เราจะเริ่มต้นด้วยการอธิบาย density matrices ในแง่คณิตศาสตร์ แล้วดูตัวอย่างบางส่วน
หลังจากนั้น เราจะพูดถึงแง่มุมพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับการทำงานของ density matrices และความสัมพันธ์กับเวกเตอร์สถานะควอนตัมในการกำหนดรูปแบบอย่างง่ายของข้อมูลควอนตัม
นิยาม
สมมติว่าเรามีระบบควอนตัมชื่อ X \mathsf{X} X Σ \Sigma Σ
ในการกำหนดรูปแบบทั่วไปของข้อมูลควอนตัม สถานะควอนตัมของระบบ X \mathsf{X} X density matrix ρ \rho ρ Σ \Sigma Σ ρ \rho ρ σ \sigma σ ξ \xi ξ
ต่อไปนี้คือตัวอย่าง density matrices บางส่วนที่อธิบายสถานะของ qubit:
( 1 0 0 0 ) , ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) , ( 3 4 i 8 − i 8 1 4 ) , and ( 1 2 0 0 1 2 ) . \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm]
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm]
-\frac{i}{8} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix},
\quad\text{and}\quad
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0\\[2mm]
0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}. ( 1 0 0 0 ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( 4 3 − 8 i 8 i 4 1 ) , and ( 2 1 0 0 2 1 ) . การบอกว่า ρ \rho ρ
Unit trace: Tr ( ρ ) = 1 \operatorname{Tr}(\rho) = 1 Tr ( ρ ) = 1
Positive semidefiniteness: ρ ≥ 0 \rho \geq 0 ρ ≥ 0
Trace ของเมทริกซ์
เงื่อนไขแรกของ density matrices อ้างถึง trace ของเมทริกซ์
นี่คือฟังก์ชันที่นิยาม สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมทุกตัว เป็นผลรวมของสมาชิกในแนวทแยง:
Tr ( α 0 , 0 α 0 , 1 ⋯ α 0 , n − 1 α 1 , 0 α 1 , 1 ⋯ α 1 , n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n − 1 , 0 α n − 1 , 1 ⋯ α n − 1 , n − 1 ) = α 0 , 0 + α 1 , 1 + ⋯ + α n − 1 , n − 1 . \operatorname{Tr}
\begin{pmatrix}
\alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm]
\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm]
\alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1}
\end{pmatrix}
= \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}. Tr α 0 , 0 α 1 , 0 ⋮ α n − 1 , 0 α 0 , 1 α 1 , 1 ⋮ α n − 1 , 1 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ α 0 , n − 1 α 1 , n − 1 ⋮ α n − 1 , n − 1 = α 0 , 0 + α 1 , 1 + ⋯ + α n − 1 , n − 1 . trace เป็นฟังก์ชัน เชิงเส้น : สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม A A A B B B α \alpha α β \beta β
Tr ( α A + β B ) = α Tr ( A ) + β Tr ( B ) \operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B) Tr ( α A + βB ) = α Tr ( A ) + β Tr ( B ) trace เป็นฟังก์ชันที่สำคัญอย่างยิ่ง และมีสิ่งที่พูดได้อีกมาก แต่เราจะรอจนกว่าจะจำเป็น
