พื้นฐาน density matrix

เราจะเริ่มต้นด้วยการอธิบาย density matrices ในแง่คณิตศาสตร์ แล้วดูตัวอย่างบางส่วน หลังจากนั้น เราจะพูดถึงแง่มุมพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับการทำงานของ density matrices และความสัมพันธ์กับเวกเตอร์สถานะควอนตัมในการกำหนดรูปแบบเชิงควอนตัมแบบง่าย

นิยาม

สมมติว่าเรามีระบบควอนตัมชื่อ $\mathsf{X}$ และให้ $\Sigma$ เป็นชุดสถานะคลาสสิก (finite และไม่ว่าง) ของระบบนี้ ที่นี่เรากำลังใช้ตามแบบแผนการตั้งชื่อที่ใช้ในคอร์ส "Basics of quantum information" ซึ่งเราจะทำต่อเมื่อมีโอกาส

ในการกำหนดรูปแบบทั่วไปของข้อมูลควอนตัม สถานะควอนตัมของระบบ $\mathsf{X}$ อธิบายด้วย density matrix $\rho$ ที่รายการเป็นจำนวนเชิงซ้อน และดัชนี (ทั้งแถวและคอลัมน์) สอดคล้องกับชุดสถานะคลาสสิก $\Sigma$ ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็ก $\rho$ เป็นตัวเลือกแรกตามแบบแผนสำหรับชื่อของ density matrix แม้ว่า $\sigma$ และ $\xi$ ก็เป็นตัวเลือกที่ใช้บ่อยเช่นกัน

ต่อไปนี้คือตัวอย่าง density matrices บางส่วนที่อธิบายสถานะของ qubit:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

การบอกว่า $\rho$ เป็น density matrix หมายความว่าเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้ ซึ่งจะอธิบายในอีกสักครู่ ต้องสอบสนองทั้งคู่:

1. Unit trace: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1$
2. Positive semidefiniteness: $\rho \geq 0$

Trace ของเมทริกซ์

เงื่อนไขแรกของ density matrices อ้างถึง trace ของเมทริกซ์ นี่คือฟังก์ชันที่นิยาม สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมทุกตัว เป็นผลรวมของรายการแนวทแยง:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

trace เป็นฟังก์ชัน เชิงเส้น: สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม $A$ และ $B$ ขนาดเดียวกันสองตัว และจำนวนเชิงซ้อน $\alpha$ และ $\beta$ สองตัว สมการต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

trace เป็นฟังก์ชันที่สำคัญอย่างยิ่ง และมีสิ่งที่พูดได้อีกมาก แต่เราจะรอจนกว่าจะจำเป็น

เมทริกซ์ positive semidefinite

เงื่อนไขที่สองอ้างถึงคุณสมบัติของเมทริกซ์ที่เป็น positive semidefinite ซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีข้อมูลควอนตัมและในหลายสาขาอื่นๆ เมทริกซ์ $P$ เป็น positive semidefinite ถ้ามีเมทริกซ์ $M$ ที่

$$P = M^{\dagger} M.$$

ที่นี่เราสามารถกำหนดให้ $M$ เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมขนาดเดียวกับ $P$ หรืออนุญาตให้ไม่สี่เหลี่ยม — เราได้คลาสเมทริกซ์เดียวกันทั้งสองวิธี

มีวิธีอื่น (แต่เทียบเท่ากัน) ในการนิยามเงื่อนไขนี้หลายวิธี รวมถึง:

• เมทริกซ์ $P$ เป็น positive semidefinite ก็ต่อเมื่อ $P$ เป็น Hermitian (นั่นคือเท่ากับ conjugate transpose ของตัวเอง) และค่าเฉพาะทั้งหมดของมันเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ การตรวจว่าเมทริกซ์เป็น Hermitian และค่าเฉพาะทั้งหมดไม่ติดลบเป็นวิธีคำนวณง่ายๆ เพื่อยืนยันว่ามันเป็น positive semidefinite

