกไม่ได้เรียกว่าสถานะพัวพัน

   สังเกตว่าคำศัพท์นี้สอดคล้องกับที่เราใช้ในคอร์ส "พื้นฐานของสารสนเทศควอนตัม" ที่นั่นเราบอกว่า state vector ควอนตัมที่ไม่ใช่สถานะผลคูณแทนสถานะพัวพัน — และแน่นอน สำหรับ state vector ควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ที่ไม่ใช่สถานะผลคูณใด ๆ เราพบว่าสถานะที่แทนด้วย density matrix $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ นั้นแยกไม่ได้ การพัวพันสำหรับสถานะที่ไม่ใช่สถานะบริสุทธิ์นั้นซับซ้อนกว่านี้มาก

สถานะลดรูปและ partial trace

มีสิ่งที่เรียบง่ายแต่สำคัญที่เราทำได้กับ density matrix ในบริบทของระบบหลายระบบ นั่นคือการอธิบายสถานะที่เราได้รับจากการมองข้ามระบบบางส่วน เมื่อระบบหลายระบบอยู่ในสถานะควอนตัมและเราทิ้งหรือเลือกที่จะไม่สนใจระบบหนึ่งหรือมากกว่านั้น สถานะของระบบที่เหลืออยู่เรียกว่าสถานะลดรูปของระบบเหล่านั้น การอธิบายด้วย density matrix ของสถานะลดรูปสามารถหาได้ง่ายผ่านการแมปที่เรียกว่าpartial trace จาก density matrix ที่อธิบายสถานะของระบบทั้งหมด

ตัวอย่าง: สถานะลดรูปของ e-bit

สมมติว่าเรามีคู่ Qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ที่อยู่ร่วมกันในสถานะ

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

ลองจินตนาการว่า Alice ถือ Qubit $\mathsf{A}$ และ Bob ถือ $\mathsf{B}$ นั่นคือพวกเขาแชร์ e-bit ร่วมกัน เราต้องการมี density matrix ที่อธิบาย Qubit $\mathsf{A}$ ของ Alice แบบโดดเดี่ยว ราวกับว่า Bob ตัดสินใจเอา Qubit ของตัวเองไปเยี่ยมชมดวงดาวโดยไม่กลับมาอีก

ก่อนอื่น ลองคิดดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้า Bob ตัดสินใจวัด Qubit ของตัวเองด้วยการวัดฐานมาตรฐานในระหว่างการเดินทาง ถ้าเขาทำแบบนั้น เขาจะได้ผลลัพธ์ $0$ ด้วยความน่าจะเป็น

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ Qubit ของ Alice จะกลายเป็น $\vert 0\rangle$ และเขาจะได้ผลลัพธ์ $1$ ด้วยความน่าจะเป็น

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ Qubit ของ Alice จะกลายเป็น $\vert 1\rangle$

ดังนั้น ถ้าเราไม่สนใจผลการวัดของ Bob และมุ่งความสนใจไปที่ Qubit ของ Alice เราสรุปได้ว่าเธอได้สถานะ $\vert 0\rangle$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ และสถานะ $\vert 1\rangle$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ สิ่งนี้นำเราไปสู่การอธิบายสถานะของ Qubit ของ Alice แบบโดดเดี่ยวด้วย density matrix

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

นั่นคือ Qubit ของ Alice อยู่ในสถานะผสมอย่างสมบูรณ์ เพื่อความชัดเจน คำอธิบายสถานะของ Qubit ของ Alice ในแบบโดดเดี่ยวที่เราเพิ่งได้มานั้นไม่รวมผลการวัดของ Bob เราไม่สนใจ Bob เลย

ตอนนี้ อาจดูเหมือนว่าคำอธิบาย density matrix ของ Qubit ของ Alice แบบโดดเดี่ยวที่เราได้มาต้องอาศัยสมมติฐานว่า Bob ได้วัด Qubit ของตัวเอง แต่จริง ๆ แล้วไม่ใช่เช่นนั้น สิ่งที่เราทำคือใช้ความเป็นไปได้ที่ Bob อาจวัด Qubit ของตัวเองเพื่อโต้เถียงว่าสถานะผสมอย่างสมบูรณ์เกิดขึ้นเป็นสถานะของ Qubit ของ Alice โดยอิงจากสิ่งที่เราเรียนรู้มาแล้ว แน่นอนว่าไม่มีอะไรบังคับให้ Bob ต้องวัด Qubit ของตัวเอง — แต่ก็ไม่มีอะไรบอกว่าเขาไม่วัดเช่นกัน และถ้าเขาอยู่ห่างไปหลายปีแสง การกระทำหรือไม่กระทำใด ๆ ของเขาก็ไม่สามารถมีอิทธิพลต่อสถานะของ Qubit ของ Alice ที่มองในแบบโดดเดี่ยวได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำอธิบายที่เราได้มาสำหรับสถานะของ Qubit ของ Alice เป็นคำอธิบายเดียวที่สอดคล้องกับความเป็นไปไม่ได้ของการสื่อสารที่เร็วกว่าแสง