เมทริกซ์ positive semidefinite
เงื่อนไขที่สองอ้างถึงคุณสมบัติของเมทริกซ์ที่เป็น positive semidefinite ซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีข้อมูลควอนตัมและในหลายสาขาอื่นๆ
เมทริกซ์ P P P positive semidefinite ถ้ามีเมทริกซ์ M M M
P = M † M . P = M^{\dagger} M. P = M † M . ที่นี่เราสามารถกำหนดให้ M M M P P P
มีวิธีอื่น (แต่เทียบเท่ากัน) ในการนิยามเงื่อนไขนี้หลายวิธี รวมถึง:
เมทริกซ์ P P P P P P
เมทริกซ์ P P P ⟨ ψ ∣ P ∣ ψ ⟩ ≥ 0 \langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0 ⟨ ψ ∣ P ∣ ψ ⟩ ≥ 0 ∣ ψ ⟩ \vert\psi\rangle ∣ ψ ⟩ P P P
วิธีคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ positive semidefinite ที่เข้าใจง่ายคือมันเป็นเหมือนอนาล็อกเมทริกซ์ของจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ
นั่นคือ เมทริกซ์ positive semidefinite มีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์เชิงซ้อนสี่เหลี่ยมเหมือนกับที่จำนวนจริงที่ไม่ติดลบมีความสัมพันธ์กับจำนวนเชิงซ้อน
ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงซ้อน α \alpha α
α = β ‾ β \alpha = \overline{\beta} \beta α = β β สำหรับจำนวนเชิงซ้อน β \beta β
นี่ยังอธิบายสัญลักษณ์ทั่วไป P ≥ 0 P\geq 0 P ≥ 0 P P P P ≥ 0 P\geq 0 P ≥ 0 ไม่ได้ หมายความว่ารายการแต่ละตัวของ P P P
การตีความ density matrices
ณ จุดนี้ นิยามของ density matrices อาจดูค่อนข้างพลการและเป็นนามธรรม เพราะเรายังไม่ได้เชื่อมโยงความหมายกับเมทริกซ์เหล่านี้หรือรายการของมัน
วิธีที่ density matrices ทำงานและสามารถตีความได้จะชัดเจนขึ้นเมื่อบทเรียนดำเนินต่อ แต่สำหรับตอนนี้อาจเป็นประโยชน์ถ้าคิดเกี่ยวกับรายการของ density matrices ในลักษณะต่อไปนี้ (อย่างไม่เป็นทางการ)
รายการ แนวทแยง ของ density matrix ให้ความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละสถานะคลาสสิกที่จะปรากฏถ้าเราวัดในฐาน standard — ดังนั้นเราสามารถคิดเกี่ยวกับรายการเหล่านี้ว่าอธิบาย "น้ำหนัก" หรือ "ความน่าจะเป็น" ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละสถานะคลาสสิก
รายการ นอกแนวทแยง ของ density matrix อธิบายระดับที่สถานะคลาสสิกสองสถานะที่สอดคล้องกับรายการนั้น (หมายถึงสถานะที่สอดคล้องกับแถวและสถานะที่สอดคล้องกับคอลัมน์) อยู่ใน quantum superposition รวมถึง relative phase ระหว่างกัน
มันไม่ชัดเจนเลย a priori ว่าสถานะควอนตัมควรแสดงด้วย density matrices
แท้จริงแล้ว มีแง่มุมหนึ่งที่การเลือกแสดงสถานะควอนตัมด้วย density matrices นำไปสู่คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของข้อมูลควอนตัมตามธรรมชาติ
ทุกอย่างที่เหลือเกี่ยวกับข้อมูลควอนตัมล้วนตามมาอย่างมีเหตุผลจากการเลือกนี้เพียงข้อเดียว!