• เมทริกซ์ $P$ เป็น positive semidefinite ก็ต่อเมื่อ $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ สำหรับเวกเตอร์เชิงซ้อน $\vert\psi\rangle$ ทุกตัวที่มีดัชนีเหมือนกับแถวและคอลัมน์ของ $P$

วิธีคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ positive semidefinite ที่เข้าใจง่ายคือมันเป็นเหมือนอนาล็อกเมทริกซ์ของจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ นั่นคือ เมทริกซ์ positive semidefinite มีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์เชิงซ้อนสี่เหลี่ยมเหมือนกับที่จำนวนจริงที่ไม่ติดลบมีความสัมพันธ์กับจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงซ้อน $\alpha$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบก็ต่อเมื่อ

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $\beta$ บางตัว ซึ่งตรงกับนิยามของ positive semidefiniteness เมื่อเราแทนเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ แม้ว่าเมทริกซ์จะเป็นวัตถุที่ซับซ้อนกว่าสเกลาร์โดยทั่วไป แต่นี่ก็ยังเป็นวิธีคิดที่มีประโยชน์เกี่ยวกับเมทริกซ์ positive semidefinite

นี่ยังอธิบายสัญลักษณ์ทั่วไป $P\geq 0$ ซึ่งบ่งบอกว่า $P$ เป็น positive semidefinite สังเกตโดยเฉพาะว่า $P\geq 0$ ไม่ได้ หมายความว่ารายการแต่ละตัวของ $P$ ไม่ติดลบในบริบทนี้; มีเมทริกซ์ positive semidefinite ที่มีรายการติดลบ รวมถึงเมทริกซ์ที่รายการทั้งหมดเป็นบวกแต่ไม่ใช่ positive semidefinite

การตีความ density matrices

ณ จุดนี้ นิยามของ density matrices อาจดูค่อนข้างพลการและเป็นนามธรรม เพราะเรายังไม่ได้เชื่อมโยงความหมายกับเมทริกซ์เหล่านี้หรือรายการของมัน วิธีที่ density matrices ทำงานและสามารถตีความได้จะชัดเจนขึ้นเมื่อบทเรียนดำเนินต่อ แต่สำหรับตอนนี้อาจเป็นประโยชน์ถ้าคิดเกี่ยวกับรายการของ density matrices ในลักษณะต่อไปนี้ (อย่างไม่เป็นทางการ)

• รายการ แนวทแยง ของ density matrix ให้ความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละสถานะคลาสสิกที่จะปรากฏถ้าเราวัดในฐาน standard — ดังนั้นเราสามารถคิดเกี่ยวกับรายการเหล่านี้ว่าอธิบาย "น้ำหนัก" หรือ "ความน่าจะเป็น" ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละสถานะคลาสสิก

• รายการ นอกแนวทแยง ของ density matrix อธิบายระดับที่สถานะคลาสสิกสองสถานะที่สอดคล้องกับรายการนั้น (หมายถึงสถานะที่สอดคล้องกับแถวและสถานะที่สอดคล้องกับคอลัมน์) อยู่ใน quantum superposition รวมถึง relative phase ระหว่างกัน

มันไม่ชัดเจนเลย a priori ว่าสถานะควอนตัมควรแสดงด้วย density matrices แท้จริงแล้ว มีแง่มุมหนึ่งที่การเลือกแสดงสถานะควอนตัมด้วย density matrices นำไปสู่คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของข้อมูลควอนตัมตามธรรมชาติ ทุกอย่างเกี่ยวกับข้อมูลควอนตัมจริงๆ ตามมาอย่างมีเหตุผลจากการเลือกเดียวนี้!