เราสามารถพิจารณาสถานะของ Qubit $\mathsf{B}$ ของ Bob ได้ด้วย ซึ่งปรากฏว่าเป็นสถานะผสมอย่างสมบูรณ์เช่นกัน สำหรับ Bell state ทั้งสี่ เราพบว่าสถานะลดรูปของทั้ง Qubit ของ Alice และ Qubit ของ Bob เป็นสถานะผสมอย่างสมบูรณ์

สถานะลดรูปสำหรับ state vector ควอนตัมทั่วไป

ตอนนี้ลองขยายตัวอย่างที่เพิ่งพูดถึงไปสู่ระบบสองระบบ $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ แบบทั่วไป โดยไม่จำเป็นต้องเป็น Qubit ในสถานะ $\vert \phi^+\rangle$ เราจะสมมติว่าเซตสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ คือ $\Sigma$ และ $\Gamma$ ตามลำดับ Density matrix $\rho$ ที่แทนสถานะของระบบรวม $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ จึงมีดัชนีแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับผลคูณคาร์ทีเซียน $\Sigma\times\Gamma$

สมมติว่าสถานะของ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ อธิบายด้วย state vector ควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ดังนั้น density matrix ที่อธิบายสถานะนี้คือ $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ เราจะหาคำอธิบาย density matrix ของสถานะ $\mathsf{A}$ แบบโดดเดี่ยว ซึ่งโดยปกติแสดงเป็น $\rho_{\mathsf{A}}$ (บางครั้งก็ใช้ตัวห้อยด้านบนแทนตัวห้อยด้านล่าง)

State vector $\vert\psi\rangle$ สามารถเขียนในรูป

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

สำหรับชุดเวกเตอร์ $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ ที่กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์เหล่านี้สามารถหาได้จากสูตรอย่างง่าย

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

เมื่อใช้เหตุผลในทำนองเดียวกับตัวอย่าง e-bit ก่อนหน้านี้ ถ้าเราวัดระบบ $\mathsf{B}$ ด้วยการวัดฐานมาตรฐาน เราจะได้ผลลัพธ์แต่ละ $b\in\Gamma$ ด้วยความน่าจะเป็น $\|\vert\phi_b\rangle\|^2$ ซึ่งในกรณีนั้นสถานะของ $\mathsf{A}$ จะกลายเป็น

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

ในรูปของ density matrix สถานะนี้เขียนได้ดังนี้

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

เมื่อเฉลี่ยสถานะต่าง ๆ ตามความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการ เราได้ density matrix

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

The partial trace

สูตร

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

นำเราไปสู่คำอธิบายสถานะลดรูปของ $\mathsf{A}$ สำหรับ density matrix $\rho$ ใด ๆ ของคู่ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ไม่ใช่แค่สถานะบริสุทธิ์

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

สูตรนี้ต้องใช้ได้ เพียงแค่อาศัยความเป็นเส้นตรงร่วมกับความจริงที่ว่า density matrix ทุกตัวสามารถเขียนได้เป็นการรวมแบบ convex ของสถานะบริสุทธิ์

การดำเนินการที่ทำกับ $\rho$ เพื่อให้ได้ $\rho_{\mathsf{A}}$ ในสมการนี้เรียกว่าpartial trace และเพื่อความแม่นยำยิ่งขึ้น เราบอกว่า partial trace ถูกดำเนินการบน $\mathsf{B}$ หรือ $\mathsf{B}$ ถูกtrace out การดำเนินการนี้แสดงด้วยสัญลักษณ์ $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

เราสามารถนิยาม partial trace บน $\mathsf{A}$ ได้ด้วย ซึ่งทำให้ระบบ $\mathsf{A}$ ถูก trace out แทน $\mathsf{B}$ ดังนี้