ความสัมพันธ์กับเวกเตอร์สถานะควอนตัม
ระลึกว่าเวกเตอร์สถานะควอนตัม ∣ ψ ⟩ \vert\psi\rangle ∣ ψ ⟩ X \mathsf{X} X 1 1 1 Σ \Sigma Σ ρ \rho ρ
ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ เพื่อความชัดเจน เรากำลังคูณ column vector กับ row vector ดังนั้นผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับ Σ \Sigma Σ 1 1 1
ตัวอย่างเช่น ให้นิยามเวกเตอร์สถานะ qubit สองตัว
∣ + i ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + i 2 ∣ 1 ⟩ = ( 1 2 i 2 ) ∣ − i ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ − i 2 ∣ 1 ⟩ = ( 1 2 − i 2 ) \begin{aligned}
\vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle
= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm]
\vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle
= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
\end{aligned} ∣ + i ⟩ ∣ − i ⟩ = 2 1 ∣0 ⟩ + 2 i ∣1 ⟩ = ( 2 1 2 i ) = 2 1 ∣0 ⟩ − 2 i ∣1 ⟩ = ( 2 1 − 2 i ) density matrices ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์สองตัวนี้มีดังนี้
∣ + i ⟩ ⟨ + i ∣ = ( 1 2 i 2 ) ( 1 2 − i 2 ) = ( 1 2 − i 2 i 2 1 2 ) ∣ − i ⟩ ⟨ − i ∣ = ( 1 2 − i 2 ) ( 1 2 i 2 ) = ( 1 2 i 2 − i 2 1 2 ) \begin{aligned}
\vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert
& = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm]
\frac{i}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}\\[5mm]
\vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert
& = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm]
-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned} ∣ + i ⟩ ⟨ + i ∣ ∣ − i ⟩ ⟨ − i ∣ = ( 2 1 2 i ) ( 2 1 − 2 i ) = ( 2 1 2 i − 2 i 2 1 ) = ( 2 1 − 2 i ) ( 2 1 2 i ) = ( 2 1 − 2 i 2 i 2 1 ) ต่อไปนี้คือตารางที่แสดงสถานะเหล่านี้พร้อมกับตัวอย่างพื้นฐานอื่นๆ อีกสองสามตัวอย่าง: ∣ 0 ⟩ , \vert 0\rangle, ∣0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ , \vert 1\rangle, ∣1 ⟩ , ∣ + ⟩ , \vert {+}\rangle, ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ \vert {-}\rangle ∣ − ⟩
เวกเตอร์สถานะ Density matrix ∣ 0 ⟩ = ( 1 0 ) \vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix} ∣0 ⟩ = ( 1 0 ) ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ = ( 1 0 0 0 ) \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ = ( 1 0 0 0 ) ∣ 1 ⟩ = ( 0 1 ) \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix} ∣1 ⟩ = ( 0 1 ) ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ = ( 0 0 0 1 ) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ = ( 0 0 0 1 ) ∣ + ⟩ = ( 1 2 1 2 ) \vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} ∣ + ⟩ = ( 2 1 2 1 ) ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) \vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ = ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ∣ − ⟩ = ( 1 2 − 1 2 ) \vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} ∣ − ⟩ = ( 2 1 − 2 1 ) ∣ − ⟩ ⟨ − ∣ = ( 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 ) \vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ∣ − ⟩ ⟨ − ∣ = ( 2 1 − 2 1 − 2 1 2 1 ) ∣ + i ⟩ = ( 1 2 i 2 ) \vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} ∣ + i ⟩ = ( 2 1 2 i ) ∣ + i ⟩ ⟨ + i ∣ = ( 1 2 − i 2 i 2 1 2 ) \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ∣ + i ⟩ ⟨ + i ∣ = ( 2 1 2 i − 2 i 2 1 ) ∣ − i ⟩ = ( 1 2 − i 2 ) \vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} ∣ − i ⟩ = ( 2 1 − 2 i ) ∣ − i ⟩ ⟨ − i ∣ = ( 1 2 i 2 − i 2 1 2 ) \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ∣ − i ⟩ ⟨ − i ∣ = ( 2 1 − 2 i 2 i 2 1 )
สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม นี่คือสถานะจากบทเรียน Single systems ของคอร์ส "Basics of quantum information" รวมถึงทั้งเวกเตอร์สถานะและการแสดง density matrix