ความสัมพันธ์กับเวกเตอร์สถานะควอนตัม

ระลึกว่าเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert\psi\rangle$ ที่อธิบายสถานะควอนตัมของ $\mathsf{X}$ คือ column vector ที่มี Euclidean norm เท่ากับ $1$ ซึ่งรายการของมันสอดคล้องกับชุดสถานะคลาสสิก $\Sigma$ การแสดง density matrix $\rho$ ของสถานะเดียวกันนิยามดังนี้

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

เพื่อความชัดเจน เรากำลังคูณ column vector กับ row vector ดังนั้นผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับ $\Sigma$ เมทริกซ์รูปแบบนี้ นอกจากจะเป็น density matrices แล้ว ยังเป็น projections เสมอและมี rank เท่ากับ $1$

ตัวอย่างเช่น ให้นิยามเวกเตอร์สถานะ qubit สองตัว

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

density matrices ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์สองตัวนี้มีดังนี้

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

ต่อไปนี้คือตารางที่แสดงสถานะเหล่านี้พร้อมกับตัวอย่างพื้นฐานอื่นๆ อีกสองสามตัวอย่าง: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ และ $\vert {-}\rangle$ เราจะเห็นหกสถานะนี้อีกครั้งในภายหลังในบทเรียน

เวกเตอร์สถานะ	Density matrix
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม นี่คือสถานะจากบทเรียน Single systems ของคอร์ส "Basics of quantum information" รวมถึงทั้งเวกเตอร์สถานะและการแสดง density matrix

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

density matrices ที่มีรูปแบบ $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ สำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม $\vert \psi \rangle$ เรียกว่า สถานะบริสุทธิ์ ไม่ใช่ density matrix ทุกตัวที่สามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ บางสถานะไม่บริสุทธิ์

ในฐานะ density matrices สถานะบริสุทธิ์มีค่าเฉพาะหนึ่งค่าเท่ากับ $1$ และค่าเฉพาะอื่นทั้งหมดเท่ากับ $0$ เสมอ สอดคล้องกับการตีความที่ว่าค่าเฉพาะของ density matrix อธิบายความสุ่มหรือความไม่แน่นอนที่มีอยู่ในสถานะนั้น โดยหลักการแล้ว ไม่มีความไม่แน่นอนสำหรับสถานะบริสุทธิ์ $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — สถานะนั้นคือ $\vert \psi \rangle$ อย่างแน่นอน

โดยทั่วไป สำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

สำหรับระบบที่มี $n$ สถานะคลาสสิก การแสดง density matrix ของสถานะเดียวกันมีดังนี้

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

ดังนั้น สำหรับกรณีพิเศษของสถานะบริสุทธิ์ เราสามารถยืนยันได้ว่ารายการแนวทแยงของ density matrix อธิบายความน่าจะเป็นที่การวัดฐาน standard จะให้ผลลัพธ์แต่ละสถานะคลาสสิกที่เป็นไปได้

ข้อสังเกตสุดท้ายเกี่ยวกับสถานะบริสุทธิ์คือ density matrices ขจัด degeneracy เกี่ยวกับ global phases ที่พบสำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม สมมติว่าเรามีเวกเตอร์สถานะควอนตัมสองตัวที่ต่างกันด้วย global phase: $\vert \psi \rangle$ และ $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle$ สำหรับจำนวนจริง $\theta$ บางค่า เนื่องจากต่างกันด้วย global phase เวกเตอร์เหล่านี้แสดงถึงสถานะควอนตัมเดียวกันพอดี แม้ว่าเวกเตอร์อาจต่างกัน แต่ density matrices ที่ได้จากเวกเตอร์สถานะสองตัวนี้กลับเหมือนกัน

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

โดยทั่วไป density matrices ให้การแสดงที่ไม่ซ้ำกันของสถานะควอนตัม: สถานะควอนตัมสองสถานะเหมือนกัน โดยสร้างสถิติผลลัพธ์เดียวกันสำหรับการวัดที่เป็นไปได้ทุกอย่าง ก็ต่อเมื่อการแสดง density matrix ของพวกมันเท่ากัน ใช้ภาษาคณิตศาสตร์ เราแสดงสิ่งนี้ได้ว่า density matrices ให้การแสดงที่ faithful ของสถานะควอนตัม