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

สิ่งนี้ให้คำอธิบาย density matrix $\rho_{\mathsf{B}}$ ของสถานะ $\mathsf{B}$ แบบโดดเดี่ยวแทน $\mathsf{A}$

สรุปแล้ว ถ้า $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ เป็นคู่ระบบใด ๆ และเรามี density matrix $\rho$ ที่อธิบายสถานะของ $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ สถานะลดรูปของระบบ $\mathsf{A}$ และ $\mathsf{B}$ มีดังนี้

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

ถ้า $\rho$ เป็น density matrix แล้ว $\rho_{\mathsf{A}}$ และ $\rho_{\mathsf{B}}$ ก็จะเป็น density matrix เช่นกันอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

แนวคิดเหล่านี้สามารถขยายไปสู่ระบบจำนวนเท่าใดก็ได้แทนที่จะเป็นสองระบบในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ โดยทั่วไป เราสามารถใส่ชื่อของระบบที่ต้องการในตัวห้อยของ density matrix $\rho$ เพื่ออธิบายสถานะลดรูปของเฉพาะระบบเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้า $\mathsf{A},$ $\mathsf{B},$ และ $\mathsf{C}$ เป็นระบบ และ $\rho$ เป็น density matrix ที่อธิบายสถานะของ $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$ เราสามารถนิยาม

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

และในทำนองเดียวกันสำหรับการเลือกระบบอื่น ๆ

คำอธิบายทางเลือกของ partial trace

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายการแมป partial trace $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ และ $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ คือพวกมันเป็นการแมปเชิงเส้นเฉพาะที่ตอบสนองสูตร

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

ในสูตรเหล่านี้ $N$ และ $M$ เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีขนาดเหมาะสม: แถวและคอลัมน์ของ $M$ สอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{A}$ และแถวและคอลัมน์ของ $N$ สอดคล้องกับสถานะคลาสสิกของ $\mathsf{B}$

การระบุลักษณะของ partial trace นี้ไม่เพียงแต่เป็นพื้นฐานจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ แต่ยังช่วยให้คำนวณได้รวดเร็วในบางสถานการณ์ด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานะของคู่ Qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ นี้

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

ในการคำนวณสถานะลดรูป $\rho_{\mathsf{A}}$ เราสามารถใช้ความเป็นเส้นตรงร่วมกับความจริงที่ว่า $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ และ $\vert +\rangle\langle +\vert$ มี trace เท่ากับหนึ่ง

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

สถานะลดรูป $\rho_{\mathsf{B}}$ สามารถคำนวณได้ในทำนองเดียวกัน

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Partial trace สำหรับ Qubit สองตัว

Partial trace ยังสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนในรูปของเมทริกซ์ ที่นี่เราจะทำเฉพาะสำหรับ Qubit สองตัว แต่สามารถขยายไปสู่ระบบที่ใหญ่กว่าได้ด้วย สมมติว่าเรามี Qubit สองตัว $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ดังนั้น density matrix ใด ๆ ที่อธิบายสถานะของ Qubit ทั้งสองนี้สามารถเขียนได้เป็น

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

สำหรับค่าจำนวนเชิงซ้อน $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}$ ที่เลือก

Partial trace บนระบบแรกมีสูตรดังต่อไปนี้

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

วิธีหนึ่งในการคิดเกี่ยวกับสูตรนี้เริ่มจากการมองเมทริกซ์ $4\times 4$ เป็นเมทริกซ์บล็อก $2\times 2$ โดยแต่ละบล็อกมีขนาด $2\times 2$ นั่นคือ

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

สำหรับ

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

จากนั้นเราได้

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

นี่คือสูตรเมื่อ trace out ระบบที่สองแทนที่จะเป็นระบบแรก

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

ในรูปของเมทริกซ์บล็อกในแบบคล้ายกับก่อนหน้านี้ เราได้สูตรนี้

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

คำอธิบายเมทริกซ์บล็อกของฟังก์ชันเหล่านี้สามารถขยายไปสู่ระบบที่ใหญ่กว่า Qubit ได้อย่างเป็นธรรมชาติและตรงไปตรงมา

เพื่อจบบทเรียน ลองนำสูตรเหล่านี้ไปใช้กับสถานะเดิมที่เราพิจารณาด้านบน

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

สถานะลดรูปของระบบแรก $\mathsf{A}$ คือ

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

และสถานะลดรูปของระบบที่สอง $\mathsf{B}$ คือ

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$