∣ v ⟩ = 1 + 2 i 3 ∣ 0 ⟩ − 2 3 ∣ 1 ⟩ ∣ v ⟩ ⟨ v ∣ = ( 5 9 − 2 − 4 i 9 − 2 + 4 i 9 4 9 ) \vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle
\qquad
\vert v\rangle\langle v\vert =
\begin{pmatrix}
\frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm]
\frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9}
\end{pmatrix} ∣ v ⟩ = 3 1 + 2 i ∣0 ⟩ − 3 2 ∣1 ⟩ ∣ v ⟩ ⟨ v ∣ = ( 9 5 9 − 2 + 4 i 9 − 2 − 4 i 9 4 ) density matrices ที่มีรูปแบบ ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ ψ ⟩ สถานะบริสุทธิ์
ไม่ใช่ density matrix ทุกตัวที่สามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ บางสถานะไม่บริสุทธิ์
ในฐานะ density matrices สถานะบริสุทธิ์มีค่าเฉพาะหนึ่งค่าเท่ากับ 1 1 1 0 0 0 ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ ψ ⟩
โดยทั่วไป สำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม
∣ ψ ⟩ = ( α 0 α 1 ⋮ α n − 1 ) \vert\psi\rangle =
\begin{pmatrix}
\alpha_0\\
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_{n-1}
\end{pmatrix} ∣ ψ ⟩ = α 0 α 1 ⋮ α n − 1 สำหรับระบบที่มี n n n
∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = ( α 0 α 0 ‾ α 0 α 1 ‾ ⋯ α 0 α n − 1 ‾ α 1 α 0 ‾ α 1 α 1 ‾ ⋯ α 1 α n − 1 ‾ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n − 1 α 0 ‾ α n − 1 α 1 ‾ ⋯ α n − 1 α n − 1 ‾ ) = ( ∣ α 0 ∣ 2 α 0 α 1 ‾ ⋯ α 0 α n − 1 ‾ α 1 α 0 ‾ ∣ α 1 ∣ 2 ⋯ α 1 α n − 1 ‾ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n − 1 α 0 ‾ α n − 1 α 1 ‾ ⋯ ∣ α n − 1 ∣ 2 ) \begin{aligned}
\vert\psi\rangle\langle\psi\vert
& =
\begin{pmatrix}
\alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm]
\alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm]
\alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}}
\end{pmatrix}\\[10mm]
& = \begin{pmatrix}
\vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm]
\alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm]
\alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2
\end{pmatrix}
\end{aligned} ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = α 0 α 0 α 1 α 0 ⋮ α n − 1 α 0 α 0 α 1 α 1 α 1 ⋮ α n − 1 α 1 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ α 0 α n − 1 α 1 α n − 1 ⋮ α n − 1 α n − 1 = ∣ α 0 ∣ 2 α 1 α 0 ⋮ α n − 1 α 0 α 0 α 1 ∣ α 1 ∣ 2 ⋮ α n − 1 α 1 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ α 0 α n − 1 α 1 α n − 1 ⋮ ∣ α n − 1 ∣ 2 ดังนั้น สำหรับกรณีพิเศษของสถานะบริสุทธิ์ เราสามารถยืนยันได้ว่ารายการแนวทแยงของ density matrix อธิบายความน่าจะเป็นที่การวัดฐาน standard จะให้ผลลัพธ์แต่ละสถานะคลาสสิกที่เป็นไปได้
ข้อสังเกตสุดท้ายเกี่ยวกับสถานะบริสุทธิ์คือ density matrices ขจัด degeneracy เกี่ยวกับ global phases ที่พบสำหรับเวกเตอร์สถานะควอนตัม
สมมติว่าเรามีเวกเตอร์สถานะควอนตัมสองตัวที่ต่างกันด้วย global phase:
∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∣ ϕ ⟩ = e i θ ∣ ψ ⟩ \vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle ∣ ϕ ⟩ = e i θ ∣ ψ ⟩ θ \theta θ
∣ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ∣ = ( e i θ ∣ ψ ⟩ ) ( e i θ ∣ ψ ⟩ ) † = e i ( θ − θ ) ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \vert \phi \rangle \langle \phi \vert =
\bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger}
= e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert
= \vert \psi \rangle \langle \psi \vert ∣ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ∣ = ( e i θ ∣ ψ ⟩ ) ( e i θ ∣ ψ ⟩ ) † = e i ( θ − θ ) ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ โดยทั่วไป density matrices ให้การแสดงที่ไม่ซ้ำกันของสถานะควอนตัม:
สถานะควอนตัมสองสถานะเหมือนกัน โดยสร้างสถิติผลลัพธ์เดียวกันสำหรับการวัดที่เป็นไปได้ทุกอย่าง ก็ต่อเมื่อการแสดง density matrix ของพวกมันเท่ากัน
ใช้ภาษาคณิตศาสตร์ เราแสดงสิ่งนี้ได้ว่า density matrices ให้การแสดงที่ faithful ของสถานะควอนตัม